выражения действительности. Сама же действительность выступает не как
совокупность единичных фактов, созерцая которые, субъект выделяет то общее,
что есть в них, а как сложная, расчлененная внутри себя целостность.
Неверно превращать математические средства выражения предмета математики в
сам предмет. Абстрактные объекты являются не объектами познания, а тем, что
должно быть в голове человека, чтобы можно было в реальной действительности
увидеть те или иные аспекты количественных отношений.
Представления, что математика имеет дело с реальной действительностью
только через посредство абстрактных объектов, которые понимаются как
существующие лишь во внутреннем мире субъекта, замыкает математика в рамки
уже идеализированных фрагментов действительности и не может объяснить факта
увеличения математического знания. Математическое познание имеет дело не с
абстрактными объектами, а с пространственными формами и количественными
отношениями действительности. Манипулирование абстрактными объектами в
отрыве от объективной реальности не может привести к новым результатам.
Абстрактные объекты сами по себе – застывший продукт познания и только
обращение к новым аспектам действительности приводит к обогащению
математического знания. Все это прекрасно понимал и выразил еще Р.Декарт. В
«Правилах для руководства ума» он писал, что «мысля о числе, не нужно
делать вывод, будто измеряемая вещь считается исключенной из нашего
представления, как это делают те, кто приписывает числам чудесные
свойства…». [7; 149]
В этом случае мы сможем по мере надобности обращаться и к другим
свойствам предмета, которые еще не выражены в числах. Тот, кто превращает
математические средства выражения предмета математики в сам предмет,
превращается , по словам Р.Декарта, из математика в счетчика, бессмысленно
оперирующего со знаками и символами, загораживающими непроницаемой реальный
предмет математики.
А.Гейтинг замечает, что «мы не могли бы сравнивать натуральные числа
друг с другом, если бы не фиксировали их какими-либо средствами
материального представления, почему они и продолжают существовать после
акта их построения» [6; 24].
Абстрактные объекты и есть формы, отлитые предшествующей деятельностью
человека в обществе. С точки же зрения каждого отдельного индивида они
выступают как независимо от него существующая реальность, а это значит, что
человек должен считаться с их природой как и с природой реально
существующих вещей. Только в этом смысле и можно говорить об особом
существовании абстрактных объектов.
3. Функция как отражение окружающей действительности
Функция представляет собой одно из основных математических понятий XX
в., когда функциональному анализу стала принадлежать в математике
выдающаяся роль. Но так было не всегда: после введения в математику понятия
функции понадобилось более двух столетий, чтобы было осознано его
действительное значение для развития математического познания.
Термин “функция” впервые был применен в конце XVII века Лейбницем (1646-
1716) и его учениками. Вначале этот термин употребляли еще в очень узком
смысле слова, связывая лишь с геометрическими образами. Речь шла об
отрезках касательных к кривым, их проекция на оси координат и о “другого
рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию” (от
латинского “функтус” - выполнять). Таким образом, понятие функции еще не
было освобождено от геометрической формы.
Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического
языка: “Функцией переменной величины называется количество, образованное
каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных” [4; 17].
Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от
геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций.
Определение Бернулли опиралось не только на работы Лейбница и его
школы, но и на исследования великого математика и физика Исаака Ньютона
(1643-1727), который изучил колоссальный запас самых различных
функциональных зависимостей и их свойств. Вместо слова "функция" Ньютон
применял термин "ордината". Он сводил изучение геометрических и физических
зависимостей к изучению этих "ординат", а сами "ординаты" описывали
различными аналитическими выражениями.
Чтобы определение функции, данное И.Бернулли, стало полноценным, надо
было условиться, какие способы задания функций следует считать допустимыми.
Обычно считали, что допускаются функции, заданные выражениями, в которые
входят числа, буквы, знаки арифметических действий, возведение в степень и
извлечение корней, а также обозначения тригонометрических, обратных
тригонометрических, показательных и логарифмических функций. Такие функции
называли элементарными. Вскоре выяснилось, что интегралы от них не всегда
выражаются через элементарные функции. В связи с этим пришлось добавить
новые функции, получающиеся при вычислении интегралов от элементарных
функций, при решении дифференциальных уравнений и т. д. Многие из этих
функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций.
Поэтому один из самых замечательных математиков XVIII века Леонард Эйлер
(1707-1783) в одной из своих работ пишет: "Когда некоторые количества
зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они
подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых" [2; 18].
В 1834 году Н.И.Лобачевский писал: "Общее понятие функции требует,
чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с
х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим
выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и
выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и
оставаться неизвестной." [11; 284]
Более общий подход к понятию функции, при котором отождествляются
понятия "функция", "отображение", "оператор", возник после того, как во
второй половине XIX века было введено общее понятие множества. И именно
творцы теории множеств Г. Кантор (1845-1918) и Р. Дедекинд (1831-1916) дали
общее определение отображения. Его можно сформулировать:
Пусть X и Y - два множества; говорят, что задано отображение f
множества X в (на) множество Y, если для каждого элемента x из X указан
соответствующий ему единственный элемент y из Y. Этот элемент y называют
образом элемента х при отображении f и обозначают f(x). Введение в
математику общего понятия об отображении множеств позволило прояснить и ряд
вопросов, относящихся к функциям, например, уточнить, что такое обратная
функция, сложная функция и т. д.
В результате систематического построения математического анализа на
основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории
множества возникла новая отрасль математики - теория функций
действительного переменного. Она оказала большое влияние на развитие многих
других отделов математики
В начале XX века на базе этой теории функций возникла новая ветвь
математики - функциональный анализ. В нем изучают множества, состоящие из
функций, последовательностей, линий, в которых определены операции сложения
и умножения на числа. Эти операции обладают свойствами, похожими на
свойства операций над векторами. Однако в отличие от нашего пространства,
имеющего лишь три измерения, изучаемые в функциональном анализе,
пространства могут быть бесконечномерными. Это не мешает специалистам по
функциональному анализу применять в своих исследованиях геометрический
язык.
Хотя функциональный анализ кажется очень абстрактной наукой, он находит
многочисленные приложения в вычислительной математике, физике, экономике,
позволяя с единой точки зрения трактовать самые различные вопросы и
вскрывать геометрическую сущность проблем, которые на первый взгляд очень
далеки от геометрии. Говоря о связи абстрактной науки с практикой, видный
математик Р. Курант (1888-1972) писал:
“Мы стартуем с Земли и, сбросив балласт излишней информации,
устремляемся на крыльях абстракции в заоблачные высоты, разреженная
атмосфера которых облегчает управление и наблюдение. Затем наступает
решающее испытание - приземление; теперь нужно установить, достигнуты ли
поставленные цели...” [4; 25]
В XX веке понятие функции подверглось дальнейшим обобщением. Возникло
понятие функции, отражавшее свойства физических величин, сосредоточенных в
отдельных точках, на линиях или поверхностях. Потребности физики привели к
изучению функций, принимавших случайные значения. Но методы математического
анализа позволили справиться и с проблемами теории случайных функций,
нашедшей многочисленные приложения в физике и технике.
Современная трактовка понятия функции выглядит следующим образом:
"функцией называется отношение двух (группы) объектов, в котором изменению
одного из них сопутствует изменение другого" [13; 615-616]
Но как бы далеко ни отходило то или иное обобщение понятия функции от
определений И.Бернулли и Л.Эйлера, к каким бы сложным объектам оно ни
прилагалось, в основе всех построений лежала одна и та же мысль о
существовании взаимозависимых величин, знание значения одной из которых
позволяет найти значение другой величины.
В результате изучения различных функций в математике появились новые
теории. Так немецкий математик Ф.Клейн и французский математик А.Пуанкаре
создают теорию автоморфных функций, в которой находит замечательные
применения геометрия Лобачевского. Французские математики Э.Пикар,
А.Пуанкаре, Ж.Адамар, Э.Борель глубоко разрабатывают теорию целых функций.
Геометрическую теорию функций и теорию римановых поверхностей развивают
А.Пуанкаре, Д.Гильберт, Г.Вейль, немецкий математик К.Каратеодори, теорию
конформных отображений - советские математики И.И.Привалов, М.А.Лаврентьев,
Г.М.Голузин и др. На основе комплексных чисел возникает теория функций
комплексного переменного. Общие основы этой теории были заложены О.Коши.
Выше приведенные примеры теорий функции показывают нам важность данного
понятия в современной науке. Однако можно сделать ошибочный вывод (в силу
множества абстрактных понятий, связанных с функцией) о том, что все эти
теории не имеют никаких связей с окружающим миром. В действительности же
эти связи имеют более сложные формы. Многие эти теории возникли не из-за
запросов естествознания и техники, а из внутренних потребностей самой
математики. Т. е. непосредственного отношения к окружающему миру эти теории
не имеют. Они играют вспомогательную роль для прикладных наук.
Как мы уже выяснили, понятие «функция» в математике играет значительную
роль. Посмотрим теперь на то, какую же роль играет это понятие в философии.
Прежде всего следует заметить, что в философских словарях трактовки этого
понятия трудно найти. Следовательно, можно сделать вывод, что это понятие в
философии играет второстепенную роль. Однако, зависимость между элементами
некоторых множеств, - как одна из смысловых сторон «функции», имеет
непосредственное отношение к окружающему миру.
В. И. Ленин писал: «Первое, что бросается нам в глаза при рассмотрении
мира в целом – это взаимная связь всего существующего» (см.
Ленин В.И. Пол. собр. соч. – Т. 20, с. 20).
Но далеко не все связи могут быть отражены в виде функциональных
зависимостей (формул). Наиболее наглядно демонстрируют подобные связи в
окружающем мире законы физики, которые могут быть записаны в виде формул.
Это, например, второй закон Ньютона [pic], закон Гука [pic], законы Кеплера
и многие другие законы, отражающие взаимозависимость окружающего мира.
Таким образом, функция, как и любое другое математическое понятие,
непосредственно или опосредованно отражает окружающую нас действительность.
Заключение
Таким образом, проблемы реальности и существования в математике имеют
неоднозначное истолкование в философии. Вопрос о соотношении понятий и
утверждений математики и окружающей действительности был освещен с разных
философских позиций. А именно, с точки зрения материализма и субъективного
и объективного идеализма, эмпиризма и неопозитивизма. Каждое из
вышеперечисленных философских течений имели разные взгляды на разрешение
поставленного вопроса.
Проблема существования в математике также была представлена несколькими
философскими направлениями: интуиционизмом, конструктивным материализмом и
субъективным идеализмом. Каждое из этих направлений имело свою точку зрения
на данную проблему. Разносторонность подходов к решению поставленных
проблем говорит об их сложности и неоднозначности в толковании и
разрешении.
В качестве примера одного из математических абстракций было рассмотрено
понятие “функция”. Описана история возникновения данного понятия,
неоднозначность в его толковании, роль и значение в современной науке.
Литература
1. Беркли Дж. Сочинения. - М.: Мысль, 1978.
2. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: Наука, 1963.
3. Вейль Г. О философии математики. - М. - Л., 1934.
4. Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике. - М.: Просвещение, 1985.
5. Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. - М., 1936.
6. Гейтинг А. Интуиционизм. - М.,1965.
7. Декарт Р. Избранные произведения. - М.: Госполитиздат, 1950.
8. Колмогоров А. Н. Современные споры о природе математики // Науч. слово.
- 1929. - №6.
9. Ленин В.И. Философские тетради. - Полн. собр. соч. - Т. 29.
10. Лобачевский Н. И. Полн. собр. соч. - Т. 5. - М. - Л., 1951.
11. Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. - Т. 3.
12. Математика в современном мире. - М.: Мысль, 1967.
13. Математический энциклопедический словарь./ Под ред. Ю.В.Прохорова. М.:
Советская энциклопедия, 1988.
14. Милль Дж.Ст. Система логики силлогистической и индуктивной. - М., 1914.
15. Молодший В. Н. Очерки по философским вопросам математики. - М.:
Просвещение, 1969.
16. Нысанбаев А., Шляхин Г. Развитие познания и математика. - Алма-Ата:
Казахстан, 1971.
17. Ойзерман Т.И. Проблемы историко-философской науки. - М.: Мысль, 1982.
18. Пуанкаре А. Наука и метод. - С.-Пб., 1910.
19. Рассел В. История западной философии. - М.: Изд. иностр. лит., 1959.
20. Труды математического института им. В. А. Стеклова. Т. 67. - М., 1962.
21. Эйлер Л. Исследования по баллистике. - М.: Физматгиз, 1961.
