| |a1 1 ( | |q 11| |
|q 2 =|a1 m | | |= a |
| |( ( ( | |( |q1 |
| |an1 ( | |q 1m| |
| |an m | | | |
описывает осуществляемый m(n матрицей выпуска a линейное преобразование m
количеств потребляемого сырья всех видов в n количества производимых из
него изделий.
5.Множество допустимых планов. Допустимыми являются такие закупки
сырья q 1, при которых предложение производимых из него изделий q 2
удовлетворяет заданному на них спросу q 2:
| |
|q 2 = a q 1 ( q 2 , |
| |
|или: предложение удовлетворяет |
|спрос. |
Полученные ограничения:
a 1 1 q 11 + ( + a 1 m q 1m ( q 21 ;
(
a n 1 q 11 + ( + a n m q 1m ( q 2n ,
являются прямыми или количественными необходимыми условиями равновесия. Их
решения называются множеством допустимых планов задачи.
Как мы увидим позднее (см. ), множество решений полученной
системы неравенств, вообще говоря, неоднозначно, допуская любое
неотрицательное перепроизводство изделий (q 2 :
(q 2 ( q 2 ( q 2 ( 0 .
6.Равновесное потребление сырья. Издержки данного производства, то
есть стоимость приобретаемых по заданным закупочным ценам p1 1 , ( , p1m
потребных количеств q 11 , ( , q 1m всех видов сырья, образует их линейную
функцию L(q 1):
L(q 1) = p1 1 q 11 + ( + p1m q 1m = ( p1 , q 1( ,
называемую функцией стоимости, а также целевой функцией рассматриваемой
задачи. Количественная часть задачи равновесного управления состоит в
отыскании на области допустимых планов закупок сырья план закупок q 1
наименьшей стоимости L(q 1):
| |
|q 1 : ( p1 , q 1( = min ( p1 , q|
|1( |
|q1 ( a q 1 ( q 2 . |
Минимизирующее функцию стоимости задачи допустимое значение искомого
вектора q 1 называется его равновесным значением или, еще, оптимальным
планом задачи, а полученная задача - задачей равновесного (или, что то же
самое - оптимального) производственного управления. В общем случае
требование минимизации стоимости обеспечивает единственность ее решения.
1.2. Ценовая часть задачи затрат
1.Оценивание изделий. В условиях того же самого производства:
| |q 11 ( q 1m | |
|p2 1|a1 1 ( a1 m |q 21|
| |( ( ( | |
|( |an1 ( an m |( |
|p2 n| |q 2n|
| |p11 ( p1 m | |
- одновременно с веществом сырья на выпускаемые из него изделия переносится
и его стоимость и возникает двойственная задача оценки сырья ценами
производимых из него изделий, называемая, также, ценовой частью задачи
затрат.
Действительно, изготовление из единицы сырья вида k: k=1, ( , m,
al k штук изделий каждого вида l: l=1, ( , n, по ценам p2 l за штуку
сообщает сырью стоимости p1 k:
p1 1 = p2 1 a1 1 + ( + p2 n an 1 = ( p2 , b 1( ;
. . .
p1 m = p2 1 a1 m + ( + p2 n an m = ( p2 , b m(.
в виде линейных функций
p1 k = p1 k (p2) = ( p2 , b k(
цен производимых из них изделий, в совокупности образующих m-мерный
строчный вектор ценности сырья p1. Коэффициентными векторами этих линейных
функций служат столбцы b1 , ( , bm той же самой матрицы затрат a:
| |a1 | |a1 m|
|b 1 |1 |; . . . , | |
|= |( |b m = |( |
| |an | |an m|
| |1 | | |
- векторы выпуска ассортимента изделий из сырья каждого вида.
Полученные ценовые балансовые соотношения:
| |a1 1 ( | |
|p1 = ( p1 1 (|a1 m |= p 2 |
|p1 1) |( ( ( |a, |
| |an1 ( | |
| |an m | |
являются линейным преобразованием p 2 a= p 1 цен выпускаемых изделий в
производственные ценности потребляемого сырья, двойственным осуществляемому
той же матрицей выпуска изделий a количественному линейному преобразованию
q 2 = a q 1 , сырья в изделия.
2.Ценовые условия равновесия. В условиях свободного доступа как
производителей, так и потребителей товаров к сырью и технологиям, продажа
всякого готового изделия его производителем становится возможной лишь при
условии того, что приобретение готового изделия потребителем оказывается
для него не дороже его самостоятельного изготовления. По этой причине
допустимыми являются такие продажные цены p2 выпускаемых изделий, при
которых производственные ценности p1= p1(p2) сырья не превышают его
закупочных цен p1 :
| |
|p1 = p2 a ( |
|p1 . |
Полученные условия продаж являются двойственными или ценовыми необходимыми
условиями равновесия. Они выражают тот наш потребительский опыт, в
соответствии с которым товары массового производства при прочих равных
условиях имеют свойство приобретаться тем охотнее, чем ниже их цена.
Множество решений ценовых ограничений называется множеством
допустимых цен.
3.Равновесные цены изделий. Доход производства, даваемый стоимостью
продаваемых по ценам p2 1, ( , p2 n требуемых количеств q 21 ,( , q 2n
выпускаемых изделий образует линейную функцию Ldual(p2) этих цен:
Ldual(p2) = p2 1 q 21 + ( + p2 n q 2n = ( p2 , q 2(,
называемую функцией стоимости ценовой части задачи. Как и всякий доход он
стремится быть максимизированным своим получателем, и по этой причине
двойственная часть задачи управления состоит в отыскании на множестве
допустимых цен изделий их наиболее доходных значений p2 :
| | |
|p2 : ( p2 , q 2( = max ( p2 , q |. |
|2( | |
|p2 ( p2 a ( p1 | |
| | |
Максимизирующие функцию стоимости задачи допустимые цены изделий
называются их равновесными ценами, а сама задача - двойственной или ценовой
частью задачи равновесного управления.
4.Правила двойственного соответствия. Итак, для одной и той же задачи
затрат:
| |q 1| | |
|p2 |a |q 2|,|
| |p1 | | |
мы получили ее прямую и двойственную части:
q 1 : min (p1 , q 1( при a q 1 ( q 2
и
p2 : max (p2 , q 2( при p2 a ( p1 .
Обе они, несмотря на различные "сопряженные" наборы искомых неизвестных: в
одной q 1, а в другой p2 ,- объединены одними и теми же наборами параметров
a, q 2 и p1 и обладают определенной двойственной симметрией, позволяющей по
одной части задачи востановить ей двойственную часть и наоборот.
Действительно, сравнивая между собой обе подзадачи, мы можем
установить правила соответствия между ними. Эти правила состоят в замене
1) знака ограничений с ( на ( ,
2) действия оптимизации функции стоимости c min на max ,
3) параметров ограничений на параметры функции стоимости c q 2 на p1 ,
4) количественных переменных на им сопряженные ценовые: c q 1 на p2 , и
наоборот,
и позволяют по известной одной части задачи тут же написать ей
двойственную.
Заметим , также, что "сопряженные" количественные q 1 и ценовые p2
переменные обеих подзадач относительно количеств товаров имеют взаимно
обратные количественные размерности штук и обратных штук товара:
[ q 1k ] = штуки и [ p2 l] = рубли / штуки,
и их балансовые соотношения взаимно обратны в том смысле, что в прямых -
количества сырья преобразуются в количества изделия, а в двойственных -
наоборот: цены изделий преобразуются в цены сырья:
q 2 = a q 1 и p2 a = p1 .
5.Транспонирование. Соблюдаемое нами во взаимно двойственных
подзадачах различение строчных и столбцовых векторов устраняется действием
транспонирования. Транспонированием матрицы называется действие замены ее
строк столбцами или, что то же самое,- столбцов строками, и обычно
обозначается значком “t” сверху:
| |a1 1 ( | |a1 1 ( | |
|а t |a1 m |t |an 1 |.|
|= |( ( ( | |( ( ( | |
| |an1 ( |( |a1 m ( | |
| |an m | |an m | |
В частности:
| |q | t |p1 | |
|(q 1) t|11 |= ( q 11 ( q 1m) и (p1) t = (|1 |.|
|= |( |p1 1 ( p1 m) t = |( | |
| |q | |p1 | |
| |1m | |m | |
Транспонирование произведения матриц доопределяется произведением
транспонированных матриц, взятых в обратном порядке:
(a c )t = (c )t (a )t;
в частности:
( p2 a ) t = a t (p2) t и (a q 1) t = (q 1) t a t ,
а также
((p1 , q 1() t = ((q 1) t, (p1) t( .
Теперь, двойственная часть задачи равновесного управления, полученная
нами в строчных векторах p1 и p2 с умножением на матрицу a справа:
p2 : max (p2 , q 2( при p2 a ( p1 ,
в транспонированном виде записывается подобно своей прямой части
q 1 : min (p1 , q 1( при a q 1 ( q 2
в столбцовых векторах (p1)t и (p2)t с умножением на транспонированную
матрицу a t слева:
(p2 )t : max ((q 2)t, (p2)t( при a t (p2) t ( (p1 )t.
1.3. Задача выпуска
1.Табличное представление. Задача выпуска является "обратной" по
отношению к предыдущей задаче затрат задачей равновесного производственного
управления. Процессом производства в ней является процесс сборки ряда
взаимозаменяемых сложных изделий из нескольких видов простого сырья.
Примерами задачи выпуска являются задачи оптимального планирования сборки
изделий из нескольких видов комплектующих узлов, в частности:
- строительства из нескольких видов строительных материалов
- времени работы нескольких видов промышленного оборудования,
- времени работы рабочих нескольких специальностей,
и им подобные задачи.
При использовании m видов сырья для производства n видов изделий во
всех задачах выпуска процесс производства описывается матрицей затрат c,
составляющие которой
ci j [количество i-сырья / на единицу j-изделия] ( 0 ,
