Великие законы сохранения
Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
Московский Государственный Строительный Университет
Кафедра физики
Курсовая работа
по теме:
ВЕЛИКИЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Выполнила
Денисова М.В.
ЭОУС-1-7
Проверила
Фомина Г.В.
Москва 1998
СОДЕРЖАНИЕ
Сохраняющиеся
величины...................................................................
3
Закон сохранения
импульса................................................................. 3
Энергия и
работа......................................................................
............. 6
Консервативные
силы........................................................................
... 8
Потенциальная
энергия.....................................................................
.... 8
Закон сохранения
энергии.....................................................................
9
Закон сохранения момента
импульса..................................................11
Список используемой
литературы..................................................................
....16
СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ВЕЛИЧИНЫ
Совокупность тел, выделенных для рассмотрения, называется
механической системой. Тела системы могут взаимодействовать как между
собой, так и с телами, не входящими в систему. В соответствии с этим силы,
действующие на тела системы, подразделяются на внутренние и внешние.
Внутренними называют силы, с которыми тела системы действуют друг на друга,
внешними - силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе.
Система, в которой внешние силы отсутствуют, называется замкнутой.
Для замкнутых систем остаются постоянными (сохраняются) три физические
величины: энергия, импульс и момент импульса. Соответственно имеются три
закона сохранения: закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и
закон сохранения момента импульса. Эти законы тесно связаны со свойствами
времени и пространства.
Кроме названных, есть еще ряд законов сохранения
(например, закон сохранения электрического заряда). Законы сохранения
являются фундаментальными законами природы.
Рассматриваемые в механике законы сохранения энергии, импульса и
момента импульса оказываются точными законами и имеют всеобщий характер -
они применимы не только к механическим явлениям, но и вообще ко всем
явлениям природы, в частности они соблюдаются в релятивистской области и в
мире элементарных частиц.
Законы сохранения не зависят от природы и характера действующих сил.
Поэтому с их помощью можно делать ряд важных заключений о поведении
механических систем даже в тех случаях, когда силы остаются неизвестными.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
Рассмотрим систему, состоящую из N частиц (материальных точек).
Обозначим через Fik силу, с которой k-я частица действует на i-ю (первый
индекс указывает номер частицы, на которую действует сила, второй индекс -
номер частицы, воздействием которой обусловлена эта сила). Символом Fi
обозначим результирующую всех внешних сил, действующих на i-ю частицу.
Напишем уравнения движения всех N частиц:
[pic]=F12 + F13 + ... + F1k + ... + F1N + F1=[pic],
[pic]=F21 + F23 + ... + F2k + ... + F2N + F2=[pic],
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
[pic]=Fi1 + Fi2 + ... + Fik + ... + FiN + Fi =[pic],
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
[pic]=FN1 + FN2 + ... + FNK + ... +FN,N-1 + FN =[pic]
(pi – импульс i-й частицы).
Сложим вместе эти уравнения. Слева получиться производная по времени
от суммарного импульса системы:
[pic].[pic]
Справа отличной от нуля будет только сумма внешних сил Fi. Действительно,
сумму внутренних сил можно представить в виде
(F12+F21) + (F13 + F31) + ... + (Fik + Fki) + ... + (FN-1,N + FN,N-1).
Согласно третьему закону Ньютона каждая из скобок равно нулю.
Следовательно, сумма внутренних сил, действующих на тела системы, всегда
равна нулю:
[pic].
С учетом этого получим, что
[pic].
(1)
Таким образом, производная по времени от суммарного импульса системы равна
сумме внешних сил, действующих на тела системы.
Если система замкнута, внешние силы отсутствуют и правая часть
уравнения (1) равна нулю. Соответственно dp/dt=0 и, следовательно, p=const.
Итак, мы пришли к выводу, что суммарный импульс замкнутой системы
материальных точек остается постоянным. Это утверждение составляет
содержание закона сохранения импульса.
В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства,
т.е. одинаковость свойств пространства во всех точках. Параллельный перенос
замкнутой системы из одного места в другое без изменения взаимного
расположения и скоростей частиц не изменяет механических свойств системы.
Поведение системы на новом месте будет таким же, каким оно было бы на
прежнем месте.
Заметим, что согласно формуле (1) импульс остается постоянным и у
незамкнутой системы в том случае, если сумма всех внешних сил равна нулю.
Спроектировав все векторы, фигурирующие в уравнении (1), на некоторое
направление x, получим
[pic] (2)
([pic]; отсюда следует, что проекция на ось x вектора p равна dpx/dt).
Согласно (2) для того, чтобы сохранялась проекция суммарного импульса на
некоторое направление, достаточно равенства нулю проекции на это
направление суммы внешних сил; сама эта сумма может быть отличной от нуля.
Точка С, положение которой определяется радиус-вектором
[pic]
называется центром масс системы материальных точек. Здесь mi – масса i-й
частицы, ri – радиус-вектор, задающий положение этой частицы, m – суммарная
масса системы. Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс
совпадает с центром тяжести системы.
Спроектировав rc на координатные оси, получим декартовы координаты
центра масс:
[pic], [pic], [pic]. [pic]
Продифференцировав rc по времени, найдем скорость центра масс:
[pic] (3)
Согласно (3) суммарный импульс системы можно представить в виде
произведения массы системы на скорость центра масс:
p=mVc
Подставив это выражение в формулу (1), получим уравнение движения центра
масс:
[pic][pic]
(ас - ускорение центра масс). Таким образом, центр масс движется так, как
двигалась бы материальная точка с массой равной массе системы, под
действием результирующих всех внешних сил, приложенных к телам системы. Для
замкнутой системы ас=0. Это означает, что центр масс замкнутой системы
движется прямолинейно и равномерно, либо покоится.
Система отсчета, относительно которой центр масс покоится, называется
системой центра масс (сокращенно ц-системой). Эта система инерциальна.
Система отсчета, связанная с измерительными приборами, называется
лабораторной системой (сокращенно л-системой).
Энергия и работа
Энергия - это запас работы системы. Энергия является общей
количественной мерой движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия
не исчезает и не возникает из ничего, она может лишь переходить из одной
формы в другую. Понятие энергии связывает воедино все явления природы. В
соответствии с различными формами движения материи рассматривают различные
виды энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и др.
Механическая энергия бывает двух видов: кинетическая и потенциальная.
Кинетическая энергия (или энергия движения) определяется массами и
скоростями рассматриваемых тел. Потенциальная энергия (или энергия
положения) зависит от взаимного расположения (от конфигурации)
взаимодействующих друг с другом тел.
Работа определяется как скалярное произведение векторов силы и
перемещения. Скалярным произведением двух векторов называется скаляр равный
произведению модулей этих векторов и косинус угла между ними.
Понятия энергии и работы тесно связаны друг с другом.
Кинетическая энергия частицы
[pic] [pic]
(4)
Приняв во внимание, что произведение mV равно модулю импульса
частицы р, выражению (4) можно придать вид
[pic]
[pic]
Если сила F , действующая на частицу, не равна нулю, кинетическая
энергия получит за время dt приращение
[pic] [pic]
(5)
где ds - перемещение частицы за время dt.
Величина
[pic]
называется работой, совершаемой силой F на пути ds (ds - модуль перемещения
ds).
Из (5) следует, что работа характеризует изменение кинетической энергии,
обусловленное действием силы на движущуюся частицу
[pic]
Если dA = Fds, а [pic], то
[pic].
(6)
Проинтегрируем обе части равенства (6) вдоль траектории частицы
от точки 1 до точки 2:
[pic].
Левая часть полученного равенства представляет собой приращение
кинетической энергии частицы:
[pic].
Правая часть есть работа А12 силы F на пути 1-2:
[pic]
Таким образом, мы пришли к соотношению
[pic],
Страницы: 1, 2
