дается ответ на вопрос: как возможны синтетические суждения a priori.
Интересны слова Бертрана Рассела: “Я пришел к философии через
математику, или скорей через желание найти некоторые основания для веры в
истинность математики. С ранней юности я страстно верил, что в ней может
быть такая вещь, как знание, что сочеталось с большой трудностью в принятии
многого того, что проходит как знание. Казалось, что наилучший шанс
обнаружить бесспорную истину будет в чистой математике, однако некоторые из
аксиом Евклида были, очевидно, сомнительными, а исчисление бесконечно
малых, когда я его изучал, содержало массу софизмов, с которыми я не мог
справиться сам. Но я не имел никаких оснований сомневаться в истинности
арифметики, хотя тогда я не знал, что арифметика может рассматриваться как
охватывающая всю традиционную чистую математику. В возрасте восемнадцати
лет я прочел “Логику” Милля, но был глубоко разочарован его доводами для
оправдания арифметики и геометрии. Я не прочел еще Юма, но мне казалось,
что чистый эмпиризм (который я был расположен принять) должен скорее
привести к скептицизму, чем к подтверждению выдвигаемых Миллем научных
доктрин. В Кембридже я прочел Канта и Гегеля, так же как и Логику” Брэдли,
которая глубоко повлияла на меня. (Брэдли Фрэнсис Герберт (1846—1924) —
главный представитель английского абсолютного идеализма. Критиковал
традицию британского номинализма и эмпиризма, а также ассоциативную
психологию. По Брэдли, в процессе познания всегда дается нечто
универсальное, поэтому ориентация эмпиристов на фиксацию и обобщение
изолированных фактов несостоятельна. Объективно-идеалистическая метафизика
Брэдли построена на противопоставлении противоречивой сферы “видимости” и
подлинной реальности — “Абсолюта” Для его “Принципов логики” (1883)
характерно влияние гегелевской диалектической логики и антипсихологистская
установка. Брэдли негативно воспринял новую математическую логику -
прим.ред.). Несколько лет я был учеником Брэдли, но примерно в 1898 г я
изменил свои взгляды в значительной мере в результате дискуссии с Д. Э.
Муром Я не мог больше полагать, что познание оказывает влияние на то, что
познается. Также я убедился в справедливости плюрализма Анализ
математических утверждений склонил меня к тому, что они не могут быть
объяснены даже как частичные истины, если не допускается плюрализм и
реальность отношений Случай привел меня в это время к изучению Лейбница, и
я пришел к заключению (впоследствии подтвержденному мастерскими
исследованиями Кутюра), что большинство его характерных мнений было обязано
чисто логической доктрине, что каждое суждение имеет субъект и предикат.
(Кутюра Луи (1868-1914) - французский логик, одним из первых обративший
внимание на современное значение логических идей Лейбница) Эту доктрину
Лейбниц разделял со Спинозой, Гегелем и Брэдли. Мне показалось, что если ее
отвергнуть, то весь фундамент метафизики этих философов разрушится. Я,
таким образом, вернулся к проблеме, которая вначале привела меня к
философии, а именно к основаниям математики, применив к ней новую логику,
разработанную в основном Пеано и Фреге, которая доказала (по крайней мере,
так я считаю) значительно большую плодотворность, чем логика традиционной
философии. (Пеано Джузеппе (1858-1932) - итальянский математик,
разработавший систему логических аксиом, на основе которых должна была
строиться арифметика). В первую очередь я обнаружил, что многие из прежних
философских аргументов о математике (заимствованных в основном от Канта)
оказались тем временем несостоятельными благодаря прогрессу математики.
Неевклидовы геометрии подорвали аргументацию трансцендентальной эстетики.
Вейерштрасс показал, что дифференциальное и интегральное исчисления не
требуют концепции бесконечно малых, и, следовательно, все то, что было
сказано философами о таких предметах, как непрерывность пространства,
времени и движения должно рассматриваться как явная ошибка. (Вейерштрасс
Карл Теодор Вильгельм (1815-1897) - немецкий математик, занимавшийся
логическим обоснованием математического анализа). Кантор освободил
концепцию бесконечного числа от противоречий и тем самым справился с
антиномиями как Канта, так и Гегеля. Наконец, Фреге показал детально, как
арифметика может быть выведена из чистой логики без привлечения каких-либо
новых идей или аксиом, таким образом, опровергнув утверждение Канта, что “7
+ 5 - 12” является синтетическим — по крайней мере в обычной интерпретации
этого утверждения. (Кантор Георг (1845—1918) - немецкий математик, один из
создателей современной теории множеств. Фреге Готлоб (1848—1925) — немецкий
математик и логик, один из создателей логической семантики). Поскольку все
эти результаты были получены не с помощью какого-либо героического метода,
а посредством терпеливых детальных рассуждений, я стал думать, что
философия, вероятно, заблуждалась, применяя героические средства для
разрешения интеллектуальных трудностей, которые можно было преодолеть
просто с помощью большей внимательности и аккуратности в рассуждениях.
Такой взгляд со временем все больше и больше укреплялся и привел меня к
сомнению относительно того, отличается ли философия как исследование от
науки и обладает ли она своим собственным методом, являющимся чем-то
большим, чем неудачным наследием теологии.”
3. Соотношение математики и логики.
Чтобы правильно поставить сам вопрос о соотношении математики и
логики, необходимо, очевидно, рассмотреть его в исторической перспективе.
Это обстоятельство не игнорирует и сам Б. Рассел. «Математика и логика,—
пишет он,— исторически говоря, были целиком различными занятиями.
Математика обычно ассоциировалась с естествознанием, логика — с греками. Но
обе развились в настоящее время: логика стала более математической, а
математика — более логической. Следствием этого является то, что сейчас
стало совсем невозможно провести разграничительную линию между ними:
фактически они стали единым исследованием. Они отличаются друг от друга так
же, как юноша от мужчины: логика есть юность математики, а математика —
зрелость логики».
В этом отрывке Рассел справедливо подчеркивает тесное взаимодействие
между математикой и логикой в процессе их исторического развития,
выявившееся с особой силой в нашем столетии. Именно в силу этого
оказывается весьма трудным решить, какая из этих. наук генетически
предшествовала другой. Многие специалисты склоняются к мысли, что
математическое знание по крайней мере в полуэмпирической форме существовало
задолго до того, как были открыты правила дедуктивных рассуждений. Прежде
чем греческие геометры стали логически систематизировать результаты,
найденные их предшественниками — египтянами, должна быжа существовать
довольно развитая совокупность математических знаний, непосредственно
связанных с различными вычислениями и измерениями. С другой стороны, трудно
допустить, чтобы при получении этого знания не применялись те или иные
принципы позднее возникшей логики.
Применение логических правил рассуждения нельзя отождествлять с
обоснованием и дальнейшей разработкой этих правил. Человек, не знакомый с
логикой, может тем не менее рассуждать правильно, т. е. приходить к
истинным заключениям. Разумеется, только у греков математика превратилась в
систематизированное научное знание, стала теоретической наукой, в которой
широко использовались не только дедуктивные рассуждения, но и позднее
возникший аксиоматический метод.
Все это показывает, что генетически логика вряд ли могла возникнуть
раньше математики. Во всяком случае, если говорить о ясно сформулированных
принципах дедуктивных рассуждений и их использовании и математике, то
впервые они были развиты греческими философами. Аристотель и стоики в
значительной мере усовершенствовали и систематизировали эти принципы, так
что их работа представляет скорее не начало, а завершение длительного этапа
многочисленных исследований в этой области, восходящих еще к VI в. до н. э.
Вряд ли, однако, тесную взаимосвязь и взаимодействие между логикой и
математикой можно рассматривать как аргумент в пользу их идентичности, или
тождества. И такое доказательство их идентичности вовсе не есть дело
деталей, как в этом пытается уверить нас Рассел, хотя, как показала
дальнейшая критика, не все эти детали являются убедительными и бесспорными.
«...Начиная с предпосылок,— пишет он,— которые всеми будут допускаться как
принадлежащие к логике, и придя посредством дедукции к результатам, которые
с очевидностью принадлежат к математике, мы находим, что там не имеется
пункта, где может быть проведена разграничительная линия, с логикой слева и
математикой справа».
Но как мы уже видели, такие аксиомы, как аксиома бесконечности или
аксиома свободного выбора, относятся скорее к теории множеств, т. е. к
математике, чем к логике. Даже само определение понятия числа в терминах
теории классов, которое играет такую важную роль в осуществлении программы
логицизма, является в сущности определением в рамках теории множеств,
поскольку термин класс всегда можно заменить термином множество. Наконец,
некоторые исходные понятия теории множеств неявно используются в самом
построении логических исчислений, которые применяются Фреге и Расселом при
дедукции теорем из аксиом.
Все это показывает, что в подлинном смысле слова речь может идти не о
строгой дедукции всей чистой математики из логики, а о тесной взаимосвязи
между ними в процессе математического познания и исследования оснований
обеих наук. Впрочем, это обстоятельство в ряде мест своей книги «Введение в
математическую философию» и в приведенных выше цитатах признает, кажется, и
сам Рассел.
С философской точки зрения при решении вопроса о соотношении логики и
математики более существенными являются аргументы, относящиеся не столько к
технической стороне самих деталей дедукции математики из логики, сколько к
выяснению общности и различия их объектов исследования. Как мы подробно
покажем в последней главе, предметом изучения современной математики
являются различные абстрактные формы и структуры, которые обладают той
особенностью, что в рамках математического исследования они могут
рассматриваться независимо от конкретного содержания предметов и процессов,
которым присущи эти формы и структуры. Простейшими из таких структур
являются количественные отношения и пространственные формы, которые
изучаются в элементарной и высшей математике. В процессе дальнейшего
абстрагирования и обобщения возникают новые более сложные структуры и их
комбинации, которые были названы абстрактными структурами. Такие структуры
