Если i будет возрастать, то данный режим разряда неустойчив; если,
наоборот, i беспредельно убывает, то режим разряда устой-чивый.
Обратимся к вольтамперной характеристике рассматриваемого
разрядного промежутка U=f(I+i)- Через трубку идёт ток
I+i и ёмкость С заряжается (или разряжается). Разность
потенциалов на ёмкости С уравновешивается в этом случае
не только напряжением на разрядном промежутке, но и э.д.с.
самоиндукции цепи. Пусть I+i2 —общий ток через сопротивле-
ние R. Обозначим ток, заряжающий ёмкость С, через i1; мгно-
венное значение разности потенциалов на ёмкости С— через U1.Разность
потенциалов между электродами дуги будет U0+iU’.
Имеем:
?=U1+(i+I2)R, (6)
U1-U0=U’i+Ldi/dt, (7)
i2=i1+i. (8)
Добавочный заряд Q на ёмкости С по сравнению со стационарным режимом:
Q=?i1dt=(U1-U0)C. (9)
Вычитая (5) из (6), находим:
U1-U0=-i2R (10)
Выражения (7), (8) и (10) дают:
U'i+Ldi/dt=-R(i+i1). (11)
Выражения (7) и (9) дают:
1/C?i1dt=U’i+Ldi/dt. (12)
Дифференцируя (12) по t и вставляя результат в (11), находим:
U’i+Ldi/dt=-iR-RCU’di/dt-RLCdІi/dtІ. (13)
или
dІi/dtІ +(1/CR+U’/L)di/dt + 1/LC(U’/R+1)i=0 (14)
Формула (14) представляет собой дифференциальное уравнение,
которому подчиняется добавочный ток i.
Как известно, полный интеграл уравнения (14) имеет вид:
i=А1е^r1t+А2е^r2t, (15)
где r1 и r2— корни характеристического уравнения, опре-деляемые формулой
r=-1/2(1/CR+U’/L)+?1/4(1/CR+U’/L)І-1/LC(U’/R+1). (16)
Если подкоренная величина в (16) больше нуля, то r1 и r2
оба действительны, i изменяется апериодически по экспо-ненциальному закону
и решение (15) соответствует апериодическому изменению тока. Для того чтобы
в рас-сматриваемой нами схеме возникли колебания тока, необ-ходимо, чтобы
r1 и r2 были комплексными величинами, т. е. чтобы
1/LC(U’/R+1)>1/4(1/CR+U’/L)І (17)
В этом случае (15) можно представить в виде
i=A1e-?t+j?t+ A2e-?t-j?t, (18)
где
?=1/2(1/CR+U’/L); i=?-1.
При ? < 0 колебания, возникшие в рассматриваемой цепи, будут раскачиваться.
При ? > 0 они быстро затухают, и разряд на постоянном токе будет устойчив.
Таким образом, для того чтобы в рассматриваемой схеме в конечном итоге
могли установиться незатухающие колебания, надо, чтобы
(1/CR+U’/L)0 и (21)
U’/R+1>0. (22)
Условия (21) и (22) представляют собой общие условия
Устойчивости разряда, питаемого постоянным напряжением. Из
(21) следует, что при возрастающей вольтамперной характе-
ристике разряд всегда устойчив.
Объединяя это требование с условием (22), находим, что
при падающей характеристике разряд может быть устойчивым
только при
|U’| При непосредственном применении формул этого параграфа к вопросу о генерации колебаний при помощи дуги приходится брать U' из «средней характеристики», построенной на основании восходящей и нисходящей ветвей динамической характеристики. При периодическом изменении силы тока в дуге Петрова из- меняются температура и плотность газа и скорости аэродина-мических потоков. При подборе соответствующего режима эти изменения приводят к возникновению акустических колебании в окружающем воздухе. В результате получается так называ-емая поющая дуга, воспроизводящая чистые музыкальные тона. 6. С увеличением давления газа и с увеличением плотности тока температура по оси положительного столба, отшнуровав-шегося от стенок разрядной трубки, поднимается все больше и больше. Процессы ионизации начинают принимать характер, всё более и более соответствующий чисто термической ионизации. Средняя кинетическая энергия электронов плазмы приближается к средней кинетической энергии частиц нейтрального газа. Плазма становится близкой по своим свойствам к изотерми- ческой плазме. Всё это позволяет решать задачу о нахождении различных параметров разряда, в том число продольного градиента поля в зависимости от плотности разрядного тока, на основании термодинамических соотношений. Исходными положениями теории положительного столба дуго- вого разряда при высоком и сверхвысоком давлении служит уравнение Сага для термической ионизации в виде ?Іp=AT5/2e-eUi/kT (24) и теорема Больцмана в виде соотношения na=nge(-eUa/kT) (25) Здесь ?—степень ионизации, р—давление газа, А—постоянная, Т—температура газа, Ui—потенциал ионизации, k—постоянная Больцмана, «na —концентрация возбуждённых атомов, n—концен- трация нормальных атомов, Ua—потенциал возбуждения, g—отно- шение статистических весов ga/gn возбуждённого и нормаль-ного состояния атома. Температура электронного газа принимается равной температуре нейтрального газа. Для упрощения задача учитывает лишь один «усреднённый» уровень возбуждения. Разрядная трубка предполагается расположенной вертикально.В любом другом положении конвекционные потоки газа искажают осевую симметрию режима газа. Обозначим внутренний радиус разрядной трубки через R1, расстояние какой- либо точки от оси трубки—через r. Проведём на расстоянии одного сантиметра один от другого два сече-ния, перпендикулярные к оси трубки, и выделим между ними элементарный объём при помощи двух концентрических цилин-дров с радиусами r и r+dr(рис. 8). Обозначим количество энергии, выделяемой разрядом в единицу времени, приходя-щееся на единицу длины трубки, через N1, а количество энергии, приходящееся на рассматриваемый нами элементарный объём,—через dN1. Количество энергии, излучаемой в едини-цу времени газом, заключённым в единице длины всей трубки и в рассматриваемом элементарном объёме, обозначим через S1 и dS1. Внутри трубки существует непрерывный радиальный поток тепла через газ по направлению от оси к стенке. Обозначим че-рез dL1 избыток количества тепла, покидающего в единицу времени рассматриваемый элемент объёма через его внешнюю границу, над количеством тепла, проникающего в тот же объём в единицу времени через его внутреннюю границу со стороны оси трубки. Допустим, что конвекционные потоки газа строго вертикальны и не нарушают теплового режима газа. Условие теплового баланса рассматриваемого элементарного объёма напишется в общем виде так: dN1=dL1+dS1. (26) Вследствие наличия осевой симметрии все величины, характе- ризующие состояние газа и режим разряда, одинаковы для точек, находящихся на одном и том же расстоянии r от оси. Так как площадь основания рассматриваемого элементарного объёма равна 2пrdr, то для мощности, выделяемой в этом объёме, можем написать: dN1=2пrirEzdr, (27) нде ir-плотность тока на расстоянии r от оси, а Ez-про-дольный градиент поля, одинаковый по всему поперечному сечению трубки. Обозначая коэффициент теплопроводности газа при температуре Т через ?т, напишим для dL1, пренебрегая членами высшего порядка малости: dL1=2п(r+dr)(?тdT/dr)r+dr-2пr(?тdT/dr)r=2пd(r?тdT/dr)/dr (28) Допустим, что излучаемая газом энергия целиком покидает разрядный промежуток без заметной реабсорбции в газе. Такое допущение можно сделать потому, что абсорбируемое газом резонансное излучение составляет при большом давлении лишь незначительную долго общего излучения газа. Так как излу-чаемая за единицу временя энергия пропорциональна концен-трации возбуждённых атомов na, то для dS1 можем написать: dS1=2пrCnadr, (29) где С—постоянный множитель, не зависящий от Т. Подстановка значений (29) и (28) в (26) даёт: 2пrirEzdr=2пd(r?тdT/dr)dr/dr + 2пrCnadr (30) Пренебрегая малой долей тока, приходящейся на долю поло- жительных ионов, и обозначая подвижность электронов через Кe, можем написать: i=neeKeEz. (31) Если обозначим правую часть уравнения Сага (24) через f1(T), а р в левой части заменим через nkТ, где n — концен-трация нейтральных частиц газа, то найдём: ?2= f1(T)/ nkТ. (32) n пропорционально массе газа, заключённого в единице длины трубки, g1 и обратно пропорционально квадрату радиуса труб-ки R1 и температуре газа в данной точке: n=C1g1/TR12 (33) Поэтому вместо (32) можем написать: ?=R1 ?f1(T)/C1k/ ?g1 =R1f2(T)/?g1 (34) Согласно уравнению Ланжевена скорость движения электрона в газе в поле напряжённости Еz равна: u=KeEz=ae?eEz/mv (35) где v— средняя арифметическая скорость теплового движения электронов, прямо пропорциональная квадратному корню из температуры электронного газа, в то время как ?e обратно пропорционально n. Следовательно, Ke=C2/nT1/2 (36) Согласно определению величины ?: ne=?n (37) Из (31), (34), (37) и (36) следует: ir=EzRiC2f2(T)/g11/2 T1/2 (38) где Т—температура газа на расстоянии r от оси. Из (38) и (27) следует: dN1=2пrEr2R1C2f2(T)dr/g11/2 T1/2=2пrEz2R1f3(T)dr/g11/2,(39) Согласно уравнению Больцмана (25): na=nge(-eUa/kT)=C1gg1e(-eUa/kT)/TR12=g1f4(T)/ R12, (40) где f4(T)= C1ge(-eUa/kT)/T. Вставляя это значение na в (29) и заменяя Сf4(Т) через f5(Т), находим: dS1=g12пrf5(Т)dr/R12. (41) Подстановка (39), (28) и (41) в (26) даёт Er2R1f3(T)/g11/2=d(r?тdT/dr)/rdr+g1f5(Т)dr/R12 (42) В уравнении (42) f3(T) и f5(T), а также ?т-функции одного только переменного Т. Поэтому (42) представляет собой дифференциальное уравнение, связывающее переменные Т и r. Граничными условиями, которым должно удовлетворять решение этого уравнения, являются: а) при r=R условие Т=Тст, где Тст — температура стенки разрядной трубки; б) при r=0 условие dT/dr = 0, так как на оси трубки температура газа имеет максимальное значение. Все величины, характеризующие разряд, являются функциями от одного только Т. Поэтому решение уравнения (42) могло бы дать полное решение всех количественных вопросов, связанных с данным типом разряда. Однако значение уравнения (42) заключается главным образом в том, что путём перехода к безразмерным величинам оно приводит к характерным для данного типа разряда законам подобия, позволяющим перено-сить количественные результаты, установленные эксперимента-льно для одних значений N1, R1 и g1 на режим разряда при других значениях этих величин.
