Движение в центрально-симметричном поле
Национальный Технический Университет Украины
«Киевский Политехнический Институт»
Реферат
По курсу: Квантовая Механика
На тему:
« Движение в центрально – симметричном поле »
Выполнил студент
группы ДС-71
Садрицкий Роман.
Киев-1999г.
Содержание:
Движение в центрально-симметричном поле.
Падение частицы на центр.
Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).
1.Движение в центрально-симметричном поле.
Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой
механике может быть сведена к задаче об одной частице, - аналогично тому,
как это может быть сделано в классической механике. Гамильтониан двух
частиц ( с массами [pic]) , взаимодействующих по закону [pic] [pic]-
расстояние между частицами), имеет вид
[pic][pic] (1,1)
где [pic]- операторы Лапласа по координатам частиц. Введем вместо радиусов-
векторов частиц [pic] и [pic] новые переменные [pic] и [pic]:
[pic] [pic]
(1,2)
[pic] - вектор взаимного расстояния, а [pic]- радиус-вектор центра инерции
частиц. Простое вычисление приводит к результату:
[pic] (1,3)
( [pic] и [pic]- операторы Лапласа соответственно по компонентам векторов
[pic] и [pic];
[pic] - полная масса системы; [pic] - приведенная масса). Таким образом,
гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей. Соответственно
этому, можно искать [pic] в виде произведения [pic], где функция [pic]
описывает движение центра инерции ( как свободное движение частицы с массой
[pic]), а [pic] описывает относительное движение частиц ( как движение
частицы массы [pic] в центрально-симметричном поле [pic] ).
Уравнение Шредингера для движения частицы в центрально-симметричном
поле имеет вид
[pic]
(1,4)
Воспользовавшись известным выражением для оператора Лапласа в сферических
координатах, напишем это уравнение в виде
[pic].
(1,5)
Если ввести сюда оператор квадрата момента:
[pic],
то мы получим
[pic] (1,6)
При движении в центрально-симметричном поле момент импульса сохраняется.
Будем рассматривать стационарные состояния с определенными значениями
момента [pic] и его проекции [pic]. Заданием значений [pic] и [pic]
определяется угловая зависимость волновых функций. Соответственно этому,
ищем решения уравнения (1,6) в виде
[pic]
(1,7)
где [pic]- сферические функции. Поскольку [pic] , то для «радиальной
функции» [pic] получаем уравнение
[pic] (1,8)
Это уравнение не содержит вовсе значения [pic], что соответствует [pic]-
кратному вырождению уровней по направлениям момента.
Займемся исследованием радиальной части волновых функций. Подстановкой
[pic]
(1,9)
уравнение (1,8) приводится к виду
[pic] (1,10)
Если потенциальная энергия [pic] везде конечна, то должна быть конечной во
всем пространстве, включая начало координат, также и волновая функция
[pic], а следовательно, и ее радиальная часть [pic]. Отсюда следует, что
[pic] должна обращаться в нуль при [pic]:
[pic]
(1,11)
В действительности это условие сохраняется также и для поля, обращающегося
при [pic] в бесконечность.
Уравнение (1,10) по форме совпадает с уравнением Шредингера для
одномерного движения в поле с потенциальной энергией
[pic]
(1,12)
равной сумме энергии [pic], и члена
[pic] ,
который можно назвать центробежной энергией. Таким образом, задача о
движении в центрально-симметричном поле сводится к задаче об одномерном
движении в области, ограниченной с одной стороны ( граничное условие при
[pic]). «Одномерный характер» имеет также и условие нормировки для функции
[pic], определяющееся интегралом
[pic].
При одномерном движении в ограниченной с одной стороны области уровни
энергии не вырождены. Поэтому можно сказать, что заданием значения энергии
решение уравнения (1,10), т.е. радиальная часть волновой функции,
определяется полностью. Имея также в виду, что угловая часть волновой
функции полностью определяется значениями [pic] и [pic], мы приходим к
выводу, что при движении в центрально-симметричном поле волновая функция
полностью определяется значениями [pic]. Другими словами, энергия, квадрат
момента и его проекция составляют полный набор физических величин для
такого движения.
Сведение задачи о движении в центрально-симметричном поле к одномерному
позволяет применить осцилляционную теорему. Расположим собственные значения
энергии ( дискретного спектра ) при заданном [pic] в порядке возрастания,
перенумеровав их порядковыми номерами [pic], причем наиболее низкому уровню
приписывается номер [pic]. Тогда [pic] определяет число узлов радиальной
части волновой функции при конечных значениях [pic] (не считая точки
[pic]). Число [pic] называют радиальным квантовым числом. Число [pic] при
движении в центрально-симметричном поле иногда называют азимутальным
квантовым числом, а [pic]- магнитным квантовым числом.
Для обозначения состояний с различными значениями момента [pic] частицы
существует общепринятая символика; состояния обозначаются буквами
латинского алфавита со следующим соответствием:
[pic] 1 2 3 4 5 6 7 . . .[pic]
[pic] [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic] [pic] (1,13)
Нормальным состоянием при движении частицы в центрально-симметричном
поле всегда является [pic]- состояние; действительно, при [pic] угловая
часть волновой функции во всяком случае имеет узлы, между тем как волновая
функция нормального состояния не должна иметь узлов вовсе. Можно также
утверждать, что наименьшее возможное при заданном [pic] собственное
значение энергии растет с увеличением [pic]. Это следует уже из того, что
наличие момента связано с добавлением в гамильтониане существенно
положительного члена [pic], растущего с увеличением [pic].
Определим вид радиальной функции вблизи начала координат. При этом будет
считать, что
[pic]
(1,14)
Ищем [pic] в виде степенного ряда по [pic], оставляя при малых [pic] только
первый член разложения; другими словами, ищем [pic] в виде [pic].
Подставляя это в уравнение
[pic],
получающееся из (1,8) умножением последнего на [pic] и переходя к [pic],
найдем
[pic].
Отсюда
[pic] или
[pic].
Решение [pic] не удовлетворяет необходимым условиям; оно обращается в
бесконечность при [pic] ( напомним, что [pic] ). Таким образом, остается
решение с [pic], т.е. вблизи начала координат волновые функции состояний с
данным [pic] пропорциональны [pic]:
[pic].
(1,15)
Вероятность частице находиться на расстоянии от центра между [pic] и [pic]
определяется величиной [pic] и поэтому пропорциональна [pic]. Мы видим, что
она тем быстрее обращается в нуль в начале координат, чем больше значение
[pic].
2. Падение частицы на центр.
Для выяснения некоторых особенностей квантовомеханического движения полезно
изучить случай, не имеющий, правда, непосредственного физического смысла, -
движение частицы в поле с потенциальной энергией, обращающейся в некоторой
точке ( начале координат ) в бесконечность по закону [pic]; вид поля вдали
от начала координат нас не будет интересовать. Этот случай – промежуточный
между теми, когда имеются обычные стационарные состояния, и случаями, когда
происходит «падение» частицы на начало координат.
Вблизи начала координат уравнение Шредингера в рассматриваемом случае
будет следующим:
[pic]
(2,1)
( [pic]- радиальная часть волновой функции), где введена постоянная
[pic]
(2,2)
и опущены все члены более низкого порядка по [pic]; значение энергии [pic]
предполагается конечным, и потому соответствующий член в уравнении тоже
опущен.
Ищем[pic] в виде [pic]; тогда получаем для [pic] квадратное уравнение
[pic][pic]
с двумя корнями
[pic], [pic]
(2,3)
Для дальнейшего исследования удобно поступить следующим образом. Выделим
вокруг начала координат малую область радиуса [pic] и заменим функцию [pic]
в этой области постоянной величиной [pic]. Определив волновые функции в
таком «обрезанном» поле, мы затем посмотрим, что получается при переходе к
пределу [pic].
Предположим сначала, что [pic]. Тогда [pic] и [pic] - вещественные
отрицательные числа, причем [pic]>[pic]. При [pic] общее решение уравнения
Шредингера имеет вид ( везде речь идет о малых [pic])
[pic]
(2,4)
([pic]- постоянные). При [pic] решение уравнения
[pic]
конечное в начале координат, имеет вид
[pic]
(2,5)
При [pic] функция [pic] и ее производная [pic] должны быть непрерывными
функциями. Удобно написать одно из условий в виде условия непрерывности
логарифмической производной от [pic]. Это приводит к уравнению
[pic]
или
[pic].
Страницы: 1, 2
