Физика
Лекция 10
8.5. Линии равной толщины
Как ясно уже из заголовка, речь пойдет о пластинах (тонких пленках),
толщина которых непостоянна. И, по существу, здесь не решается какая-то
новая задача: механизм интерференции тот же, что и в случае
плоскопараллельной пластине. Можно, например, зафиксировать величину угла
падения (, и мы получим готовую формулу, подставив в соответствующее
выражение зависимость d от координат. Обычно принимают значение (=0 - в
общем виде выражение громоздко и не представляется полезным.
n=1 (
1 2
0 X
d0 n>1
(
Для реальной пластины зависимость d от координат может быть какой
угодно. Традиционно рассматриваются лишь некоторые частные случаи такой
зависимости.
Например, пластина может иметь форму клина. У показанной на рисунке
пластины толщина зависит от координаты x:
[pic]; [pic].
Для соседних максимумов, очевидно, (k=1, и мы имеем для ширины
интерференционной полосы:
[pic]; [pic].
Мы, вроде, получили новую формулу, но, оказывается, она нам знакома.
Действительно, после отражения от поверхностей и преломления лучи 1 и 2
расходятся под углом (=2(n, мы же при анализе интерференции волн от двух
точечных источников получили для ширины интерференционной полосы выражение
[pic]. Оно оказывается справедливым и в этом случае, но тут появляются
некоторые проблемы.
экран
изображ.
поверхности 1 2
локализации
линза
1 2 поверхность
локализации
пластина
При интерференции волн от двух точечных источников волны реально, “на
самом деле” взаимодействуют, складываются на поверхности экрана. Теперь же
эти волны (1 и 2) после отражения от двух поверхностей расходятся под углом
(. Возникает вопрос, где же они интерферируют друг с другом или, как
принято выражаться, где локализованы интерференционныу полосы.
Ответ на этот вопрос поясняется рисунком. Для наблюдения интерференции
отраженных от поверхностей пластины (клина) волн используется линза и
экран, на котором создается изображение поверхности локализации
интерференционных полос. Эта последняя образована точками пересечения
продолжений луча 1 (он “начинается” от верхней поверхности пластины) и луча
2 после его преломления.
Другая традиционно рассматриваемая задача - кольца Ньютона. Это также
линии равной толщины, но роль пластины здесь играет воздушный промежуток
между плоской поверхность стеклянной, например, пластины и выпуклой
поверхностью плосковыпуклой линзы.
R
d(r)
r
Пусть угол между вертикалью и прямой, проведенной из центра кривизны к
некоторой точке выпуклой поверхности линзы с координатой r, равен (. Тогда
[pic].
Показатель преломления в промежутке между стеклянными поверхностями можно
считать равным единице. Поэтому условие максимума будет
[pic]; [pic].
При таких значениях радиуса r будут наблюдаться максимумы. Очевидно,
минимумы будут при
[pic]; [pic].
В этих выражениях k - целое. Эти выражения для радиусов колец Ньютона
можно объединить в одно:
[pic].
Теперь нечетным значениям k соответствуют светлые кольца, четным - темные.
8.6. Интерферометры
8.6.1. Интерферометр Линника
Собственно, интерферометр Линника представляет собой слегка
видоизмененный интерферометр Майкельсона и может быть назван и так и этак.
Мы здесь обсудим не столько его устройство, сколько его применение для
определения качества обработки поверхностей.
З’
исслед.
( 2( поверхн.
1 2’
1
p1 P2 З
2
линза
1,2
З”
Основу интерферометра составляют две стеклянные пластины p1 и p2 и два
зеркала, одним из которых служит исследуемая поверхность.
Нижняя поверхность первой пластины представляет собой полупрозрачное
зеркало, на котором происходит разделение лучей: часть света (луч 1)
отражается вверх, отражается от исследуемой поверхности и после отражения
от нижнего зеркала З” направляется в окуляр (на рисунке не показан), через
который и наблюдается интерференционная картина.
После прохождения пластины p1 луч 2 направляется к зеркалу З,
отражается от него, затем от полупрозрачного зеркала и вместе с лучем 1
направляется к наблюдателю.
Луч 1 после отражения от полупрозрачного зеркала и на обратном пути
дважды проходит через пластину p1, “набирая” тем самым некоторую “лишнюю”
разность хода. Для ее компенсации служит пластина p2, изготовленная из того
же материала, что и первая. Разумеется, эту “лишнюю разность хода” можно
было бы легко скомпенсировать простым перемещением зеркала, если бы не было
дисперсии, зависимости коэффициента преломления от длины волны n(().
Применение компенсирующей пластины p1 позволяет осуществить такую
компенсацию сразу для всех длин волн.
Почему образуется интерференционная картина и как она выглядит
помогает понять укрупненный фрагмент рисунка слева вверху. Реальный луч 2 и
его отражение от зеркала З можно заменить лучем 2’ и его “отражением” от
изображения зеркала З в полупрозрачном зеркале - З’. Это изображение и
исследуемая поверхность образуют клин, пластину изменяющейся толщины.
Соответственно, через окуляр наблюдаются интерференционные линии равной
толщины - прямые, направленные перпендикулярно плоскости рисунка. И эти
линии видны искривленными, если исследуемая поверхность не вполне плоская.
При “идеально” плоской поверхности это прямые линии.
Ту же мысль можно сформулировать и иначе. При отражении от идеально
плоских поверхностей волны остаются плоскими, и фронты волн 1 и 2
составляют между собой угол 2(, если угол между исследуемой поверхностью и
изображением зеркала З’ равен (. Если исследуемая поверхность обработана
некачественно, волна 1 уже не будет плоской, интерференционная картина
исказится.
Чрезвычайно простой в эксплуатации, такой интерферометр позволяет
обнаружить весьма небольшие неровности на исследуемой поверхности - порядка
долей длины волны.
8.6.2. Интерферометр Рэлея
Показатель преломления воздуха, как и других газов, при условиях,
близких к “нормальным”, мало отличается от единицы. Должно быть понятным,
что для измерения такой величины показателя преломления необходим
достаточно точный метод. Такого рода измерения могут быть произведены с
помощью интерферометра Рэлея.
x
1
S 0
2 l
экран
По существу схема получения интерференционной картины в этом случае
насильно отличается от классического опыта Юнга. Источником света служит
освещаемая достаточно удаленным источником щель S, от которой
распространяется цилиндрическая волна. С помощью линзы волна преобразуется
в плоскую волну: лучи 1 и 2 становятся параллельными. Они проходят через
кюветы, длины которых l могут быть достаточно велики.
Если показатели преломления газов в кюветах одинаковы,
интерференционная полоса (максимум) с нулевой разностью хода помещается в
центре экрана при x=0. Заметим - выше ее (на рисунке) расположатся линии
(максимумы), для которых оптическая длина пути нижнего луча больше.
Если верхняя кювета заполняется газом с несколько большим показателем
преломления, оптическая длина пути луча 1 на протяжении кюветы станет
больше и линия с нулевой разностью хода (“центральная”) сместится вверх.
x
1
S d 0
2 f
экран
Изображенная на предыдущем рисунке схема интерферометра Рэлея
заимствована из задачника Иродова. При такой схеме ширина интерференционной
полосы определяется выражением
[pic].
Реальный интерферометр Рэлея устроен несколько иначе: за диафрагмой
устанавливается линза, в фокальной плоскости которой и наблюдается
интерференционные полосы (с помощью окуляра с достаточным увеличением).
Но тогда угловое расстояние между источниками становится нулевым,
интерферировать должны параллельные лучи. Причина образования
интерферационной картины становится не очень понятной, непонятно, чем
определяется ширина полосы.
Но все это не так загадочно, как может показаться. Два точечных
источника представляют собой частный случай периодического расположения
источников, рассмотренный нами раньше. Заметив, что мы ограничимся лишь
малыми значениями углов (, повторим для пары источников проведенные ранее
рассуждения.
При (=0, естественно, будет наблюдаться максимум. Следующий максимум
будет при значении (, которое определяется условием
(x
d ( (
(L
( f
экран
[pic]; [pic]
и ширина полосы на экране
[pic].
Эти уточнения и расчеты помогут нам понять принцип работы другого
интерферометра, о котором речь пойдет ниже. Но обратите внимание на то, что
ширина максимума на экране определяется их угловой шириной, которую надо
умножить на фокусное расстояние линзы.
8.6.3. Звездный интерфероментр Майкельсона
Если угловое расстояние между двумя звездами очень мало, в телескоп
они видны как одна звезда. В таком случае говорят о двойных звездах и надо
провести специальное наблюдение, чтобы отличить их от звезд одиночных. Для
этого используется звездный интерферометр Майкельсона, который позволяет к
тому же определить угловое расстояние между звездами.
Устройство звездного интерферометра Майкельсона показано не рисунке.
Лучи света, пришедшего от удаленной звезды, отражается от зеркал,
разнесенных на достаточно большое расстояние D, затем от двух других зеркал
и собираются линзой на экране, помещенном в фокальной плоскости.
Разнесенные на расстояние D зеркала можно рассматривать как точечные
источники, расстояние между которыми и равно D.
D
( (
линза
[pic] [pic]
(x 0 X
Воспользуемся полученным ранее выражением для углового распределения
максимумов излучения света
[pic];
Иначе говоря,
[pic].
На экране будут наблюдаться максимумы на расстояниях [pic] друг от друга.
Если наблюдаются две близкие звезды, лучи света от которых приходят
под малым углом (, то на экране будут наблюдаться две интерференционные
картины, сдвинутые по отношению друг к другу на расстояние [pic]. Измерение
углового расстояния ( между звездами производится следующим образом.
При изменении величины D изменяется [pic]. Несложно догадаться, что
при [pic] видимость интерференционной картины ухудшится или она вообще не
будет наблюдаться. Это позволяет определить угловое расстояние между
звездами:
(( E0 (
0 (
[pic]
[pic]; [pic].
На рисунке показано именно такое взаимоположение интерференционных
картин, интенсивность излучения одной из звезд несколько больше. При
изменении расстояния между зеркалами изменяется величина ((.
Таким способом можно определить весьма малые угловые расстояния (.
8.6.4. Интерферометр Фабри-Перо
1 2 3
n=1
n>1
1’2’3’
Интерференция лучей отразившихся от поверхностей плоскопараллельной
пластины называется двухлучевой. И для такого названия имеется основание.
Коэффициент отражения границы стекло - воздух (=I1/I0 невелик,
несколько процентов. Обозначив интенсивность падающего луча как I0, для
интенсивностей других лучей мы получим такие значения:
I1 =I0 (; I2 =I0(1-()2(; I3 =I0(1-()2(4;
I1’=I0(1-()2; I2’=I0(1-()2(2; I3’=I0(1-()2(4.
Получаются эти выражения таким образом. Если коэффициент отражения (,
то коэффициент прохождения, как это следует из закона сохранения энергии,
равен (1-(). При определении интенсивности каждого луча интенсивность I0
следует умножить на коэффициент отражения и на коэффициент прохождения в
степени, равной числу отражений и пересечения границы раздела
соответственно. При малом коэффициенте отражения получается поэтому для
отраженных и прошедших через пластинку лучей:
I1 (I2; I3 > I2 ( I3;
I1’ ( I2’ ( I3’.
При таких соотношениях при обсчете углового распределения
интенсивности проходящего света необходимо учитывать много (все) проходящие
через интерферометр лучи. В этом случае интерференция называется
многолучевой.
Поскольку при прохождении прозрачных пластин энергия сохраняется,
минимуму в отраженном свете должен соответствовать максимум в свете
проходящем. Наконец, поскольку в промежутке между пластинами показатель
преломления (воздуха) можно считать равным единице, мы получаем такое
условие для максимума в проходящем свете:
[pic]; [pic].
При практическом использовании интерферометра Фабри-Перо угол ( мал, а
расстояние между пластинами d велико (порядка нескольких сантиметров). Так
что длина когерентности световой волны (2((( должна быть достаточно
большой.
