скоростью [pic] движения Земли на ее орбите вокруг Солнца, если
ограничиться членами первого порядка малости по [pic], где [pic] — скорость
света в пустоте.
Любой как угодно сложный оптический прибор, содержащий линзы, призмы,
щели, диафрагмы и т.д., можно считать кусочно однородной средой (т.е.
средой, состоящей из пространственных областей с разными показателями
преломления). Будем, однако, следуя Гамильтону, полагать, что имеем дело не
с такой специфической кусочно-однородной, а с произвольной оптически
неоднородной средой, оптические свойства которой характеризуются заданной
функцией локального показателя преломления [pic], где [pic] — показатель
преломления в точке среды с координатами [pic].
Среду будем считать твердой, прозрачной, неподвижной и жестко связанной
с Землей, движущейся сквозь эфир, покоящийся в мировом пространстве.
Лоренц проводит рассуждение в декартовой прямоугольной системе
координат [pic], жестко связанной со средой и с Землей. При этом он
предполагает, что Землю и прозрачную среду пронизывает “эфирный ветер”,
характеризующийся стационарным (не зависящим от времени) полем скоростей
[pic].
Таким образом Лоренц берет развитую им самим обобщенную формулировку
принципа Гюйгенса, учитывающую, что эфир движется относительно прозрачной
среды, в которой мы исследуем распространение световых волн, т.е. что в
среде имеется эфирный ветер.
Как при формулировке обычного принципа Гюйгенса, для неподвижного
эфира, возьмем два бесконечно близких положения волнового фронта, или
фронта волны, распространяющейся в покоящейся относительно Земли, но
движущейся относительно мирового пространства среде, увлекающей с собой
частично эфир, в два бесконечно близких момента времени t и t+dt. Пусть эти
положения характеризуются двумя геометрическими поверхностями S и S1, см.
рис.
[pic]
Чтобы исходя из поверхности волнового фронта S построить поверхность
волнового фронта S1, надо взять каждую точку P на поверхности S и мысленно
испустить из этой точки в момент времени t т.е. взять бесконечно малую
поверхность около точки P, до которой к моменту времени t+dt это возмущение
дошло. Такую поверхность назовем фронтом элементарной волны. На приведенном
рисунке кривая ab изображает часть поверхности фронта элементарной волны,
испущенной из точки P, рассматриваемой в момент времени t+dt.
Согласно принципу Гюйгенса, поверхность S1 ,будет геометрической
огибающей поверхностью фронтов всех элементарных волн, построенных для всех
точек P поверхности S.
Одновременно с построением положения последующего фронта волны мы
узнаем и дальнейший ход всех лучей. Прямой отрезок, проведенный из точки P
на поверхности P, являющейся центром испускания элементарной волны, в точку
P1, расположенную на поверхности S1 и являющуюся точкой касания этой
элементарной волной огибающей поверхности S, является элементом луча. Один
из элементов луча изображен отрезком PP1 на рисунке.
Точки P и P1, принадлежащие соответственно поверхностям S и S1 и
являющиеся началом и концом одного и того же элемента луча, называются
сопряженными точками.
При помощи геометрического построения Гюйгенса можно найти
последовательные положения S, S1,S11,... фронта распространяющейся волны и
последовательные элементы PP1,P1P11,P11P111,... любого луча. Каждый такой
луч проходит через ряд сопряженных точек, следующих одна за другой через
бесконечно малые расстояния.
[pic]
В случае отсутствия в среде эфирного ветра каждая из рассмотренных
бесконечно малых элементарных волн представляет собой бесконечно малую
сферу радиуса c1t, с центром, расположенным в соответствующей точке P, где
c1 - локальная скорость света в точке P среды. Для неоднородной среды
скорость света является заданной функцией с1=с1(x,y,z) точки среды и
поэтому различные элементарные волны будут иметь разные радиусы, см. рис.
В случае наличия в среде эфирного ветра элементарные волны тоже
являются бесконечно малыми сферическими поверхностями, но эти поверхности
теперь непрерывно сносятся движением эфира, и поэтому центры их в момент
времени t+dt располагаются не в точках P испускания волн, а в бесконечно
мало сдвинутых точках Q, которые находятся на бесконечно малых,
прямолинейных отрезках PR, вдоль точки P эфира перемещаются при его
движении за интервал времени t, t+dt. Отрезок PR имеет длину v·dt, где v -
скорость эфира в точке P и он направлен вдоль вектора скорости v эфирного
ветра в этой точке P. Радиусы сфер элементарных волн, однако, все равно
равны c1·dt, как в неподвижной среде, см. рис.
Точка Q может находиться и в начале (Q=P), и в конце (Q=R) отрезка PQ,
а также может лежать и внутри этого отрезка. Соответственно Лоренц
пользуется одной из следующих гипотез.
а) Если Q=P, то эфир не увлекается движущейся средой.
б) Если Q=P, то эфир полностью увлекается движущейся средой.
в) Если PQ=(1/n2)PR, то эфир частично увлекается движущейся средой;
здесь n - локальный показатель преломления для неподвижной среды в точке P.
Рассмотрим теперь важный частный случай движения Земли и прозрачной
Среды, когда они движутся в мировом пространстве поступательно равномерно
прямолинейно вдоль некоторого направления с некоторой постоянной скоростью
v.
Длина отрезка PQ теперь равна[pic]причем направления отрезков PR и
скорости v во всех точках P будут одинаковы.
Для частного случая поступательного равномерного прямолинейного
движения Земли и прибора сквозь мировой эфир Лоренц доказал следующую
замечательную теорему.
Теорема Лоренца. С точностью до членов первого порядка включительно по
отношению скоростей v/c, где v - поступательно равномерного прямолинейного
движения оптического прибора через неподвижный эфир, с - скорость света в
пустоте, геометрический ход лучей в оптическом приборе не зависит от
движения среды.
[pic]
Приступим к доказательству сформулированной теоремы. Рассмотрим ход
лучей в приборе относительно декартовых прямоугольных осей координат Oxyz,
жестко связанных с ним. Прибор движется равномерно прямолинейно
поступательно с постоянной скоростью v через неподвижный эфир.
Обратимся еще раз к рассмотренному выше рисунку. Обозначим РP1PQ между
направление светового луча, исходящего из точки P, и направлением движения
среды - через q, см. рис.
На рисунке полупрямая QP направлена вдоль направления эфирного ветра.
Согласно теореме косинусов, примененной к DP1PQ, имеем следующее
соотношение[pic]. Отрезок P1Q, согласно лоренцеву принципу Гюйгенса, равен
c1·dt, где c1 - локальная скорость света в точке P. Отрезок PQ, согласно
тому же принципу, равен k·v·dt, где k=1/n2, n - локальный показатель
преломления в точке P, v - скорость эфирного ветра. Отрезок PP1 равен
с1дв·dt, где с1дв - локальная скорость света в точке P для Среды с эфирным
ветром. Таким образом, приведенное соотношение можно представить в
следующем виде:
[pic]или в виде квадратного уравнения [pic]из которого можно определить
скорость с1дв. Решая это квадратное уравнение получим[pic]очевидно перед
корнем надо взять знак плюс, иначе получили бы отрицательное значение для
скорости с1дв. Считая скорость v движения среды через неподвижный эфир или,
что то же самое, скорость эфирного ветра малой по сравнению со скоростью
света с и разлагая корень в ряд по малости v2, имеем[pic]Следовательно, с
точностью до членов третьего порядка малости по v/c получаем приближенную
формулу[pic]. Из этой формулы сразу выведем еще одну приближенную формулу,
которая нам понадобится в дальнейшем: [pic]или [pic]справедливо с точностью
ло членов порядка малости v3/c31.
Определив, с помощью лоренцева обобщенного принципа Гюйгенса, скорость
с1дв распространения света по лучу для поступательно равномерно
прямолинейно движущейся прозрачной среды, воспользуемся теперь принципом
Ферма для определения хода лучей в оптическом приборе, жестко связанном с
движущейся Землей и перемещающимся вместе с ней. Согласно принципу Ферма,
для истинного пути L светового луча, выходящего из какой-то фиксированной
точки А и приходящего в другую фиксированную точку В, криволинейный
интеграл [pic]представляющий собой время распространения света по лучу,
должен принять минимальное значение. Здесь ds - длина элемента дуги кривой
ALB.
Пренебрегая членами второго порядка малости v2/c21 в вышеприведенной
формуле для 1/ с1дв, получаем следующую простую формулу для времени t для
любого мысленно воображаемого пути ALB: [pic]
Множитель v мы вынесли из-под знака интеграла, так как скорость
движения среды - постоянна. Учтем далее, что показатель преломления Среды
определяется формулой [pic]из которой сразу получаем с1n=c, где с -
скорость света в пустоте, - некоторая универсальная константа. Таки м
образом, множитель [pic]имеет постоянное значение, и его тоже можно вынести
из-под знака интеграла. Так приходим к формуле для времени распространения
света по лучу ALB [pic]Легко видеть, что второй интеграл не зависит от
формы пути ALB, так как он равен длине проекции прямолинейного отрезка АВ
на направление эфирного ветра в нашей прозрачной среде. Первый интеграл не
зависит от скорости движения среды, так как с1 - это линейная скорость
света в неподвижной среде.
При отыскании минимума времени t для различных путей ALB, соединяющих
фиксированные точки А и В, второй интеграл, не зависящий от формы пути ALB,
можно поэтому игнорировать. А так как первый интеграл не зависит от
скорости движения нашей среды, т.е. оптического прибора, то мы видим, что
форма пути истинного луча между точками А и В в движущемся оптическом
приборе будет в точности такой же, как и в покоящемся приборе.
Тем самым теорема Лоренца доказана.
4.7. Теория аберрации Стокса.
В 1845 г. Стокс опубликовал знаменитую работу “Об аберрации света”, в
которой изложил свою теорию аберрации. В момент написания этой работы Стокс
не знал еще работы Френеля 1818 г. по теории аберрации, о чем
свидетельствует отсутствие ссылок на работу Френеля в его работе 1845 г. и
его статья, появившаяся через несколько месяцев, уже в 1846 г., в которой
Стокс подробно излагает по-своему теорию Френеля, называет ее
“замечательной” и дает ей интересное дальнейшее развитие. Однако здесь же,
в этой статье 1846г. Стокс отмечает, что теперь “мы столкнулись с
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
