сравнению с собственными частотами колебаний электронов в атомах вещества,
электроны можно считать свободными. Уравнение движения свободного электрона
под действием гармонического поля [pic] и решение этого Уравнения имеют вид
[pic].
Здесь [pic] — масса и заряд электрона. Мы не учитываем силу, действующую на
заряд со стороны магнитного поля, так как рассматривается нерелятивистский
случай ([pic]). Поляризация среды (дипольный момент единицы объема,
содержащей [pic] электронов) равна
[pic].
Отсюда [pic] и
[pic]. (1.17)
При [pic] мы получаем из (1.17) прежний результат: [pic] и [pic]. Область
применимости формулы (1.17) для сред, в которых нет свободных электронов,
лежит в диапазоне далекой ультрафиолетовой области для самых легких
элементов.
С учетом (1.16) уравнения Максвелла для комплексных амплитуд примут вид
[pic], (1.18)
[pic]. (1.18)
Поясним вывод уравнения [pic]. Из уравнения непрерывности при гармонической
зависимости от времени следует, что
[pic].
Подставляя это соотношение в уравнение Максвелла [pic], запишем его в форме
[pic].
Учитывая определение [pic], получим уравнение [pic].
Таким образом, для высокочастотных монохроматических полей вместо
диэлектрической проницаемости и проводимости удобно ввести комплексную
диэлектрическую проницаемость, объединяющую оба эти понятия. Физически это
означает, что ток в среде для высокочастотных полей нецелесообразно
рассматривать как сумму тока проводимости и тока смещения. Вместо этого
вводится полный ток
[pic], (1.19)
где [pic] — комплексный вектор поляризации среды.
§2. Закон дисперсии. Вектор объемной плотности поляризации.
Рассмотрим простые физические модели диспергирующих сред. Ясно, что
простые модели, отражающие реальные свойства среды, могут быть построены в
немногих случаях. Тем не менее они очень важны для понимания физики и
заслуживают подробного обсуждения.
Для нахождения зависимости [pic] от частоты (закона дисперсии)
необходимо решить задачу о взаимодействии электромагнитной волны с
имеющимися в среде зарядами.
Все современные теории дисперсии учитывают молекулярное строение
вещества и рассматривают молекулы как динамические системы, обладающие
собственными частотами. Молекулярные системы подчиняются законам квантовой
механики. Однако результаты классической теории дисперсии во многих случаях
приводят к качественно правильному выражению для показателей преломления и
поглощения как функций частоты.
Диэлектрики условно разделяются на два типа — неполярные и полярные. В
молекулах неполярных диэлектриков заряды электронов точно компенсируют
заряды ядер, причем центры отрицательных и положительных зарядов совпадают.
В этом случае в отсутствие электромагнитного поля молекулы не обладают
дипольным моментом. Под действием поля волны происходит смещение электронов
(ионы при этом можно считать неподвижными, поскольку их масса велика по
сравнению с массой электронов) а каждая молекула поляризуется — приобретает
дипольный момент [pic]. Если диэлектрик однороден и в единице объема
содержится [pic] одинаковых молекул, то вектор объемной плотности
поляризации [pic].
Для определения вектора [pic] необходимо решить уравнение движения
электронов в молекуле под действием поля волны и найти смещение электронов
как функцию поля. В классической теории дисперсии описание движения
электронов в молекуле основано на модели Друде — Лоренца, согласно которой
молекула представляется в виде одного или нескольких линейных гармонических
осцилляторов, соответствующих нормальным колебаниям электронов в молекуле.
Рассмотрим уравнение движения такого осциллятора:
[pic]. (2.1)
Здесь [pic] — эффективная масса, [pic] — константа затухания, имеющая
размерность частоты, [pic] — резонансная угловая частота нормального
колебания, [pic] — поле, действующее на диполь. Для плотных сред
действующее поле [pic] в однородном диэлектрике отличается от среднего
макроскопического поля в среде на величину [pic] и равно
[pic].
Отметим, что последнее равенство справедливо для изотропной среды и для
кристаллов кубической симметрии.
При гармонической зависимости от времени поля [pic] из уравнения (2.1)
получим следующее соотношение:
[pic].
Отсюда удобно выразить [pic]:
[pic]. (2.2)
Учитывая, что [pic], из (2.2) найдем
[pic], (2.3)
[pic].
Разделяя в (2.3) действительную и мнимую части, получим
[pic].
Здесь введены обозначения [pic], [pic]. В случае низких частот,
удовлетворяющих условию [pic], придем к выражению для статической
диэлектрической проницаемости
[pic].
Для твердых и жидких диэлектриков [pic] может значительно превышать
единицу.
В газах плотность поляризованных молекул обычно невелика. При этом
[pic] и можно считать, что [pic] мало отличается от единицы. Поэтому
[pic]. (2.4)
§3. Зависимость показателя преломления и поглощения от частоты.
Из (2.4) с учетом формул
[pic]
для показателя преломления и поглощения получим
[pic]. (3.1)
Выясним, как зависят показатели преломления и поглощения от частоты.
Если выполняется условие [pic], т. е. если частота волны далека от
резонансной ([pic] или [pic]), то
[pic], (3.2)
т. е. показатель преломления мало отличается от единицы. При [pic],
величина [pic]; она увеличивается с ростом частоты. При [pic] значение
[pic] отрицательное; [pic] также увеличивается с ростом [pic], приближаясь
к единице (рис. 1). Показатель поглощения [pic] в этом диапазоне частот
мал. Вблизи резонанса [pic] показатель преломления уменьшается с ростом
частоты. При условии точного резонанса, когда [pic], [pic] обращается в
единицу, а показатель поглощения принимает максимальное значение. Область
частот, в которой показатель преломления убывает с увеличением частоты,
называется областью аномальной дисперсии; здесь имеет место возрастание
фазовой скорости.
В случае, когда молекула моделируется совокупностью осцилляторов
различных типов, обладающих разными резонансными частотами, для
диэлектрической проницаемости можно получить выражение, обобщающее (2.3):
[pic]. (3.3)
Здесь [pic] — объемная плотность числа осцилляторов с частотой [pic].
Если вычислить дипольный момент единицы объема, пользуясь методами
квантовой механики, то для [pic] получается формула, аналогичная (3.3), с
той лишь разницей, что [pic] заменяется в ней на [pic], где [pic] — сила
осциллятора для перехода с частотой [pic]. Суммирование ведется по всем
разрешенным дипольным переходам.
Формулы (2.3) и (3.3) получены для модели независимых атомов, однако
они дают вполне правильное феноменологическое описание любой системы,
спектр поглощения которой представляет набор дискретных линий.
Мы обсудили модель, дающую закон дисперсии для диэлектриков, молекулы
которых приобретают дипольный момент только во внешнем поле. Но молекулы
полярных диэлектриков (например, воды) обладают дипольным моментом и в
отсутствие поля. Механизм поляризации такого диэлектрика сводится к
ориентирующему действию поля волны.
Пусть дипольный момент одной молекулы равен [pic]. При отсутствии волны
векторы [pic] из-за теплового движения ориентированы хаотически. Если же в
среде распространяется волна, каждый элементарный диполь приобретает
составляющую, параллельную вектору [pic]. Следовательно, становится
отличным от нуля дипольный момент [pic] единицы объема:
[pic]. (3.4)
В этом выражении [pic] — угол между векторами [pic] и [pic] — случайный
параметр; угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю молекул. Для
вычисления [pic] воспользуемся статистическим законом распределения
Больцмана
[pic].
Здесь [pic] — потенциальная энергия молекулы в электрическом поле; [pic]
эрг/К — постоянная Больцмана; [pic] — константа, определяемая условием
нормировки
[pic]. (3.5)
Мы не будем интересоваться здесь нелинейными эффектами, поэтому считаем
энергию ориентации малой по сравнению с энергией теплового движения: [pic].
В этом приближении из (3.5) имеем [pic]. Проводя усреднение в формуле
(3.4), получим
[pic]. (3.6)
Если [pic], то в разложении [pic] в ряд по степеням [pic] появятся
нелинейные члены.
До сих пор предполагалось, что переориентация диполей мгновенно следует
за изменениями поля электромагнитной волны. На самом же деле имеется
запаздывание, учет которого позволяет описать эффекты частотной дисперсии
при распространении сигнала в среде с хаотически ориентированными
дипольными молекулами.
Считаем, следуя Дебаю, что при включении в момент [pic] поля волны
[pic] поляризация в данной точке пространства изменяется по закону
[pic]. (3.7)
Здесь [pic] — статическая (при [pic]) восприимчивость. При учете только
частотной дисперсии для изотропной среды из формулы (1.8) получаем
[pic]. (3.8)
Как нетрудно проверить, зависимость (3.7) следует из (3.8) при
[pic]. (3.9)
Следовательно,
[pic], (3.10)
где [pic] — статическая диэлектрическая проницаемость. Функция [pic], а
значит, и потери энергии имеют максимум при [pic]. Время релаксации [pic],
например, в парах воды имеет порядок [pic], и «резонансное» поглощение
возможно в миллиметровом диапазоне электромагнитных волн.
При [pic] дисперсия (3.10) несущественна. Так, при распространении волн
сантиметрового диапазона и более длинных в тропосфере, представляющей собой
смесь молекул воздуха (кислород, азот и т. д.) и паров воды, можно
пользоваться формулой
[pic]. (3.11)
Здесь [pic] — объемные концентрации молекул воздуха и пара. Принято, что
поле в среде равно полю волны, и соударениями можно пренебречь. Собственные
частоты молекул газов, входящих в состав воздуха, лежат в области [pic]>15
ГГц ([pic] см). Поэтому в (3.11) для [pic] см [pic]. Однако в оптическом и
миллиметровом диапазонах имеются области резонансного поглощения волн.
Поэтому для целей радиосвязи в тропосфере в этом диапазоне необходимо
выбирать «окна прозрачности», т. е. пользоваться частотами, не совпадающими
с собственными частотами среды.
Заключение.
Подводя итоги, следует отметить, что дисперсию электромагнитных волн
можно условно разделить на частотную (за счет зависимости [pic], [pic],
[pic] от частоты) и пространственную (за счет зависимости этих же
параметров от волнового вектора [pic]). Как уже говорилось, частотная
дисперсия существенна, если частота электромагнитных волн близка к
собственным частотам колебаний в среде. Пространственная же дисперсия
становится заметной, когда длина волны сравнима с некоторыми характерными
размерами.
При использовании диэлектриков в переменных электромагнитных полях
необходимо знать собственные частоты колебаний молекул вещества диэлектрика
для установления характера зависимости показателя преломления и поглощения
(и других параметров) от частоты и во избежание (если это необходимо)
резонансного поглощения электромагнитных волн.
Характерной особенностью диэлектриков является необходимость отдельного
рассмотрения явления дисперсии для полярных и неполярных молекул, что
обусловлено наличием (отсутствием) дипольного момента в отсутствии внешнего
электромагнитного поля у полярных (неполярных) диэлектриков.
Литература.
Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. «Теория волн». Москва
«Наука», 1990 г.
-----------------------
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Страницы: 1, 2
