целого, меняются в течение её свободного движения.
Концентрация или плотность пространственного распределения частиц газа
может быть выражена интегралом , а среднее число частиц
в элементе объёма определяется произведением . Под
элементом объёма подразумевается физически малый объём , т.е.
участок пространства, размеры которого малы по сравнению с размерами,
рассматриваемыми в задаче. В то же время размеры малого объёма велики по
сравнению с размерами молекул. Утверждение о нахождении молекулы в данном
элементе объёма определяет положение молекулы в лучшем случае лишь с
точностью до расстояний, превышающих размеры самой молекулы. Точное
определение координат двух классических частиц даёт возможность точного
определения их траекторий до и после столкновения, если оно имело место.
Неопределенность же точного взаимного положения частиц даёт возможность
применять вероятностный подход к решению задачи об их столкновении.
Рассмотрение классического газа подразумевает то, что плотность
является макроскопической величиной. Макроскопичность имеет место
лишь в том случае, когда элементарный объём содержит достаточно большое
число частиц ( только тогда изменение числа частиц в элементарном объёме
мало в течение рассматриваемого процесса); при этом линейные размеры
области, занимаемой газом, должны быть значительно больше среднего
межмолекулярного расстояния.
(2 Столкновение частиц.
Рассмотрим столкновение молекул, одни из которых обладают значениями
величин Г, лежащими в заданном интервале , а другие – в интервале
. В результате столкновения молекулы приобретают значения величин Г в
интервалах соответственно и . Далее для краткости будем говорить о
столкновении молекул и с переходом
Произведение числа молекул в единице объёма на
вероятность каждой молекулы испытать столкновение с указанным переходом
даст полное число таких столкновений, отнесённое к единице объёма в единицу
времени. Вероятность такого события (обозначим её через некоторую функцию
) пропорциональна числу молекул в единице объёма и
интервалам значений величин каждой из молекул после
столкновения. Таким образом, будем считать, что , а число
столкновений с переходом , происходящих в единице объёма в
единицу времени примет вид
( штрихом обозначены конечные
состояния, без штриха - начальные). Вероятность столкновения обладает
важным свойством, которое следует из законов механики, относительно
обращения знака времени. Если обозначить верхним индексом Т значения всех
величин, получившихся при обращении знака времени, то будет иметь место
равенство
Обращение времени переставляет состояния “до” и ”после”, а значит
необходимо переставить местами аргументы функции вероятности. В частности,
указанное равенство справедливо в случае равновесия системы, т.е. можно
утверждать, что в равновесии число столкновений с переходом
равно числу столкновений с переходом (*). Обозначим
через равновесную функцию распределения и запишем
(1)
Произведение дифференциалов представляет собой элемент фазового
пространства, который не изменяется при обращении времени (дифференциалы в
обеих сторонах равенства можно опустить) . Не изменяется так же
потенциальная энергия молекул , и, следовательно, равновесная
(больцмановская) функция распределения, которая зависит только от енергии :
(2)
V – макроскопическая скорость движения газа как целого. В силу закона
сохранения энергии при столкновении двух молекул . Поэтому
можно записать (3)
Отметим ещё тот факт, что сама функция вероятности в принципе может быть
определена лишь путём решения механической задачи о столкновении частиц.
Написанное выше равенства (1) , (2) и (3) дадут после сокращений в (1)
С учётом утверждения (*)
Интегрируя последнее равенство (для использования в дальнейшем) получаем
соотношение:
(4)
(3 Вывод кинетического уравнения.
Рассмотрим производную от функции распределения по времени:
При движении молекул газа в отсутствии внешнего поля величины Г, как
интегралы движения, не изменяются.
(5)
(последнее слагаемое в выражении производной обнуляется , т.к.
)
( оператор набла)
Выражение для производной примет вид : (6)
Пусть теперь газ находится во внешнем потенциальном поле ,
действующем на координаты центра тяжести молекул (например, в
гравитационном поле). И пусть F – сила, действующая со стороны поля на
частицу.
(7)
Правую часть равенства (6) обозначим через . Символ
означает
скорость изменения функции распределения благодаря столкновениям, а
величина
есть отнесённое к единице времени изменение за счёт столкновений числа
молекул в фазовом объёме . Полное изменение функции распределения в
заданной точке фазового пространства запишется в виде :
(8)
Величина называется интегралом столкновений, а уравнение вида (8) –
кинетическим уравнением. Реальный смысл кинетическое уравнение (8) примет
только после определения вида интеграла столкновений.
(3 Определение вида интеграла столкновений и уравнения Больцмана.
Во время столкновения молекул происходит изменение величин, от
которых зависит функция распределения. Учитывая тот факт, что время
наблюдения состояния системы и координаты частиц изменяются, не зависимо от
того, произошло или нет столкновение частиц (которое влияет лишь на
характер изменения координат),можно утверждать,что изменяются
величины Г столкнувшихся молекул. Рассматривая достаточно малый интервал,
обнаружим, что молекулы при столкновении выводятся из этого интервала,
т.е. имеют место акты “ухода”. Пусть двум столкнувшимся молекулам
соответствуют, как и ранее, величины и до столкновения ,а ,
после столкновения (для краткости говорим о переходе ).
Полное число столкновений при вышеуказанном переходе со всеми возможными
значениями
при заданном , происходящих в единицу времени в объёме
,определяется интегралом
В то же время происходят столкновения иного рода (называемые “приходом”), в
результате которых молекулы, обладавшие до столкновения значениями величин
, лежащими вне заданного интервала , попадают в этот интервал.
Такие переходы могут быть обозначены следующим образом: (со всеми
возможными значениями при заданном ). Аналогично первому типу
перехода полное число таких столкновений в единицу времени в объёме
равно:
В результате всех столкновений изменение числа молекул в единицу времени в
элементарном объёме определяется разностью между числом актов ухода и
числом актов прихода:
(9) , где
и
Интеграл столкновений может быть определён как:
(10)
(изменение числа частиц в единицу времени в фазовом объёме dVdГ )
Из соотношений (8) и (9) получим вид интеграла столкновений
(11)
Заметим, что во втором члене подынтегрального выражения интегрирование по
имеет
отношение только к функции . Множители и не зависят от
переменных . Преобразовав эту часть интеграла с помощью соотношения
(4) , получим окончательный вид интеграла столкновений
(12)
и кинетического уравнения
(13)
Полученное интегрально - дифференциальное уравнение носит название
уравнения Больцмана.
Рассмотрим не зависящее от времени распределение в состоянии равновесия
системы в отсутствии внешних воздействий. Такое распределение является
стационарным (не зависит от времени) и однородным (не изменяется в области
пространства, занимаемой системой). Наложенные условия обнуляют производную
функции распределения по времени и трём координатам; левая часть
кинетического уравнения обращается в нуль. Подынтегральное выражение
обращается в нуль вследствие равенства (3). Следовательно, равновесное
распределение в отсутствии внешних полей удовлетворяет кинетическому
уравнению тождественным образом. Если газ находится в равновесном состоянии
под действием внешнего потенциального (например, гравитационного) поля, то
функция распределения и в этом случае удовлетворяет кинетическому
уравнению. Действительно, равновесное распределение выражается через
интеграл движения – полную энергию молекулы . Левая часть
кинетического уравнения представляет собой полную производную ,
которая равна нулю как производная от функции, зависящей только от
интегралов движения. Правая часть уравнения, как уже было указано, есть
нуль. Таким образом, кинетическому уравнению удовлетворяет и функция
распределения газа, находящегося в равновесии во внешнем потенциальном
поле.
К указанным во “Введении” допущениям добавим ещё одно: столкновения молекул
рассматриваются как мгновенные акты, происходящие в одной “точке”
пространства. Кинетическое уравнение описывает процес, который протекает в
интервале времени, много большем по сравнению с длительностью столкновений.
В то же время, рассматриваемая область системы должна значительно
превышать область столкновения частиц, которая имеет размеры порядка
величины радиуса действия молекулярных сил d. Время столкновения по порядку
величины может быть определено как ( - средняя скорость
движения молекул в газе). Полученные значения представляют собой нижний
предел расстояния и времени, при рассмотрении которых допускается
применение кинетического уравнения. Реальные физические задачи не требуют
