окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех
окружностей лежат на одном прямой, перпендикулярной к плоскостям
окружностей и называемой осью вращения.
Вращательное движение тела или точки
характеризуется углом поворота,
угловой скоростью и угловым
ускорением. Угол поворота ? - это
угол, считанный между двумя
последовательными положениями радиуса
вектора r, соединяющего тело или
материальную точку с осью вращения.
Угловая скорость ? - векторная физическая величина, показывающая, как
изменяется угол поворота в единицу времени и численно равная первом
производной от угла поворота по времени.
[pic]
Направление вектора ? совпадает с направлением аксиального вектора
??, т.е. такого, который имеет длину численно равную углу ?? в определенном
масштабе, а направление совпадающее с осью вращения и определяемое правилом
правого винта.
При равномерном вращении ? = const.
Следовательно ? = ? / t.
Равномерное вращение характеризуется периодом
вращения Т , т.е. временем, за которое тело
делает один полный оборот, круговой частотой
? = 2? / Т, частотой ? = 1/Т
и числом оборотов в единицу времени n.
Угловая скорость может меняться как по
величине, так и по направлению. Векторная
величина, характеризующая изменение угловой
скорости в единицу времени и численно равная
второй производной от угла поворота по времени,
называется угловым ускорением:
[pic]
Если положение и радиус окружности, по которой происходит вращение не
изменяется со временем, то ? совпадает по направлению с направлением ? в
случае ускоренного вращательного движения и противоположна в случае
замедленного вращения.
Связь между линейной и угловой скоростью и ускорением.
Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости v
, которые непрерывно изменяют свое направление и зависят от ? и расстояния
r соответствующей точке до оси вращения.
Точка, находящаяся на расстоянии r от оси вращения проходит путь ?S =
r??.
Поделим обе части равенства на ?t:
[pic], при ?t 0 получим пределы от левой и
правой частей равенства:
[pic]
Но [pic]
Таким образом, чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем больше ее
линейная скорость. Известно, что [pic]
[pic]
Откуда [pic]
Из написанных формул видно, что a?, an и a растут с увеличением
расстояния точек до оси вращения. Формула v = ?r устанавливает связь
между модулями векторов v, r, и ?, которые перпендикулярны друг к
другу.
Т.к. ? | r ,то можно написать v =
??r?sina это ничто иное как модуль
векторного произведения. Таким образом
v = [ ? r ]
Рассмотренные простейшие виды движения
твердого тела важны потому,
что любое движение твердого тела сводится к ним.
Рассмотрим два последовательных
положения тела А1 и А2. Из положения
А1 в положение А2 тело можно перевести
следующим образом: вначале А1 в А1
поступательно. Затем из положения А1 в
положение А2 путем поворота на угол ?
вокруг произвольной точки 0.
Следует отметить, что в вращательному
движению применимы все формулы
кинематики материальной точки с заменой
в них линейных величин на
соответствующие угловые.
Например: [pic]
Колебательное движение.
Колебаниями или колебательными движениями являются движения или
изменения состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во
времени. Колебания весьма разнообразны по своей природе: колебания
пружинного маятника, качания маятников, колебания струн, вибрации
фундаментов, качка корабля, колебания ветвей деревьев и т.д.
Колебания называются периодическими, если значения физических величин,
изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки
времени: положение маятника в часах, Т – период, v = 1/T.
При изучении кинематики колебательных движений нас интересуют:
- закон, по которое повторяется движение;
- время, через которое тело (система) снова приходит к тому же самому
состоянию;
- наибольшие отклонения, которых достигает движущееся тело и т.д.
Изучив эти характеристика колебательного движения, мы можем определить
состояние тела (системы) в любой момент времени.
Все сложные виды колебательных движений можно свести к простейшим
гармоническим колебаниям. Гармоническими колебаниями физической величины a
называется процесс изменения ее во времени по закону sin или cos.
Например: колебания математического маятника, x = x0cos?t колебания
пружинного маятника.
Аналогично колебательного движения можно
получить, если рассмотреть закон
изменения проекции точки, движущейся по
окружности на линию, лежащую в плоскости
движения точки.
Если радиус окружности r, угловая
скорость вращения ? , то проекция
y = r sin? = r sin?t
если было начальное смещение на ?0,
y = r sin ( ?t + ?0 )
Аргумент синуса (или cos) наз. фазой.
Фаза определяет положение колеблющейся
величины в данный момент времени. ?0 –
начальная фаза, которая определяет
положение точки в начальный момент
времени t = 0
y = y0 sin?0
? - круговая или циклическая частота, т.е. число полных колебаний, которые
совершаются за 2? единиц времени:
? = 2?v = 2?/Т
где v - частота колебаний, т.е. число полных колебаний за единицу времени;
Т - период колебания - наименьший промежуток времени, по истечении которого
повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение,
т.е. время, за которое совершается полное колебание; у – смещение точки -
удаление от положения равновесия в данный момент времени; у0 - амплитуда
колебания - (наибольшее значение колеблющейся функции).
Вычислим скорость и ускорение точки, совершающей гармоническое
колебание:
[pic]
Знак " – " означает, что ускорение направлено в сторону,
противоположную смещению. Изменение y, v, a с течением времени можно
представить так:
|t |y |v |a |
|0 |0 |?y0 |0 |
|T/4 |y0 |0 |– ?2 y0 |
|T/2 |0 |– ?y0 |0 |
|3T/4 |– y0 |0 |?2 y0 |
|T |0 |?y0 |0 |
Графически эти зависимости имеют вид:
Из таблицы и графика следует, что скорость имеет максимальные
значения, когда точка проходит положения равновесия, а ускорение
максимально в крайних положениях.
Сложение колебаний
Из теорий гармонического анализа известно, что любую периодическую
функцию f(x), имеющую период 2?, можно представить в виде
тригонометрического ряда:
[pic]
где a0, an, bn - коэффициенты этого ряда, определяемые по
формулам:
[pic]
Следовательно, любое сложное колебание можно представить как сумму
нескольких простых. Чтобы знать, как зависят параметры сложного колебания
от соотношения частот, амплитуд, фаз и направлений слагаемых колебаний,
рассмотрим наиболее простые случаи сложения гармонических колебаний.
1. Сложение двух колебаний одного направления.
а) сложение 2-х колебаний одинаковой частоты.
?1 = ?2 = ?, Т1 = Т2 = Т Уравнения колебаний отличаются только
начальной фазой и амплитудой и имеют вид:
[pic]
Представим оба колебания в виде векторов амплитуды Х01 и Х02,
Сложение векторов выполним графически.
Отложим от точки 0 под углом ?1 –
вектор Х01, под углом ?2 – вектор Х02.
Обе амплитуды вращаются с одинаковой
угловой скоростью и против часовой
стрелки. Следовательно, угол между
амплитудами остается постоянным, равным
(?2 – ?1). Вектор Х0 представляет
собой гармоническое колебание,
происходящее с той же частотой и
амплитудой |Х0|= |Х01+ Х02| и начальной
фазой ?. Из чертежа
[pic]
[pic]
Само результирующее колебание имеет вид:
[pic]
Важно заметить, что амплитуда результирующего колебания зависит от
разности фаз (?2 – ?1) слагаемых колебаний.
Она заключена в пределах:
[pic]
1) Если разность начальных фаз слагаемых колебаний, равна четному
числу ?, ?2 – ?1 = к? , то Х0 = Х01 + Х02, tg ? = tg
?1, ? = ?1, к = 0,1,2, …
Колебания однофазные и усиливают друг друга.
2) Если ?2 – ?1 = (2к+1)? , то Х0 = Х01 - Х02 , к = 0,1,2,…
следовательно колебания ослабляют друг друга
3) Если Х01 = Х02 , ?1 = ?2 = ? , ?2 = ?1
[pic]
Уравнение результирующего колебания имеет вид:
[pic][pic] – начальная фаза результирующего колебания.
Результирующее колебание гармоническое, отличающееся по фазе от
слагаемых колебаний на половину суммы их начальных фаз.
При ?1 – ?2 = 2к? , (к = 0,1,2,…) Х0 = 2Х01 – колебания усиливаются.
При ?1 – ?2 = (2к + 1)? , (к = 0,1,2,…) Х0 = 0 – колебания гасятся.
2. Биения.
Особый интерес представляет сложение колебаний одинакового направления
с одинаковыми амплитудами, имеющими (близкие) мало отличающиеся частоты.
Результирующее суммарное колебание имеет уравнение:
Полученное выражение представляет собой произведение 2-х гармонических
сомножителей с частотами [pic] и [pic].
Если ?1 мало отличается от ?2 , то частота [pic] имеет близкие значения
к ?1 и ?2 , а частота [pic] – будет очень мала, т.е. [pic]
Отсюда следует, что результирующее колебание можно рассматривать как
гармоническое колебательное движение, происходящее с круговой частотой
[pic] , периодом [pic] и амплитудой
[pic]
Причем амплитуда не остается постоянной, а медленно изменяется со
временем. Частота изменения амплитуды [pic] ,
а период амплитуды [pic]
[pic]
Такие колебания называются биениями. Биения - такие колебания,
амплитуда которых периодически возрастает и убывает по закону cos.
Максимальная амплитуда наблюдается, если фазы слагаемых колебаний
совпадают. Ясли эти колебания находятся в противофазе, то они гасят друг
друга.
Биения часто встречаются при сложении колебаний и широко используются
в радиотехнике.
2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
1) Рассмотрим движение точки М1, участвующей одновременно в 2-х взаимно
перпендикулярных колебаниях, частоты которых ?1 и ?2 равны (?1 = ?2 = ?),
амплитуды соответственно а и в.
Колебательный процесс в этом случае описывается системой уравнений:
[pic]
где ? – угол сдвига фаз.
Для определения уравнения траектории движения точки из системы
уравнений исключим время. Из первого уравнения [pic]
Второе уравнение перепишем в виде:
[pic]
Подставив вместо sin ?t и cos ?t их значения будем иметь
уравнение движения
[pic]
Исследуем некоторые частные случаи.
а) при равенстве частот имеет место еще и равенство фаз, т.е. ? =
0.
Уравнение траектории имеет вид [pic]
Уравнение прямой, проходящей через начало координат под углом ?: [pic]
Смещение от начала координат определяется уравнением
[pic]
Т.к. уравнение слагаемых колебаний имеет вид
[pic]
Таким образом результирующее движение является гармоническим
колебанием.
б) составляющая колебания отличается по фазе на ?/2 . Уравнение
траектории имеет вид: [pic]
отсюда [pic]
- эллипс с плоскостями a и b.
При равенстве амплитуд траектории
представляют собой окружность.
2) При сложении взаимно перпендикулярных колебаний, частоты которых
кратны между собой, например ?1 : ?2 = 1/2 , 2/3 и т.д. = m/n ,
где m и n – целые числа, колеблющееся тело описывает сложные кривые (наз.
Фигурами Лисажу), форма которых определяется отношением частот складываемых
колебаний, их амплитудой и разностью фаз между ними
?1 : ?2 = 2 : 1 ?1 : ?2 =
3 : 2
?? = 0 ?? = ? / 2 ?? =
0 ?? = ? / 4
-----------------------
[pic]
М(х, у, z)
z
х
у
0
r
[pic]
A
B
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Х
Х
Х1
Х2
t
Х
t
t
x
t
х
t
х
[pic]
y
x
в
- в
а
- а
y
x
в
- в
а
- а
a
в
y
x
y
x
