Значение сопротивления выражается в омах.
Обратная величина – отношение тока к напряжению – представляет собой
электрическую проводимость:
G=I/U=1/R. (1.5)
В теории линейных электрических цепей сопротивление и проводимость
принимают постоянными, не зависящими от тока, напряжения и других величин.
В реальных элементах это допущение, так же как и допущение отсутствия
запасания энергии, выполняется приближенно.
3. Источники
Под источником в теории цепей понимают элемент, питающий цепь
электромагнитной энергией. Эта энергия потребляется пассивными элементами
цепи – запасается в индуктивностях и емкостях и расходуется в активном
сопротивлении.
Напряжения источников, представляющие заданные функции времени,
называют также приложенными к цепи или возбуждающими цепь сигналами.
Примерами реальных источников электромагнитной энергии могут служить
генераторы постоянных, синусоидальных и импульсных сигналов разнообразной
формы, сигналы, получаемые от различного рода датчиков, антенн
радиоприемных устройств и т. д. Эти источники сигналов либо являются
первичными источниками, в которых происходит непосредственное
преобразование энергии неэлектромагнитной природы (механической,
химической, тепловой и т. д.) в электромагнитную энергию, либо получают
питание от первичных источников. Источник является активным элементом.
Для анализа цепей вводят идеализированный источник напряжения, который
учитывает главные свойства реального источника.
Источник напряжения. Под источником напряжения понимают такой элемент
с двумя выводами (полюсами), напряжение между которыми задано в виде
некоторой функции времени независимо от тока, отдаваемого во внешнюю цепь.
а) б)
Рисунок 1.3.
Наиболее часто применяемые условные графические обозначения источника
напряжения представлены на рис. 1.3, а и б, где принятая положительная
полярность напряжения источника указывается либо стрелкой внутри кружочка,
либо большой и малой чертами, малая соответствует знаку «-», а большая -
«+». Поскольку положительную полярность напряжения условились обозначать
знаками «+», «-», для источника напряжения в программе применено
обозначение, показанное на рис. 1.3, б.
Глава 1. Задача анализа разветвленной цепи
Электрическую цепь, приближенно отображающую электромагнитные процессы
в реальном устройстве, составляют путем соответствующего соединения между
собой рассмотренных двухполюсных элементов: сопротивления, индуктивности,
емкости и источников сигнала. В общем случае отдельные элементы, а также
отдельные участки цепи могут соединиться произвольно. В дипломной работе
рассмотрены только соединение сопротивления и источника сигнала, в качестве
которого используют ЭДС.
В результате получается электрическая схема, имеющая определенную
геометрическую конфигурацию. На рис. 4 приложения показан пример схемы
электрической цепи, составленной из нескольких сопротивлений и источников
ЭДС.
Основными понятиями, характеризующими геометрическую конфигурацию
разветвленной цепи, являются ветвь и узел.
Под ветвью в общем случае понимают участок цепи с двумя выводами. Токи
ветви принимают в качестве неизвестных переменных, характеризующих
состояние цепи. Поэтому, что конкретно следует понимать под ветвью, зависит
от выбора переменных цепи. Ветвью можно считать каждый элемент цепи. Но для
уменьшения числа переменных за ветви иногда принимают также участки из
последовательного соединения отдельных элементов, токи которых имеют одно и
то же значение, и участки из параллельного соединения отдельных элементов,
напряжения на которых имеют одно и то же значение. При анализе схемы за
ветвь принимается участок цепи между двумя узлами цепи.
Узел электрической цепи – это точка на схеме, в которой сходятся более
двух ветвей [4]. Например, на рисунке №4 приложения – 4 узла.
Задача анализа электрической цепи формулируется таким образом: Заданы
схема электрической цепи со значениями всех ее элементов, а также
напряжения источников, действующих в цепи. Требуется найти токи ветвей. В
дальнейшем будем применять общие термины, называя заданные напряжения
источников функциями возбуждения или сигналами, а искомые токи ветвей,
определяемые в результате анализа цепи, - реакциями. Следовательно,
требуется найти реакции цепи на действие заданных сигналов.
Выводы – узлы или ветви, реакции которых необходимо найти, - называют
выходными, а выводы, к которым присоединены источники, - входными.
Программа предназначена для анализа любой линейной цепи произвольной
конфигурации с любым конечным числом элементов.
Для определения искомых реакций – токов ветвей в общем случае –
необходимо составить уравнения цепи с помощью двух систем уравнений:
1) уравнений элементов, связывающих ток и напряжение каждого элемента,
а также заданные напряжения. Уравнения элементов не зависят от схемы и
геометрической конфигурации цепи, в которую входят элементы;
2) уравнений соединений, которые определяются только геометрической
конфигурацией и способами соединений ветвей (элементов цепи) и не зависят
от вида и характера элементов. Уравнения соединений устанавливают связи
между токами и напряжениями отдельных элементов, входящих в цепь.
Уравнения соединений составляют па основе двух законов Кирхгофа,
которые связывают токи ветвей, сходящихся в узлах, и напряжения ветвей,
входящих в контуры; контуры представляют замкнутые пути, проходящие
однократно через ряд ветвей и узлов.
Первый закон Кирхгофа, выражающий закон сохранения заряда, дает
уравнение равновесия токов в узле цепи и формулируется так: в любой момент
алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи,
равна нулю:
[pic].
Знак тока определяется выбором положительных направлений токов ветвей;
токам, выходящим из узла, приписывают условно знак «-», а током, входящим в
узел, - знак «+».
Второй закон Кирхгофа, выражающий закон сохранения энергии, дает
уравнение равновесия напряжений в контуре и формулируется следующим
образом: в любой момент алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре
равна нулю
[pic].
Знак напряжения определяется выбором положительных полярностей
напряжений ветвей: если при обходе контура перемещение происходит в сторону
понижения или падения напряжения, то напряжению ветви условно приписывают
знак «+», если в сторону повышения напряжения - знак «-».
Линейные цепи, составленные из элементов одного вида, например
резистивных, описываются системами линейных алгебраических уравнений.
Применяя программу расчета линейных разветвленных электрических схем,
необходимо лишь нарисовать схему, и ввести все значения сопротивлений и
ЭДС. Все остальные преобразования, такие как выбор обхода контура,
направления ЭДС, программа выполнит сама и выдаст конечный результат –
значения токов в ветвях схемы.
Целью настоящей дипломной работы является создание математической
модели и программы работающей по этой модели, позволяющей анализировать и
расчитывать разветвленные электрические цепи постоянного тока, на основе
использования законов Кирхгофа.
На основе проведенного литературного обзора я убедился, что в
настоящее время существуют только программы, которые решают лишь уравнения
созданные при анализе цепи, но не производят анализ самой цепи.
Глава 2. Пример. Результаты вычислений
Задача [3, №1.50]
Дано:
Е1=120В; Е2=60В; Е3=140В;
R1=1Ом; R2=0,5Ом; R3=0,4Ом; R4=R5=R6=3Ом
Найти токи в ветвях.
Ответ задачи: I1=6,8; I2=30,9; I3=24,1; I4=12,6; I5=18,3; I6=5,8.
Схема для задачи:
Эквивалентная схема для программы:
Результат вычисления программы:
Ответ: I1=6,83; I2=30,88; I3=24,05; I4=12,57; I5=18,31; I6=5,74.
Как видно, программа дает более точный результат, чем тот, который
предлагается для проверки правильности решения задачи.
Результаты вычислений выводятся в отдельном окне. (Рисунок №6
приложения).
Глава 3. Методика моделирования
В этой главе излагаются общие методы анализа цепей произвольной
структуры, составленных из двухполюсных резистивных элементов с постоянными
сопротивлениями и ЭДС, использованные для анализа схем в программе. Методы
основаны на составлении уравнений цепи относительно выбранных переменных и
их решении.
1. Линейный граф и матрица соединений
Для цепей сложной структуры использовалась запись уравнений в
матричной форме. Матричная запись:
1) позволяет распространять формальным образом полученные уравнения на
цепи любой сложной структуры;
2) систематизирует и упрощает процесс составления уравнений;
3) дает алгоритмы формирования уравнений с помощью ЭВМ; в случае
сложных цепей составление уравнений «вручную» (без ЭВМ) требует
значительных затрат времени.
Рассмотрим классические методы контурных и узловых уравнений. Вначале
введем понятие графа цепи, описывающего свойства цепи, связанные с взаимным
соединением ветвей, т. е. с геометрической структурой (топологией) схемы.
Применение понятия графа позволяет записывать в матричной форме уравнения
соединений, составляемые на основе законов Кирхгофа, и тем самым
формировать уравнения разветвленных цепей с помощью ЭВМ.
Уравнения равновесия токов и напряжений, составленные по Законам
Кирхгофа, как указывалось, линейными однородными уравнениями. Важное
условие, которое должно обеспечиваться, состоит в линейной независимости
уравнений. Ни одно уравнение не должно быть получено линейной комбинацией
остальных уравнений. Общий систематический метод получения линейно
независимых уравнений цепи основан также на привлечении понятий теории
линейного графа, одного разделов математической дисциплины—топологии. К
линейному графу приводит следующее соображение:
Уравнения равновесия токов и напряжений, составленные по законам
Кирхгофа, определяются только схемами соединений ветвей, т. е.
геометрической структурой цепи, и не зависят от вида и характеристик
