|[pic] |(16) |
|[pic] |(17) |
Первое уравнение мы уже решали, это решение вдали от резонанса - (13a).
Подставляем его в (17):
|[pic] |(18) |
Т.к. напряженность поля меняется по гармоническому закону, то
|E3(t) = 1/4 E03 (3 cos wt + cos 3wt) |(19) |
Уравнение (18) - это уравнение гармонического осциллятора, на который
действует внешняя сила (правая часть уравнения), состоящая из двух
компонент, одна из которых меняется с частотой w, а другая - с частотой 3w.
Поэтому решение будем искать в виде P'1=P'1,w cos wt + P'1,3w cos 3wt.
Подставляя его в (18) и получаем:
|[pic] |(20) |
|[pic] |(21) |
Объединяем (20-21) и получаем общее решение:
|P'= P'0 + P'1 = c(w,E0) E0 cos wt + c(3w,E0) E0 cos|(22|
|3wt |) |
где
|[pic] |(2|
| |3)|
Выводы:
Поляризация в сильном световом поле является функцией не только
частоты падающего излучения, но и его третьей гармоники. Известно,
что заряд, совершающий гармоническое колебание с некоторой
частотой, излучает монохроматическую электромагнитную волну той же
частоты. Поэтому в рассмотренной задаче появляются две волны: одна
с частотой w, другая - с частотой 3w.
Таким образом, в рамках простейшей модели мы показали, каким образом из-за
нелинейных свойств среды в сильном световом поле возникают высшие
гармоники.
Нелинейное взаимодействие электромагнитных волн
Тензор нелинейной восприимчивости
Рассмотрим нелинейное взаимодействие двух электромагнитных полей.
Одно из них, поляризованное вдоль j, описывается выражением:
|Ejw1(t) = Re(Ejw1 exp iw1t) = 1/2(Ejw1 exp iw1t + |(1)|
|к.с.), | |
а второе, поляризованное в направлении k, - выражением
|Ekw2(t) = Re(Ekw2 exp iw2t) |
Если среда нелинейная, наличие этих двух полей может привести к
появлению поляризации на частотах nw1+mw2, где n и m - целые
числа. Записав i-компоненту поляризации на частоте w3=w1+w2 в виде
|Piw3=w1+w2(t) = Re(Piw3 exp iw3t), |
определим тензор нелинейной восприимчивости (раньше мы
использовали cijk - тензор линейной восприимчивости) dijkw3=w1+w2
с помощью следующего соотношения для комплексных амплитуд
|[pic] |(2)|
Подобным же образом вводим тензор восприимчивости на разностной
частоте dijkw3=w1-w2
|[pic] |(3)|
где согласно (1) Ek-w2=(Ekw2)*
Рассмотрение взаимодействия электромагнитных полей начнем с записи
уравнения Максвелла, выделив в явном виде поляризацию P:
|[pic] |(4|
| |) |
|Примечание: |
|rot rot E = grad |
|div E - С2E |
Представив поляризацию в виде суммы линейного и нелинейного членов,
перепишем первое уравнение.
|[pic] |(5|
| |) |
Возьмем ротор от обеих частей второго уравнения (4) и подставим rot H из
(5) (см. тж. примечание), учитывая, что div E=0:
|[pic] |(6)|
Дальнейший анализ проведем для одномерного случая (¶/¶x=¶/¶y=0). За
направление распространения берем ось Z. Ограничимся рассмотрением
взаимодействия колебаний трех частот и соответствующие поля возьмем в виде
бегущих плоских волн:
|Eiw1(z,t) = 1/2[E1i(z) exp i(w1t-k1z) + к.с.], |(7)|
|Ekw2(z,t) = 1/2[E2k(z) exp i(w2t-k2z) + к.с.], | |
|Ejw3(z,t) = 1/2[E3j(z) exp i(w3t-k3z) + к.с.], | |
где ijk - декартовы координаты. Заметим, что при Pнел=0 решение уравнения
(6) дается выражениями (7) с амплитудами, не зависящими от z. В качестве
примера запишем i-компоненту нелинейной поляризации на частоте w1=w3-w2.
Согласно (3) и (7) она имеет вид
|[pic] |(7|
| |a)|
Вернемся к уравнению (6). В одномерном случае
|[pic] |(|
| |8|
| |)|
Дифференцируем и полагаем, что изменение комплексных амплитуд полей
достаточно медленное, т.е.
|[pic] |(9|
| |) |
Аналогичные выражения можно вывести для С2Ejw3(z,t) и С2Ekw2(z,t).
Подставляя (9) в (6) и используя соотношение ¶/¶t=iw1 получим волновое
уравнение для Eiw1(z,t):
|[pic] |(1|
| |0)|
Предполагаем, что при взаимодействии конечного числа полей уравнение (6)
должно удовлетворяться по отдельности для компонент с различными частотами.
Поставив (7а) и заметив, что w12m0e=k12, получим
|[pic] |(1|
| |1)|
или (считая s функцией частоты)
|[pic] |(11a|
| |) |
и аналогично
|[pic] |(11|
| |b) |
|[pic] |(11|
| |c) |
Эти уравнения мы применим в дальнейшем при рассмотрении ряда конкретных
случаев.
Генерация второй гармоники (ГВГ)
Первый эксперимент по генерации второй гармоники света был выполнен
Франкеном в 1961 году. Луч рубинового лазера с l = 694,3 нм фокусировался
на поверхность пластины из кристаллического кварца. Выходящее излучение
анализировалось спектрометром. Было найдено, что в нем содержится
компонента с удвоенной частотой (т.е. с l = 347,15 нм). Эффективность
преобразования в первых экспериментах была порядка 10-8. Использование
более эффективных материалов, увеличение мощности лазера, обеспечение
условий фазового синхронизма позволили в последние годы довести коэффициент
преобразования почти до единицы.
|[pic] |
|Рис.1. Схема первых экспериментов по ГВГ. |
|1 - рубиновый лазер, 2 - фокусирующая линза, 3 |
|- кварцевая пластинка, |
|4 - коллиматорные линзы, 5 - призма, 6 - |
|фотопластинка (экран). |
|Цвета показаны условно. |
Применим уравнения (11a-11c) для рассмотрения ГВГ. Это частный случай
взаимодействия полей трех частот, когда две частоты w1 и w2 одинаковы, а w3
= 2 w1. Следовательно, необходимо анализировать только два уравнения:
первое (или второе) и последнее. В целях упрощения будем считать, что
потери мощности входного луча (w1) за счет преобразования во вторую
гармонику малы, т.е. dE1i/dz » 0. Следовательно, можно рассматривать только
последнее уравнение (11c). Если среда прозрачна на частоте w3, то s3=0 и
|[pic] |(12) |
где w = w1 = 1/2 w3, Dk = k3(j) - k1(i) - k1(k), а k1(i) - волновое число
волны с частотой w1, поляризованной по оси i. Если E3j(0) = 0, т.е вторая
гармоника на входе отсутствует, и кристалл имеет длину l, решением (12)
будет
|[pic] |(13)|
или
|[pic] |(14|
| |) |
где e¦e3. Чтобы получить выражение для мощности второй гармоники P2w на
выходе, воспользуемся соотношением
|[pic] |(15) |
где S - площадь поперечного сечения пучка. Приняв e1»e3»e0n2 приходим к
коэффициенту преобразования
|[pic] |(16|
| |) |
Фазовый синхронизм при генерации второй гармоники
Из (16) следует, что предпосылкой для эффективной ГВГ является выполнение
условия Dk = 0, или, поскольку w3 = 2 w, а w1 = w2 = w,
|Dk = k2w - 2 kw = 0 ® k2w = 2 kw |(17) |
Если Dk ¦ 0, то волна удвоенной частоты, генерируемая в некоторой плоскости
(z1), дойдя до другой плоскости (z2), окажется не в фазе с волной удвоенной
частоты, генерируемой в этой плоскости. Результат интерференции таких волн
представлен в (16) множителем (1/2 Dk l)-2 sin2(1/2 Dk l). Два соседних
максимума этой интерференции удалены на расстояние, называемое "когерентной
длиной":
|[pic] |(18) |
Она является в сущности максимальной длиной кристалла, которую можно
использовать для ГВГ. Показатель преломления, как правило, растет с
увеличением частоты, так что
|Dk = k2w - 2 kw = (2 w /c)(n2w - nw) |(19) |
Здесь использовано k=wn/c. Когерентная длина выражается формулой
|[pic] |(20) |
в которой l - длина волны падающего света.
Пример
Если l = 1 мкм и n2w - nw = 0,01 , то lc = 100 мкм.
Увеличение lc от 100мкм до 2см согласно (16) влечет за собой
возрастание мощности второй гармоники в 4·104 раз.
Способ, который широко применяется для обеспечения условий фазового
синхронизма, заключается в использовании анизотропных кристаллов,
обладающих естественным двулучепреломлением. Используя связь kw = w Цme0
nw, вместо условия (17) получим условие n2w = nw, т.е. коэффициенты
преломления на основной частоте и на удвоенной должны совпадать. В
материалах с нормальной дисперсией показатель преломления обыкновенной и
необыкновенной волн, распространяющихся в данном направлении, растет с
частотой. Т.е. удовлетворить условию равенства коэффициентов преломления
невозможно, если волны частот w и 2w принадлежат одному типу (обыкновенные
или необыкновенные). Однако фазовый синхронизм может осуществляться
