Общая гидродинамика
Реферат по курсу ‘Общая гидродинамика’
1. Классификация сил, приложенных к частицам жидкости. Напряжения. Тензор
напряжений.
Все силы, приложенные к данной частице жидкости, можно разбить на два
класса: 1) силы объёмные, то есть такие, которые действуют не только на
поверхности жидкости, но и на внутренние части жидкости, заключенные в
данном объёме, как например, силы веса, в известном условном смысле
фиктивные силы инерции и другие (иногда ещё объёмные силы называют
массовыми силами) и 2) силы поверхностные - давление, касательные силы
трения между частицами и другие.
В дальнейшем будем относить массовые силы к единице массы, так что
сила будет иметь вид:
[pic]
где ( плотность жидкости, d( - элемент объёма и F - сила, отнесённая к
единице массы.
Поверхностные силы условимся относить к единице поверхности, так что
общий вид силы будет:
[pic]
где [pic] - сила, отнесённая к единице поверхности, [pic] - элемент
поверхности.
Основное отличие объёмных сил от поверхностных заключается в том, что
при действии на бесконечно малый объём поверхностные силы будут величинами
2-го порядка, а объёмные силы - 3го порядка. Так что при рассмотрении
движения бесконечно малого объёма можно пренебрегать всеми объёмными
силами, включая и силы инерции, то есть рассматривать равновесие бесконечно
малого объёма под влиянием только поверхностных сил.
Пользуясь произвольностью в выборе формы бесконечно малого объёма,
представим себе его в виде тетраэдра, образованного координатными
плоскостями и наклонной плоскостью с внешней нормалью [pic]. Здесь оси
координат взяты совершенно произвольно в пространстве, а направления
боковых граней тетраэдера можно определить ортами осей с обратными знаками,
как показано на рисунке.
[pic]
Если обозначим через [pic] среднее значение поверхностной силы,
распределённой по наклонной площадке [pic][pic][pic], а через
[pic],[pic],[pic] - то же для площадок с ортами: [pic],[pic],[pic] , то по
условию равновесия тетраэдера будем иметь:
[pic] (1)
Если обозначить через [pic],[pic],[pic] проекции орта [pic] на оси
координат, то есть косинусы углов между [pic] и направлениями осей, то
будем иметь:
[pic]
(2)
Подставляя в (1) найдём:
[pic]
Это уравновешивающая поверхностная сила, приложенная к наклонной
грани. Она уравновешивает силы, приложенные к боковым граням. Оставляя то
же обозначение [pic] для равнодействующей, получим разложение поверхностной
силы, приложенной к наклонной грани на поверхностные силы, приложенные к
координатным граням
[pic] (3)
Эта формула имеет очень большое значение для дальнейшего: она
показывает, что всякую поверхностную силу приложенную к площадке,
направление которой задано ортом [pic], можно разложить на три
поверхностных силы, приложенных к трём произвольно выбранным, но взаимно-
перпендикулярным площадкам в данном месте жидкости. Здесь [pic]- настоящий
физический вектор, что касается векторов [pic],[pic],[pic], то они не
физические и зависят то выбора осей [pic],[pic],[pic].
Не следует думать, что вектора [pic],[pic],[pic] и [pic] направлены
перпендикулярно к площадкам, к которым они приложены. Это будет только в
частном случае идеальной жидкости; вообще говоря, они будут как-то
наклонены к этим площадкам. Чтобы определить их направление, воэьмём
проекции на произвольную систему координат [pic][pic][pic]. Тогда будем
иметь величины:
[pic]
Первый индекс обозначает номер площадки, к которой приложена сила, то
есть номер оси, к которой площадка перпендикулярна, второй индекс - номер
оси, на которую проекция берётся; так, например, [pic] - есть третья
проекция силы приложенной ко второй площадке (перпендикулярной второй оси).
Проектируя уравнений (3) на оси координат, получим:
[pic] (4)
Эта группа формул показывает, что проекции поверхностной силы,
приложенной к любой наклонной площадке, могут быть выражены через девять
величин [pic]. Это свойство напряжений напоминает аналогичное свойство
перемещений частиц и других величин, которые являются тензорными
величинами.
Легко показать, что совокупность величин [pic] образует тензор.
Действительно, уравнения (4) можно рассматривать как линейное
преобразование вектора [pic] в физический вектор [pic]; коэффициенты
преобразования [pic] образуют при этом физический тензор. Этот тензор [pic]
называется тензором напряжений. Можно написать в принятом ранее смысле:
[pic]
(5)
Доказанная тензорность напряжений позволит нам в дальнейшем сделать
ряд необходимых выводов. Далее также будет доказана симметричность тензора
напряжений.
2. Уравнения движения произвольного объёма жидкости, выраженные через
напряжения. Симметричность тензора напряжений. Уравнение непрерывности
(сохранения массы).
Рассмотрим некоторый конечный объём жидкости (, ограниченный
поверхностью (; пусть плотность жидкости равна (, объёмные силы обозначены
через [pic] и отнесены к единице массы. Применим к нашему объёму принцип
Даламбера; на основании которого уравнениям движения системы частиц можно
придать форму уравнений равновесия, если к приложенным физическим силам
присоединить фиктивные силы инерции. Вспомним также принцип отвердевания,
формулируемый так: “если некоторой жидкий (вообще деформируемый) объём
находится в равновесии, то при затвердевании его равновесие не нарушится”.
Последний принцип даёт возможность утверждать, что в число уравнений
равновесия жидкости (равновесия в Даламберовском смысле) во всяком случае
входить условия равновесия соответствующего твёрдого тела. То есть, что
условия равенства нулю главного вектора и главного момента приложенных сил
являются необходимыми (но, конечно не достаточными) условиями равновесия
жидкого объёма.
Итак, имеем условие равенства нулю главного вектора:
[pic] (6)
и равенство нулю главного момента:
[pic] (7)
Рассмотрим сначала уравнение (6). Превратим второй поверхностный
интеграл в объёмный, для этого основываясь на формуле (3) перепишем его в
виде:
[pic]
и применим к каждому из входящих сюда интегралов вторую интегральную
формулу, тогда получим:
[pic] (8)
Подставляя в (6) найдём:
[pic] (9)
откуда в силу произвольности выбранного объёма следует:
[pic] (10)
Это и есть искомое уравнение движения жидкости, выраженное через
напряжения.
Обратимся к рассмотрению уравнения (7). Аналогично только что
проделанному преобразованию перепишем поверхностный интеграл в виде:
[pic]
и затем применим вторую интегральную формулу
[pic]
тогда будем иметь, подставляя в (7):
[pic] (11)
По (10) второй сомножитель некоторого произведения, входящего под знак
первого интеграла обращается в нуль, остаётся:
[pic]
откуда в силу произвольности ( следует:
[pic] (12)
Возьмём проекцию этого равенства на первую ось [pic]:
[pic]
откуда следует:
[pic]
Аналогичным путём, проектируя (12) на [pic] и [pic], найдём, что
вообще:
[pic]
(13)
Таким образом равенство нулю главного момента приводит к условиям
симметричности тензора напряжений.
Обычно в теории упругости (и сопротивления материалов) составляющие
напряжений с разными индексами [pic] при [pic] называют касательными
напряжениями, так как они лежат в плоскости площадки, к которой приложено
полное напряжение. Составляющие с одинаковыми индексами [pic] называют
нормальными напряжениями. Полученное равенство (13) представляет ничто
иное, как известную в сопротивлении материалов теорему взаимности
касательных напряжений.
Итак, из двух некоторых условий равновесия жидкого объёма по принципу
Даламбера, получено только одно векторное уравнение движения жидкости (10).
Имея в виду дальнейшие его преобразования, перепишем ещё его в проекциях:
[pic] (14)
В этой системе, при заданных объёмных силах [pic] имеем три неизвестных
проекции скорости [pic], [pic], [pic] и шесть неизвестных проекций
напряжений (по условию симметричности тензора напряжений), кроме того мы не
знаем ещё как изменяется плотность ( жидкости в зависимости от изменения
времени, скоростей и др. Таким образом, перед нами стоит совершенно
неопределённая задача, что и можно было ожидать, так как мы написали только
уравнения для твёрдого объёма, совершенно не принимая во внимание его
деформации. Естественно, что мы не сможем обойтись без дополнительных
физических предположений. Делая ряд физических гипотез о внутренних силах и
деформациях жидкого объёма, мы в дальнейшем доопределим нашу задачу.
Прежде всего мы сделаем совершенно необходимое предположение о
сохранении массы движущегося объёма жидкости (, так как без этого
предположения мы не сможем пользоваться обычными уравнениями динамики
постоянной массы (и ограничиваемся таким образом случаем скоростей
значительно меньших скорости света). Это предположение приводит нас к
условию:
[pic] (15)
Условие это может быть переписано так:
[pic]
Вспоминая из кинематики жидкости, что скорость объёмного расширения [pic]
равна произведению [pic], найдём:
[pic]
Отсюда опять, по условию произвольности выбора объёма (, получим:
[pic] (16)
Это и есть условие сохранения массы или, как его ещё называют, уравнение
непрерывности.
Этому уравнению можно придать другие различные формы. Например,
замечая, что:
[pic]
перепишем уравнение непрерывности так:
[pic]
или по известной формуле векторного анализа:
[pic] (17)
Если поле плотности стационарно, то [pic] и уравнение (17) переходит в
такое:
[pic]
Наконец, в случае жидкости с постоянной плотностью (несжимаемая жидкость),
Страницы: 1, 2
