Определение нагрузок на цилиндрические конструкции в потоке
Цилиндрические конструкции подверженные ветровым нагрузкам колеблются в
поперечном направлении (перпендикулярно направлению ветра) из-за
образования вихрей на боковых к ветру сторонах. Результатом является
образование вихревой дорожки называемой дорожкой Кармана. В определенном
диапазоне скоростей ветра и диаметров поперечного сечения цилиндрических
конструкций образование и сход вихрей происходят с постоянным периодом по
времени, следовательно на конструкцию действует периодическая возбуждающая
колебания сила. Когда частота схода вихрей приближается к одной из
собственных частот конструкции возникают резонансные колебания. Из за
изменения скорости ветра и возникновения порывов ветра появляются колебания
по направлению ветра но основной интерес представляют именно поперечные к
ветры колебания. Амплитуда резонансных колебаний будет возрастать до тех
пор пока энергия, рассеиваемая в результате демпфирования не будет равна
энергии поставляемой потоком воздуха. Таким образом конструкции обладающие
слабым демпфированием в большей степени подвержены данному эффекту.
Процесс образования вихрей на боковых по ветру поверхностях
цилиндрических конструкций зависит от чисел Рейнольдса Re. При очень малых
числах Рейнольдса течение в непосредственной близости к поверхности
цилиндра будет мало отличаться от идеального течения и образования вихрей
не будет. При несколько больших значениях (до Re = 40) течение отрывается
от поверхности и образует два симметричных вихря. Выше Re = 40 симметрия
вихрей разрушается и происходит зарождение асимметрического схода вихрей с
противоположных сторон. Диапазон от Re = 150 до 300 является переходным, в
нем течение меняется от ламинарного к турбулентному в области свободных
вихрей сорвавшихся с поверхности цилиндрической конструкции. В этом
диапазоне вихревой след периодичен, но скорость вблизи поверхности меняется
не периодично из-за турбулентности течения. Апериодичность изменения
скорости аргументируется турбулентностью природного ветра. Результатом
таких флуктуаций является то, что амплитуды подъемной или боковой силы
являются в некоторой степени случайными, эта случайность становится более
выраженной с увеличением числа Рейнольдса.
Периодичность вихревого следа характерна для диапазона от Re = 40 до
3*105. При больших числах Рейнольдса течение в пограничном слое на передней
к ветру поверхности изменяется от ламинарного к турбулентному и точка
отрыва вихрей смещается назад по потоку. В результате резко падает
коэффициент лобового сопротивления и след становится более узким и,
вероятно, апериодичным. Следовательно частота схода вихрей и амплитуда
подъемной силы становятся случайными.
Частота, с которой вихри отделяются от поверхности цилиндрической
конструкции, обычно характеризуется безразмерной величиной называемой
числом Струхаля Sh:
[pic]
где n – частота отделения вихрей, d – характерный размер, V – скорость
ветра. Когда сход вихрей является периодичным, n – частота этого схода,
если же сход является случайным необходимо говорить об энергетическом
спектре, а не об одной частоте.
Спектральная плотность боковой силы (цилиндр). Нормализованная
спектральная плотность подъемной силы
[pic]
по аргументу [pic]; [pic]
[pic]
Если использовать Кармановскую спектральную плотность и потребовать
выполнения условия =Ёормировки , то
[pic]
[pic]
[pic]
n – частота на графиках в герцах.
[pic] для больших чисел Re (по Фыну).
В связи с тем, что [pic] задается по частоте в [Гц], в выражении [pic]
после определения передаточной функции нужно перейти к частоте в [Гц]; в
формулу входит [pic].
Основные допущения и уравнение поперечных колебаний прямого стержня. При
выводе уравнений поперечного колебания мы будем предполагать, что в
недеформированном состоянии упругая ось стержня прямолинейна и совпадает с
линией центров тяжести поперечных сечений стержня. Эту прямолинейную ось мы
примем за координатную ось z и от нее будем отсчитывать отклонения
элементов стержня при поперечных колебаниях. При этом будем считать, что
отклонение отдельных точек оси стержня происходят перпендикулярно к
прямолинейному, недеформированному ее направлению, пренебрегая смещениями
этих точек, параллельными оси.
Далее, мы предполагаем, что отклонения точек оси стержня при поперечных
колебаниях происходят в одной плоскости и являются малыми отклонениями в
том смысле, что возникающие при этом восстанавливающие силы остаются в
пределах пропорциональности.
При таких предположениях отклонения точек оси стержня при поперечных
колебаниях однозначно определяются одной функцией двух переменных –
координаты z и времени t:
[pic].
Эта функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных
производных четвертого порядка, которое может быть построено следующим
образом.
Обозначим через m(z) массу единицы длины стержня (кг*сек2/см2), через EJ
– жесткость на прогиб [ E (кг/см2) – модуль упругости, J (см4) – момент
инерции поперечного сечения стержня относительно поперечной оси. На
стержень действует распределенная поперечная нагрузка, интенсивность
которой мы обозначим через [pic].
Кинетическая энергия колеблющегося стержня есть кинетическая энергия
поперечных смещений элементов стержня
[pic].
Потенциальная энергия равна сумме двух слагаемых:
а) потенциальной энергии упругой деформации (работа восстанавливающих
упругих сил)
[pic];
б) потенциальная энергия прогиба от поперечной нагрузки [pic]
[pic].
Функционал S Остроградского – Гамильтона имеет здесь вид
[pic]
Уравнение поперечных колебаний стержня мы получим, составив для
функционала S уравнение Эйлера:
.
[pic]
Решение задачи о свободных колебаниях консольно защемленной балки
[pic]
с граничными условиями
при z = 0:
[pic]
консольное защемление
при [pic]:
[pic]
отсутствие перерезывающих сил и моментов на свободном конце;
будет иметь вид:
[pic]
[pic]- для первого тона.
[pic] (1)
примем [pic] (Метод Бубнова-Галеркина)
[pic]
[pic]
[pic]
Тогда: [pic] где [pic]- собственная частота I-ого тона.
Здесь нет демпфирования, введем искусственно конструкционное демпфирование
(как логарифмический декремент, равен 0,005).
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] [pic]- случайная функция
[pic][pic]
[pic]
[pic] [pic]
В выражении [pic] величину [pic]
[pic];
[pic]
[pic] [pic]
[pic][pic]
[pic]
Интегрирование от 0 до 100
В величину [pic] частота входит в герцах, поэтому
[pic]
[pic]
Веса единицы объема кожуха(сталь) [pic] и футеровки [pic]
Средняя площадь футеровки [pic] и кожуха тубы [pic]
Погонная масса трубы [pic]
Аппроксимация формы [pic] при [pic], [pic], тогда [pic];
[pic]
[pic]
Тогда [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Независимость q от нормировки f(z) связана с тем, что линейное
дифференциальное уравнение для q зависит от правой части, знаменатель
зависит от второй степени, а числитель от первой степени f(z), т.е.
[pic] (чем больше f(l), тем меньше q при [pic])
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Тогда [pic]
Уравнение для q будет иметь вид:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
