Оптимизация профиля отражения частотных фильтров излучения с использованием модулированных сверхрешеток
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОФИЛЯ ОТРАЖЕНИЯ ЧАСТОТНЫХ ФИЛЬТРОВ ИЗЛУЧЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
МОДУЛИРОВАННЫХ СВЕРХРЕШЕТОК
Содержание.[pic]
1. Введение. 3
2. Математический аппарат. 6
3. Немодулированные бинарные структуры. 11
4. Модулированные бинарные структуры. 16
1. . Ступенчато модулированные решетки. 16
2. . Решетки со стековой модуляцией. 21
3. . Бинарные решетки с гауссовыми модуляциями. 25
5. Заключение. 35
6. Приложение.
38
7. Список использованной литературы. 42
1.Введение.
Бинарные периодические структуры, как известно, обладают как
частотными зонами с предельно малым пропусканием, так и зонами с малым
отражением. Данное свойство служат основой для использования таких сред в
качестве, например, селективных частотных фильтров, или управляемых зеркал.
Свойство это основано на многолучевой интерференции, дающей минимумы в
одних частотных диапазонах и максимумы в других. Некоторые из этих зон
(пропускания или отражения) являются «хорошими»: то есть гладкими и с
вертикальными краями. Некоторые же являются сильно возмущенными, что
затрудняет их использование для управления излучением.
В работе главным ограничением являются показатели преломления. Было
предложено использовать вещества с показателями преломления 1.44 и 2.0 или
1.44 и 2.2, из-за того, что остальные вещества являются либо
нетехнологичными и, соответственно, представляют собой чисто теоретический
интерес, либо нестойкими к лазерному излучению, что приводит к их скорому
разрушению. Следующим ограничением является частотный диапазон. Рабочая
частота, то есть минимумы и максимумы отражения должны лежать в видимом
диапазоне, что соответствует циклической частоте 1.5 * 1015 – 3.5 * 1015
Гц. Так как показатели преломления являются величинами жестко
зафиксированными, то при модуляции предложено изменять толщины слоев,
модулируя, таким образом, оптический путь.
В [1] было предложено использовать модулированный потенциальный
барьер для получения гладких зон пропускания и отражения для электронных
волн. В [2] была применена та же идея для сглаживания функции пропускания в
соответствующих зонах оптического излучения. Более общая физическая теория
подробно описана в [5] и, более применительно к данной теме, в [6].
Математическое обоснование всего проекта (как для расчетов, так и для
написания программы) детально разработано в [3] и, применительно к данному
случаю, в [4]. Наиболее же полная математическая идея общно и подробно
изложена в [7].
В данном проекте рассматривается профиль отражения на частоте
лазерного излучения. Было предложено три вида модуляции. Это «ступени» -
скачкообразное изменение оптического пути с постепенным общим повышением
или понижением значений. «Стеки» - набор из нескольких квазигармонических
периодов изменения значений. И, наконец, «гауссианы» - здесь происходит
изменение оптического пути по функции Гаусса - exp(-x2/(2), где параметр (
- ширина всей структуры. При этом рассматривается модуляция для разного
числа слоев в структуре.
Так же обсуждаются дальнейшие перспективы той или иной оптимизации,
как то – возможности расширения зон отражения, получение более вертикальных
и менее возмущенных краев этих зон, получение максимально возможного
отражения или пропускания излучения, что, в свою очередь, означает
обсуждение перспектив получения реально действующих поляризационных
затворов, оптических фильтров и управляемых зеркал.
Следует оговорить обозначения принятые в этой работе. На графиках
зависимостей отражения волны от частоты (они же называются профилями
отражения) по оси абсцисс откладывается циклическая частота падающего
излучения, а по оси ординат показатель отражения (отношение интенсивности
отраженной волны к интенсивности падающей). А на графиках-изображениях
оптического пути по оси абсцисс откладываются номера слоев, а по оси
ординат соответствующие им произведения толщин на показатели преломления
слоев. На самом деле это не вполне графики, в том смысле, что реально это
набор дискретных точек. Трудно, ведь, представить себе слой под номером
2.4, например. Линии же существуют для очевидности этих точек и общей
модуляции структуры. В местах с наиболее интересными (с точки зрения
автора) результатами будут приводиться также и графики-схемы самих
структур. Там по оси абсцисс отложены номера слоев, а по оси ординат
толщины этих слоев. Замечания, относящиеся к графикам-изображениям
оптического пути, остаются в силе и для этих графиков-схем.
Во всей работе показатели преломления слоев имеют значения 1.44 и
2.2. Это связано с тем, что наилучший результат получается при большой
разбежке в показателях преломления ([2] – там использованы значения 1.44 и
3.48). Но такие вещества не стойки к излучению. Были проведены вычисления
для показателей преломления 1.44 и 2.0, но результаты оказывались всегда
чуть хуже.
2.Математический аппарат.
Современная оптика базируется на уравнениях Максвелла
( х ( = - [pic]( ( ( = 0
(1)
( х ( =[pic]j + [pic]D ( D = 4(( ,
где векторы E и D характеризуют электрическое поле, а ( и ( - магнитное, (
- объемная плотность электрического заряда, j – плотность электрического
тока. Максвелл также дополнил систему (1) системой материальных уравнений,
отражающей свойства среды, в которой находятся заряды и токи:
D = [pic]E , B = (H , j = ( E , (2)
где [pic]- диэлектрическая проницаемость, ( - магнитная проницаемость, ( -
удельная электропроводность среды.
При падении плоской монохроматической волны
Н(r, t) = H0ei(kmr - (t), k = (/c (3)
на границу раздела однородных анизотропных сред возникают отраженные и
преломленные волны с одинаковой экспоненциальной зависимостью exp (ikbr) от
тангенциальной составляющей r( радиус-вектора r [8], где b = Im –
тангенциальная составляющая вектора рефракции m падающей волны (br = br().
Зависимость векторов поля в среде от нормальной компоненты
z = qr вектора r в общем случае не является экспоненциальной. В
анизотропных средах отраженные волны могут иметь различные нормальные
составляющие векторов рефракции.
В рассматриваемом случае поле отраженной волны в анизотропной среде
описывается [3] функциями вида:
[pic] = [pic]ei(kbr - (t) (4)
Аналогичной [3] зависимостью от координат характеризуются поля,
возбуждаемые волной (3) в системах однородных плоскопараллельных слоев.
Для таких полей ротор сводится к оператору qx[pic] + ikbx и уравнения
Максвелла (1) принимают вид
(qx[pic] + ikbx)H = -ikD (5)
(qx[pic] + ikbx)E = ikB
Умножая уравнения (5) на вектор q, получаем соотношения
qD = aH , qB = -aE , a = b[pic]q (6)
При нормальном падении (b = 0) поле (4) представляет собой плоскую
волну. Нормальные компоненты векторов электрической и магнитной индукции
такой волны равны нулю: qD = qB = 0. Векторы электромагнитного поля в
линейной среде связаны уравнениями
D = [pic]E , B = (H ,
(7)
где [pic] и ( - тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей. В общем
случае поглощающей анизотропной среды, обладающей собственной или
вынужденной гиротропией [9], [pic] и ( - комплексные несимметричные
тензоры.
Уравнения связи (7) и соотношения (6) образуют систему восьми
линейных скалярных уравнений для двенадцати декартовых компонент векторных
функций E(z), D(z), H(z), B(z) вида (4). Поэтому лишь четыре из этих
компонент линейно независимы. В качестве независимых функций удобно выбрать
тангенциальные компоненты векторов напряженности электрического и
магнитного полей, так как они непрерывны на границе раздела слоев. Выражая
из уравнений (6) и (7) нормальные компоненты через тангенциальные
составляющие и используя тождество [3] H = Ht +q[pic]qH , получаем
[pic] = V[pic] , где (8)
V = [pic] - (9)
матрица восстановления [10] полных векторов H и E по их тангенциальным
составляющим H( и E( , а [pic]= q[pic]q, [pic]= q[pic]q.
С учетом соотношения (8) систему уравнений (5) можно представить в
матричном виде [11]
[pic] = ikM[pic] , (10)
где
М = [pic]
(11)
- блочная матрица, составленная из операторов (12)
A = [pic]qx[pic]qa - [pic]bq[pic]I
B = [pic]I[pic]I - [pic]b[pic]b
(12)
C = -[pic]a[pic]a - [pic]qx[pic]qx
D = -[pic]aq[pic]qx - [pic]I[pic]qb
здесь [pic] и [pic] - тензоры, взаимные к транспонированным тензорам
[pic] и [pic] соответственно.
В прозрачных средах [pic] и [pic] - эрмитовы: [pic], [pic] при
вещественном параметре b имеют место равенства
B+ = B, C+ = C, D+ = A
(13)
В координатной записи уравнение (10) представляет собой систему
четырех линейных дифференциальных уравнений для тангенциальных составляющих
векторов H и E. Подобная система рассматривалась в [12].
Общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами выражается через экспоненциал от матрицы
коэффициентов этой системы.
В нашем случае [7] имеет место
[pic] = P [pic], P = [pic], F=[pic] (14)
Р – характеристическая матрица плоскослоистой анизотропной системы,
которая связывает значения полей на первой и последней границах системы.
Для системы из N-1 слоев матрицу Р можно представить в виде
Р = РN-1PN-2…PP…P1, где РР = [pic], р = 1, 2, …,N-1 –
