многоугольников (оснований) и параллелограммов (боковых граней). Различают
призмы треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. в зависимости от
числа вершин основания.
Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую
призму называют прямой; если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости
ее основания, то такую призму называют наклонной. У прямой призмы боковые
грани - прямоугольники. Перпендикуляр к плоскостям оснований, концы
которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы. На рис.
отрезок A1O - высота изображенной призмы.
Определение 2. Прямая призма, основанием которой служит правильный
многоугольник, называется правильной призмой.
Боковое ребро прямой призмы, в том числе и правильной, есть ее высота.
На рисунке изображена правильная шестиугольная призма и ее разверстка;
высота этой призмы равна ее боковому ребру. Отрезок, концы которого - две
вершины, не принадлежащие одной грани призмы, называют ее диагональю.
Отрезок B1D (см. рис. ) - диагональ призмы. Сечение призмы с
плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не лежащих в одной грани,
называют диагональным сечением призмы.
2.1 Площадь поверхности призмы
Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников
(граней). Площадь поверхности многогранника есть сумма площадей всех его
граней. Площадь поверхности призм (Sпр) равна сумме площадей ее боковых
граней (площади боковой поверхности Sбок) и площадей двух оснований (2Sосн)
- равных многоугольников: Sпр=Sбок+2Sосн.
Теорема. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению
периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра.
Дано: АС1 - произвольная n-угольная призма (на рисунке в качестве
примера изображена четырехугольная призма), a^AA1, A2B2C2D2 -
перпендикулярное сечение (сечение призмы плоскостью, перпендикулярной
боковому ребру), l - длина бокового ребра.
Доказать: Sбок = РЧl, где Р - периметр перпендикулярного сечения.
Доказательство. Sбок= SAA1B1B + SBB1C1C + SCC1D1D +...
1444442444443
n слагаемых
Каждая боковая грань призмы - параллелограмм, основание которого -
боковое ребро призмы, а высота - сторона перпендикулярного сечения.
Поэтому
Sбок=lA2B2+lB2C2+lC2D2+...=(A2B2+B2C2+C2D2+...)l=PЧl.
Sбок = РЧl.
Теорема доказана.
Следствие. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению
периметра ее основания и высоты.
Действительно, у прямой призмы основание можно рассматривать как
перпендикулярное сечение, а боковое ребро есть высота.
2.2. Призма и пирамида
Подобно тому, как треугольник в понимании Евклида не являются пустым,
т. е. представляет собой часть плоскости, ограниченную тремя
неконкурентными (т. е. не пересекающимися в одной точке) отрезками, так и
многогранник у него не пустой, не полый, а чем-то заполненный (по-нашему -
частью пространства). В античной математике, однако, понятия отвлеченного
пространства еще не было. Евклид определяет призму как телесную фигуру,
заключенную между двумя равными и параллельными плоскостями (основаниями) и
с боковыми гранями - параллелограммами. Для того чтобы это определение было
вполне корректным, следовало бы, однако, доказать, что плоскости,
проходящие через пары непараллельных сторон оснований, пересекаются по
параллельным прямым. Евклид употребляет термин “плоскость” как в широком
смысле (рассматривая ее неограниченно продолженной во все направления), так
и в смысле конечной, ограниченной ее части, в частности грани, аналогично
применению им термина “прямая” (в широком смысле - бесконечная прямая и в
узком - отрезок). В XVIII в. Тейлор дал такое определение призмы: это
многогранник, у которого все грани, кроме двух, параллельны одной прямой.
Пирамиду Евклид определяет как телесную фигуру, ограниченную
плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке
(вершине). Эго определение подвергалось критике уже в древности, например,
Героном, предложившим следующее определение пирамиды: это фигура,
ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием
которой служит многоугольник.
Важнейшим недостатком этого определения является использование
неопределенного понятия основания. Тейлор определил пирамиду как
многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке.
Лежандр в “Элементах геометрии” так определяет пирамиду: “Телесная фигура,
образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на
различных сторонах плоского основания”. После этой формулировки
разъясняется понятие основания. Определение Лежандра является явно
избыточным, т.е. содержит признаки, которые можно вывести из других. А вот
еще одно определение, которое фигурировало в учебниках ХIХ в.: пирамида -
телесный угол, пересеченный плоскостью.
Еще в древности существовали два пути определения геометрических
понятий. Первый вел от фигур высшего порядка к фигурам низшего. Такой точки
зрения придерживался, в частности, Евклид, определяющий поверхность как
границу тела, линию - как границу поверхности, концы же линии - как точки.
Второй путь ведет, наоборот, от фигур низшего измерения к фигурам высшего:
движением точки образуется линия, аналогично из линий составляется
поверхность и т. д. Одним из первых, который соединил обе эти точки зрения,
был Герон Александрийский, писавший, что тело ограничивается поверхностью и
вместе с этим может быть рассмотрено как образованное движением
поверхности. В появившихся позже на протяжении веков учебниках геометрии
принималась за основу то одна, то другая, а иногда и обе вместе точки
зрения.
2.3. Пирамида и площадь ее поверхности
Определение. Многогранник, одна из граней которого - многоугольник, а
остальные грани - треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.
На рисунке изображены пятиугольная пирамида SABCDE и ее развертка.
Треугольники, имеющие общую вершину, называют боковыми гранями пирамиды;
общую вершину боковых граней - вершиной пирамиды; многоугольник, которому
не принадлежит эта вершина,- основанием пирамиды; ребра пирамиды,
сходящиеся в ее вершине,- боковыми ребрами пира-
миды. Высота пирамиды - это отрезок перпендикуляра, проведенного через ее
вершину к плоскости основания, с концами в вершине и на плоскости основания
пирамиды. На рисунке отрезок SO - высота пирамиды.
Определение. Пирамида, основание которой - правильный многоугольник и
вершина проектируется в его центр, называется правильной.
На рисунке изображена правильная шестиугольная пирамида.
2.4. Измерение объемов
Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и
цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем
умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были
известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем,
которыми пользовались для нахождения объемов для площадей фигур. В более
позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий
подход к вычислению объемов многогранников.
Среди замечательных греческих ученых V - IV вв. до н.э., которые
разрабатывали теорию объемов, были Демокрит из Абдеры и Евдокс Книдский.
Евклид не применяет термина “объем”. Для него термин “куб”, например,
означает и объем куба. В ХI книге “Начал” изложены среди других и теоремы
следующего содержания.
1. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями
равновелики.
2. Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно
отношению площадей их оснований.
3. В равновеликих параллелепипедах площади оснований обратно
пропорциональны высотам.
Теоремы Евклида относятся только к сравнению объемов, так как
непосредственное вычисление объемов тел Евклид, вероятно, считал делом
практических руководств по геометрии. В произведениях прикладного характера
Герона Александрийского имеются правила для вычислений объема куба, призмы,
параллелепипеда и других пространственных фигур.
2.5. О пирамиде и ее объеме
Термин “пирамида” заимствован из греческого “пирамис” или “пирамидос”.
Греки в свою очередь позаимствовали это слово, как полагают, из египетского
языка. В папирусе Ахмеса встречается слово “пирамус” в смысле ребра
правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от форм
хлебцев в Древней Греции “пирос” - рожь). В связи с тем, что форма пламени
иногда напоминает образ пирамиды, некоторые средневековые ученые считали,
что термин происходит греческого слова “пир” - огонь. Вот почему в
некоторых учебниках геометрии XVI в. пирамида названа “огнеформное тело”.
В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В III
Тысячелетии до н.э. египтяне сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из
каменных блоков; позже египетские пирамиды приобрели геометрически
правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти
147 м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры.
Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит из Абдеры установил, что
объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же
высотой. Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до
н.э.
В “Началах” Евклида доказывается, что в равновеликих пирамидах площади
оснований обратно пропорциональны соответствующим высотам. Первое
непосредственное вычисление объема пирамиды, дошедшее до нас, встречается у
Герона Александрийского.
Интересно отметить, что в древних документах встречаются правила для
определения объема усеченной пирамиды, о нет правил вычисления объема
полной пирамиды. В “Московском папирусе” имеется задача, озаглавленная
“Действия с усеченной пирамидой”, в которой излагается верное вычисление
объема одной усеченной пирамиды. В вавилонских клинописных табличках также
не встречается вычисление объема пирамиды, но зато в них есть много
примеров вычисления объема усеченной пирамиды.
2.6. О призме и параллелепипеде
В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаются
такие геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Важнейшей
задачей египетской и вавилонской геометрии было определение объема
различных пространственных фигур. Эта задача отвечала необходимости строить
дома, дворцы, храмы и другие сооружения.
Часть геометрии, в которой изучаются свойства куба, призмы,
параллелепипеда и других геометрических тел и пространственных фигур,
издавна называется стереометрией; Слово это греческого происхождения
(“стереос” - пространственный, “метрео” - измеряю) и встречается еще у
знаменитого древнегреческого философа Аристотеля. Стереометрия возникла
позже, чем планиметрия. Евклид дает следующее определение призмы: “Призма
есть телесная (т.е. пространственная) фигура, заключенная между
плоскостями, из которых две противоположные равны и параллельны, остальные
же - параллелограммы”. Тут, как и во многих других местах, Евклид
употребляет термин “плоскость” не в смысле безгранично продолженной
плоскости, а в смысле ограниченной ее части, грани, подобно тому как
“прямая” означает у него и отрезок прямой.
Термин “призма” греческого происхождения и буквально означает
“отпиленное” (тело).
Термин “параллелепипедальное тело” встречается впервые у Евклида и
означает дословно “параллеле-плоскостное тело”. Греческое слово “кубос”
употребляется Евклидом в том же смысле, что и наше слово “куб”
2.7. Параллелепипед
Определение. Призма, основание которой - параллелограмм, называется
параллелепипедом.
В соответствии с определением параллелепипед - это четырехугольная
призма, все грани которой - параллелограммы (рис. ). Параллелепипеды, как
и призмы, могут быть прямыми и наклонными. На рисунке изображен
наклонный параллелепипед, а на рисунке - прямой параллелепипед.
Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник,
называют прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда
все грани - прямоугольники. Моделями прямоугольного параллелепипеда служат
классная комната, кирпич, спичечная коробка.
Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общий конец,
называют его измерениями. Например, имеются спичечные коробки с измерениями
15, 35, 50 мм. Куб - прямоугольный параллелепипед с равными измерениями.
Все шесть граней куба - равные квадраты.
Рассмотрим некоторые свойства параллелепипеда.
Теорема. Параллелепипед симметричен относительно середины его
диагонали.
Дано: АС1 (рис. ) - произвольный параллелепипед, В1D - его
диагональ, точка О - середина этой диагонали.
Доказать: Z0(AC1) = AC1.
Доказательство. Рассмотрим центральную симметрию Z0 с центром в точке
О. Центральная симметрия - перемещение (сохраняет расстояния), отображающее
каждый луч на противоположный ему луч. Поэтому
B1 = Z0(D), B1C1 = Z0(DA), DA = B1C1, C1 = Z0(A).
Аналогично можно показать, что точки D1 и В, А1 и С также центрально-
симметричны. Таким образом, симметрия отображает поверхность
параллелепипеда на себя. Внутренность параллелепипеда также отображает на
себя (параллелепипед можно рассматривать как пересечение полупро
странств, образованных плоскостями его граней, а перемещение отображает
пересечение фигур на пересечение их образов).
Таким образом, центральная симметрия Z0 отображает параллелепипед на
себя: Z0(AC1) = AC1. Теорема доказана.
Из теоремы непосредственно следуют важные свойства параллелепипеда:
1. Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда
и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности,
все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею
пополам.
Так, на рисунке A1O=OC, B1O=OD, D1O=OB, AO=OC1, а также MO=ON, где
M`A1B1C1D1, N`ABCD, O`MN.
2. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Так, на рисунке AA1D1D=BB1C1C, (AA1D1)П(BB1C1).
Рассмотренными свойствами обладает произвольный параллелепипед.
Докажем одно свойство прямоугольного параллелепипеда.
Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен
сумме квадрата трех его измерений.
Дано: АС1 - прямоугольный параллелепипед, чABч= a, чADч=b, чAA1ч=c -
его измерения, чAC1ч=d - длина его диагонали.
Доказать: d2=a2+b2+c2.
Доказательство. Введем систему координат так, как показано на
рисунке , приняв за ее начало вершину А, за произвольный базис
тройку векторов V, b, c. Тогда вектор AC имеет координаты (a;b;c), и,
следовательно,
є
чAC ч 2= d2=a2+b2+c2.
Теорема доказана.
3. Симметрия в пространстве
Теорема, в которой утверждается, что все диагонали параллелепипеда
пересекаются в одной точке О, в которой они делятся пополам (рис ),
напоминает аналогичное предложение из планиметрии: диагонали
параллелограмма пересекаются в точке О, являющейся их серединой (рис. ).
Точка О - это центр симметрии параллелограмма. Аналогично называют и точку
О центром симметрии параллелепипеда, так как вершины А и С1, В и D1,
С и А1, D и В1 симметричны относительно точки О. Впервые понятие центра
симметрии встречается в ХVI в. в одной из теорем Клавиуса, гласящей: если
параллелепипед рассекается плоскостью, проходящей через центр, то он
разбивается пополам и, наоборот, если параллелепипед рассекается пополам,
то плоскость проходит через центр. Лежандр, который впервые ввел в
элементарную геометрию элементы учения о симметрии, говорит только о
симметрии относительно плоскости и дает следующее определение: две точки A
и B симметричны относительно плоскости a, если последняя перпендикулярна к
АВ в середине этого отрезка. Лежандр показывает, что у прямого
параллелепипеда имеются 3 плоскости симметрии, перпендикулярные к ребрам, а
у куба 9 плоскостей симметрии, из которых 3 перпендикулярны к ребрам, а
другие 6 проходят через диагонали граней.
Призма
Задачи
Литература
1. Глейзер Г.Д. Геометрия. Учебное пособие для старших классов. М.,
Просвещение, 1994.
2. Погорелов А.В. Геометрия. Учебное пособие для 7-11 классов. М.,
Просвещение, 1992.
Страницы: 1, 2
