Расчет течений газа при наличии энергообмена
Казанский Государственный Университет
Механико-математический факультет.
Курсовая работа
Расчет течений газа при наличии энергообмена.
Выполнил студент III курса мехмата:
Закиев Р.Н.
Научный руководитель:
Филатов Е.И.
Казань 2003.
Движение подогреваемого газа по трубе постоянного сечения.
Процесс подвода тепла вносит особый вид сопротивления: при подогреве
движущегося газа полное давление падает. Будем рассматривать движение газа
в трубке изображенной на рисунке:
[pic]
Прибегнем к следующей идеализированной схеме. Газ поступает в трубу х-г из
канала с большим поперечным сечением. Пусть скорость потока мала. (Х<<1,
(Г<<1.
Согласно уравнению Бернулли
[pic]
Отсюда изменение полного давления
[pic](1).
Из уравнения неразрывности [pic]следует ,что если вследствие подогрева
плотность газа уменьшается, то скорость его растет и, следовательно,
статическое давление падает.
Из уравнения импульсов можно определить падение статического давления при
подогреве на участке х-г (пренебрегая трением):
[pic]
[pic].
Подставив эту разность в уравнение (1) , имеем
[pic]Отсюда видно, что при подогреве медленно движущегося газа величина
потерь мала. При значительной же скорости ими пренебрегать уже нельзя.
Обнаруженное “тепловое сопротивление” можно объяснить так: как известно,
повышение энтропии в газе зависит как от количества подведенного тепла,
так и от температурного уровня:
[pic]При одном и том же количестве тепла прирост энтропии , а следовательно
, и потери тем больше, чем ниже средняя температура процесса, т.е. чем выше
скорость потока.
Оценим влияние подвода тепла на расход газа в трубе. Отношение расходов
газа при наличии и отсутствии подогрева в трубе:
[pic]Как видим подвод тепла при заданном перепаде давлений ведет к
уменьшению расхода газа при одновременном увеличении скорости истечения.
Исследуем теперь падение давления на участке х-г трубы при большой
дозвуковой скорости движения газа.
При значительных скоростях течения плотность газа при подогреве уменьшается
не только из-за повышения температуры, но и вследствие понижения
статического давления .В связи с этим скорость газа увеличивается вдоль
трубы быстрее, чем температура. Скорость звука, которая пропорцианальна
корню квадратному из абсолютной температуры, увеличивается вдоль трубы
значительно медленнее, чем скорость потока. По этой причине число М=V/a по
длине трубы растет.
Поток имеющий любую начальную скорость , можно за счет соответствующего
подогрева довести до критической скорости(МГ=1). При большом начальном
значении числа М понадобится незначительный подогрев. Чем ниже скорость ,
тем более сильный критический подогрев необходим. Но никаким подогревом
нельзя перевести поток в цилиндрической трубе в сверхзвуковую область. Это
явление носит название теплового кризиса.
Естественно, после того, как в конце трубы достигнут кризис, скорость
потока в начале трубы не может быть увеличена никакими способами. Если по
достижении кризиса продолжать подогрев газа , то величина критической
скорости в конце трубы растет , а скорость в начале трубы падает. Иначе
говоря, заданному количеству тепла соответствует совершенно определенное
предельное значение числа М в начале трубы. Величины ( и М связаны
следующим соотношением:[pic].
Задачи на расчет течения газа при наличии энергообмена.
I задача. (Давидсон В. Е. “Основы газовой динамики в задачах”. Задача№169 )
(Все формулы использованные при решении задач взяты из задачника Давидсона
В.Е.)
Постановка задачи:
Поток воздуха подогревается в цилиндрической трубе сжиганием в нем
горючего, расход которого составляет 5% от расхода воздуха. До подогрева
скорость воздуха V1=50 м/сек, давление р1=9,89 ата, температура торможения
Т01=4000К.Найти скорость и давление газа в сечении трубы ,где температура
торможения Т02=15000К.Принять к=1,33, R=291 дж/кг*град. Трением пренебречь.
Решение задачи:
Воспользуемся теоремой импульсов переписанной (для труб с прямолинейной
осью) в скалярной форме:
[pic] (1)
Применим ее в виде теоремы сохранения импульсов, т.е. при [pic]=0.Откуда:
[pic] (2)
здесь[pic]
(3)
[pic]-газодинамическая функция,
[pic]
(4)
(-коэффициент скорости,(1 - коэффициент скорости на входе,(2- коэффициент
скорости на выходе из трубы.
[pic]
(5)
[pic]-критическая скорость звука, Gt-секундный расход газа.
Найдем [pic] и [pic].Так как для воздуха к=1,4 [pic]м/сек.
Внутри трубы к=1,33
[pic]м/сек.
[pic]. Так как расход Gt2 больше Gt1 на 5% то [pic]. z((1)=7.5049.Подставим
найденные значения в формулу (2)
z((2)=[pic]
[pic].Решив уравнение найдем два значения (2.
(2=0,29825
(2=3,35295
Реальным будет только первое решение, поскольку подогревом нельзя перевести
дозвуковой поток в сверхзвуковой. Зная коэффициент скорости мы можем найти
скорость , этому коэффициенту соответствующую:
[pic]м/сек.
[pic]
(6)
где по уравнению расхода
[pic] (7)
(-коэффициент восстановления полного давления. (-газодинамическая функция.
B1G и B2G здесь постоянные .
[pic]
(8)
Вычисляем B1G и B2G по формуле (8):
B1G=0,3937 и B2G=0,3868.Найдем значения qk=1.4((1) , qk=1,33((2) ,
(л=1,4((1), и (л=1,4((1) по таблицам газодинамических функций:
qk=1.4((1)=0,2036 , qk=1,33((2)=0,4443, (л=1,4((1)=0,9886, (л=1,4((1)
=0,9496.Подставим все найденные значения в формулы (6),(7) и (8).Найдем из
формулы (6) р2: р2=9,0126 ата.
Ответ:V2=210.54 м/сек, р2=9,0126 ата.
II задача. (Давидсон В. Е. Основы газовой динамики в задачах. Задача№170 ).
Постановка задачи:
Сделать одномерный расчет степени подогрева , скорости воздуха и поперечных
размеров для полутеплового сопла (тепловое воздействие на дозвуковую часть
потока в цилиндрической трубе, геометрическое—на сверхзвуковую) по
следующим данным: до подогрева в камере температура торможения Т01=2890 К,
давление торможения р01=20 ата, скорость потока V1=62,2 м/сек, секундный
весовой расход воздуха через сопло Gt=9 кг/сек, истечение расчетное в
атмосферу при давлении ра=1,03 ата. Определить тягу сопла R.
Решение задачи:
В конце камеры подогрева воздух должен иметь критическую скорость . [pic]
м/сек. При известной критической скорости и начальной скорости на входе в
цилиндрическую часть сопла можно вычислить (1. (1-коэффициент скорости на
входе в трубу. (1=V/akp=0.1999. Т.к. в конце трубы воздух имеет критическую
скорость, ( на выходе из трубы-(2=1. По теореме сохранения полного импульса
[pic] ,
в цилиндрической части[pic] Из этой формулы находим температуру торможения
на выходе из трубы:Т02=19550 К При известной температуре торможения можем
найти скорость воздуха на выходе из цилиндрической части сопла: V2=809.24
м/сек. Та же теорема ,выраженная через газодинамическую функцию f((), дает
коэффициент восстановления полного давления (=[pic]=0,8066. Уравнение
(((а)=[pic][pic]определяет коэффициент скорости в конце расширяющейся части
сопла (а и , следовательно ,[pic]. (((а)=0,0638. По газодинамическим
таблицам находим значение (а=1,81.Найдем скорость потока Vа=1464м/сек.
Площадь поперечного сечения можно найти по формуле [pic],
[pic]=0,00198 м2 .Fц - площадь поперечного сечения дозвуковой части сопла.
Отсюда диаметр сечения дозвуковой части сопла: dц=88 мм. q((a)=0.3965. Fa -
площадь поперечного сечения сверхзвуковой части сопла.
[pic]
Fa=0,0049936м2. Диаметр сечения сверхзвуковой части сопла: dа=135мм. Тягу
сопла найдем по уравнению импульсов в форме [pic].
R=2154 H.
Ответ: Т02=19550 К V2=809.24 м/сек ,Vа=1464м/сек ,dц=88 мм,
dа=135мм,R=2154Н
Список использованной литературы:
1) Давидсон В. Е. “Основы газовой динамики в задачах”. Издательство
“Высшая школа” Москва-1965г,
2) Г.Н.Абрамович “Прикладная газовая динамика”. Издательство “Наука”
Москва-1976г.
