движениями.
С. Улам был непосредственным участником одного из первых численных
экспериментов на ЭВМ первого поколения (ЭНИВАКе).- проверке гипотезы
равнораспределения энергия по степеням свободы. Эксперимент, проведенный
над числовым аналогом системы кубических осцилляторов, привел к
неожиданному результату, породив знаменитую проблему Ферми-Пасты-Улама:
проследив за эволюцией распределения энергии по степеням свободы на
протяжении достаточно большого числа циклов, авторы не обнаружили ни
малейшей тенденции к равнораспределению. С. Улам, много работавший с ЭВМ,
понял всю важность и пользу «синергии, т. е. непрерывного сотрудничества
между машиной и ее оператором», осуществляемого в современных машинах за
счет вывода информации на дисплей.
Решение проблемы Ферми -Пасты - Улама было получено в начале 60-х годов М.
Крускалом и Н.Забуским, доказавшим, что система Ферми - Пасты- Улама
представляет собой разностный аналог уравнения Кортевега-де Вриза, и что
равнораcпределению энергии препятствует солитон (термин, предложенный H.
Забуским), переносящий энергию из одной группы мод в другую. Реалистически
оценивая ограниченные возможности как аналитического, так и численного
подхода к решению нелинейных задач, И. Забуский пришел к выводу о
необходимости единого синтетического подхода. По его словам,
«синергетический подход к нелинейным математическим и физическим задачам
можно определить как совместное использование обычного анализа и численной
машинной математики для получения решений разумно поставленных вопросов
математического и физического содержания системы уравнений».
Если учесть сложность систем и состояний, изучаемых синергетикой Хакена, то
станет ясно, что синергетический подход Забуского (и как составная часть
его - синергия Улама) займет достойное место среди прочих средств и методов
этой науки. Иначе говоря, уповать только на аналитику было бы чрезмерным
оптимизмом.
Особенность синергетики как науки. В отличие от большинства новых наук,
возникавших, как правило, на стыке двух ранее существовавших и
характеризуемых проникновением метода одной науки в предмете другой, наука
возникает, опираясь не на граничные, а на внутренние точки различных наук,
с которыми она имеет ненулевые пересечения: в изучаемых наукой системах,
режимах и состояниях физик, биолог, химик и математик видят свой материал,
и каждый из них, применяя методы своей науки, обогащает общий запас идей и
методов науки.
Эту особенность Х-науки (если X - синергетика) подробно охарактеризовал
Хакен: «Данная конференция, как и все предыдущие, показала, что между
поведением совершенно различных систем, изучаемых различными науками,
существуют поистине удивительные аналоги. С этой точки зрения данная
конференция служит еще одним примером существования новой области науки -
Синергетики. Разумеется, Синергетика существует не сама по себе, а связана
с другими науками по крайней мере двояко. Во-первых, изучаемые Синергетикой
системы относятся к компетенции различных наук. Во-вторых, другие науки
привносят в Синергетику свои идеи. Ученый, пытающийся проникнуть в новую
область, естественно, рассматривает ее как продолжение своей собственной
области науки.
Некоторые математики склонны рассматривать весь круг проблем с точки
зрения структурной устойчивости. Все перечисленные разделы науки весьма
важны для понимания образования макроскопических структур образования в
процессе самоорганизации, но каждый из них упускает из виду нечто одинаково
существенное. Укажу лишь некоторые из пробелов. Мир - не лазер. В точках
бифуркации решающее значение имеют флюктуации, т. е. стохастические
процессы. Неравновесные фазовые переходы обладают некоторыми особенностями,
отличными от обычных фазовых переходов, например чувствительны к конечным
размерам образцов, форме границ и т.п. В равновесной статистической
механике не существуют самоподдерживающиеся колебания. В равновесной
термодинамике широко используются такие понятия, как энтропия, производство
энтропии и т.д., неадекватные при рассмотрении неравновесных фазовых
переходов. Теория катастроф основана на использовании некоторых
потенциальных функций, не существующих для систем, находящихся в
состояниях, далеких от теплового равновесия. Теория диссипативных структур.
Бельгийская школа. И. Пригожина развивает термодинамический подход к
самоорганизации. Основное понятие синергетики Хакена (понятие структуры как
состояния, возникающего результате когерентного (согласованного) поведения
большого числа частиц) бельгийская школа заменяет более специальным
понятием диссипативной структуры. В открытых системах, обменивающихся с
окружающей средой потоками вещества или энергии, однородное состояние
равновесия может терять устойчивость и необратимо переходить в неоднородное
стационарное состояние, устойчивое относительно малых возмущений. Такие
стационарные состояния получили название диссипативных структур. Примером
диссипативных структур могут служить колебания в модели Лефевра-Николиса-
При- гожина (так называемом брюсселяторе).
Теория автоволновых процессов. Распространение понятий равновесной
термодинамики на состояния, далекие от равновесия, и, в частности, принцип
эволюции Гленсдорфа-Пригожина вызвали критику со стороны «синергетиков».
Так, Ландауэр построил контр пример, показывающий, что никакая функция
состояния, в том числе и энтропия, не может быть положена в основу критерия
устойчивости состояния, как это сделано в принципе эволюции Гленсдорфа-
Пригожина. Отечественная школа нелинейных колебаний и волн,
основоположником которой по праву считается Л. И. Мандельштам,
рассматривает общую теорию структур в неравновесных средах как естественное
развитие и обобщение на распределенные системы идей и подхода классической
теории нелинейных колебаний. Еще в 30-х годах Л. И. Мандельштам
сформулировал программу выработки «нелинейной культуры, включающей надежный
математический аппарат и физические представления, адекватные новым
задачам, выработать нелинейную интуицию, годную там, где оказывается
непригодной интуиция, выработанная на линейных задачах».
Разработанная почти полвека назад, эта программа становится особенно
актуальной в наши дни существенной «делинеаризации» всей науки. Без
наглядных и емких физических образов, адекватных используемому аппарату,
немыслимо построение общей теории структур, теории существенно нелинейной.
Вооружая физика концентрированным опытом предшественников, эти образы
позволяют ему преодолевать трудности, перед которыми заведомо мог бы
спасовать исследователь, полагающийся только на свои силы. В этом отношении
физические образы Л. И. Мандельштама представляют собой глубокую аналогию
со структурным подходом Э. Нётер, научившей математиков за конкретными
деталями задачи различать контуры общей схемы - математической структуры,
задаваемой аксиоматически. Суть структурного подхода, сформулированного Н.
Бурбаки, звучит как парафраза манделынтамовской программы создания
нелинейной культуры: «Структуры» являются орудиями математика; каждый раз,
когда он замечает, что между элементами, изучаемыми им, имеют место
отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу
может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам
этого типа, тогда как раньше он должен был бы мучительно выковывать сам
средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему,
причем их мощность зависела бы от его личного таланта, и они были бы
отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными
особенностями изучаемой проблемы».
Следуя Р. В. Хохлову, возникновение волн и структур, вызванное потерей
устойчивости однородного равновесного состояния, иногда называют
автоволновыми процессами (по аналогии с автоколебаниями). На первый план
здесь выступает волновой характер образования структур: независимость их
характерных пространственных и временных размеров от начальных условий
(выход на промежуточную асимптотику), а в некоторых случаях - от краевых
условий и геометрических размеров системы.
Синергетика и кибернетика. Задачу выяснить с общих позиций закономерности
процессов самоорганизации и образования структур ставит перед собой не
только Х-наука. Важную роль в понимании многих существенных особенностей
этих процессов сыграл, например, кибернетический подход,
противопоставляемый иногда как абстрагирующийся «от конкретных материальных
форм» и поэтому противопоставляемый синергетическому подходу, учитывающего
физические основы спонтанного формирования структур. В этой связи
небезынтересно отметить, что создатели кибернетики и современной теории
автоматов могут по праву считаться творцами или предтечами Х-науки. Так,
Винер и Розенблют рассмотрели задачу о радиально-несимметричном
распределении концентрации в сфере. А. Тьюринг в известной работе предложил
одну из основных базовых моделей структурообразования и морфогенеза,
породившую огромную литературу: систему двух уравнений диффузии,
дополненных членами, которые описывают реакции между «морфогенами». Тьюринг
показал, что в такой реакционно-диффузионной системе может существовать
неоднородное (периодическое в пространстве и стационарное во времени)
распределение концентраций.
В русле тех же идей - изучения реакционно-диффузионных систем - мыслил
найти решение проблемы самоорганизации и Дж. фон Нейман. По свидетельству
А. Беркса, восстановившего по сохранившимся в архиве фон Неймана отрывочным
записям структуру самовоспроизводящегося автомата, фон Нейман «предполагал
построить непрерывную модель самовоспроизведения, основанную на нелинейных
дифференциальных уравнениях в частных производных, описывающих диффузионные
процессы в жидкости. В этой связи интересно отметить, что фон Нейман
получил не только математическое образование, но и подготовку инженера-
химика.
Структура и хаос. Понятие структуры, основное для всех наук, занимающихся
теми или иными аспектами процессов самоорганизации, при любой степени
общности предполагает некую «жесткость» объекта - способность сохранять
тождество самому себе при различных внешних и внутренних изменениях.
Интуитивно понятие структуры противопоставляется понятию хаоса как
состоянию, полностью лишенному всякой структуры. Однако, как показал более
тщательный анализ, такое представление о хаосе столь же неверно, как
представление о физическом вакууме в теории поля как о пустоте: хаос может
быть различным, обладать разной степенью упорядоченности, разной
структурой.
Одним из сенсационных открытии было обнаружение Лоренцом сложного поведения
сравнительно простой динамической системы из трех обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка с квадратичными нелинейностями.
При определенных значениях параметров траектория системы вела себя столь
запутанным образом, что внешний наблюдатель мог бы принять ее
характеристики за случайные.
Природа странного аттрактора Лоренца была изучена совместными усилиями
физиков и математиков. Как и в случае многих других моделей Х-теории,
выяснилось, что система Лоренца описывает самые различные физические
ситуации - от тепловой конвекции в атмосфере до взаимодействия бегущей
электромагнитной волны с инверсно-заселенной двухуровневой средой (рабочим
телом лазера), когда частота волны совпадает с частотой перехода. Из
экзотического объекта странный аттрактор Лоренца оказался довольно быстро
низведенным до положения заурядных «нестранных» аттракторов - притягивающих
особых точек и предельных циклов. От него стали уставать: легко ли
обнаруживать странные аттракторы буквально на каждом шагу!
Но в запасе у странного аттрактора оказалась еще одна довольно необычная
характеристика, оказавшаяся полезной при описании фигур и линий, обойденных
некогда вниманием Евклида, так называемая фрактальная размерность.
Фрактали. Мандельброт обратил внимание на то, что довольно широко
распространенное мнение о том, будто размерность является внутренней
характеристикой тела, поверхности, тела или кривой неверно (в
действительности, размерность объекта зависит от наблюдателя, точнее от
связи объекта с внешним миром).
Суть дела нетрудно уяснить из следующего наглядного примера. Представим
себе, что мы рассматриваем клубок ниток. Если расстояние, отделяющее нас от
клубка, достаточно велико, то клубок мы видим как точку, лишенную какой бы
то ни было внутренней структуры, т. е. геометрический объект с евклидовой
(интуитивно воспринимаемой) размерностью 0. Приблизив клубок на некоторое
расстояние, мы будем видеть его как плоский диск, т. е. как геометрический
объект размерности 2. Приблизившись к клубку еще на несколько шагов, мы
увидим его в виде шарика, но не сможем различить отдельные нити - клубок
станет геометрическим объектом размерности 3. При дальнейшем приближении к
клубку мы увидим, что он состоит из нитей, т. е. евклидова размерность
клубка станет равной 1. Наконец, если бы разрешающая способность наших глаз
позволяла нам различать отдельные атомы, то, проникнув внутрь нити, мы
увидели бы отдельные точки - клубок рассыпался бы на атомы, стал
геометрическим объектом размерности.
Синергетика и в частности синергетика как наука о самоорганизации имеет
множество подходов и вбирает в себя различные области знаний. Работая над
данным рефератом я старался охватить наиболее широкий круг вопросов и не
вдаваться в детали понимания того или иного понятия. Тем самым я стремился
показать Х-науку в наиболее развернутом виде. Все те понятия, о которых
говорилось выше будут более подробно рассмотрены в следующих рефератах.
Страницы: 1, 2
