Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия

предыдущее выражение можно записать, как

[pic].

Поскольку эта формула справедлива для любой ориентации поверхности , а

следовательно, и

вектора [pic], то имеем

[pic]

(21)

В граничном условии (21) присутствует поверхностная плотность

тока, избыточная по отношению к токам намагничивания. Если токи

отсутствуют, то следует положить [pic]=0. Учитывая, что [pic], а [pic]

есть поверхностная плотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в

виде:

[pic]

где [pic].

Используя уравнение (1) и проводя аналогичные рассуждения,

получаем граничные условия для вектора [pic]:

[pic]

(22)

Таким образом, уравнения Максвелла (1) - (4) должны быть

дополнены граничными условиями (18), (19), (21) и (22). Эти условия

означают непрерывность тангенциальных составляющих вектора [pic] (22) и

нормальной составляющей вектора [pic] (19) при переходе через границу

раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора [pic] при переходе через

границу раздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора

[pic], если имеются поверхностные токи (21).

Ещё одно граничное условие можно получить, используя уравнение

непрерывности ([pic]0) и уравнение (4), из которых следует:

[pic]

Так как граничное условие (19) является следствием уравнения (2), то по

аналогии находим:

[pic]

(23)

Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность которых

зависит от времени, то из (18) и (23) следует непрерывность нормальных

составляющих плотности тока:

[pic].

Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред имеют вид:

[pic]; [pic]

(24)

[pic]; [pic]

где [pic] - нормаль к границе раздела, направленная из среды 2 в среду 1, и

должны выполняться в любой момент времени и в каждой точке поверхности

раздела.

3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики

Так как на практике почти всегда приходится решать уравнения

Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничные условия (24)

следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла (1) – (4).

В случае стационарных электрических и магнитных полей ([pic]

и[pic]) система уравнений Максвелла (1) – (4) распадается на систему

уравнений электростатики:

[pic], [pic], [pic]

(25)

и уравнений магнитостатики:

[pic], [pic], [pic],

(26)

а граничные условия остаются те же.

4. Пример

В качестве примера решения электростатических задач можно

вычислить электрическое поле, создаваемое диэлектрическим шаром радиуса R,

находящемся в однородном электрическом поле [pic]. Уравнения

электростатики в диэлектрике (25) при [pic]=0 имеют вид:

[pic], [pic],

[pic] (27)

Из этих уравнений следует, сто потенциал электростатического поля

удовлетворяет уравнению

[pic] (28)

причём [pic]= -[pic], [pic]-[pic]. В однородном диэлектрике [pic]=const ,

поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнение Лапласа [pic]=0.

Граничное условия (24), выражающее непрерывность вектора

индукции, записывается следующим образом:

[pic] при

r=R (29)

Здесь [pic]– решение уравнения вне сферы, а [pic]– внутри сферы. Вместо

граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического

поля можно использовать эквивалентное ему условие непрерывности потенциала

[pic]=[pic]

(30)

Это условие можно получить, рассматривая интеграл [pic]по контуру,

изображенному на рис. 2. Воспользовавшись теоремой Стокса и уравнением

[pic], находим

[pic]

Так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то это значит,

что функция [pic] непрерывна, откуда и следует условие (30). Из (30)

очевидно так же, что

[pic]

где элемент [pic] направлен касательно к границе раздела. Из этого

равенства следует, что тангенциальные компоненты вектора [pic] также

непрерывны.

Для решения поставленной задачи используем сферическую систему

координат, полярная ось которой (ось z) совпадает с направлением

напряжённости однородного внешнего электрического поля [pic].

Поскольку на достаточно большом удалении от диэлектрического

шара электрическое поле не искажается наличием этого шара, то потенциал

[pic] должен удовлетворять условию

[pic] [pic] при [pic].

Из соображений симметрии ясно, что потенциал не должен зависеть от

азимутального угла, поэтому решение уравнения Лапласа запишем в виде

разложения по полиномам Лежандра [pic]:

[pic] [pic],

[pic] [pic].

Здесь потенциал нормирован так, чтобы [pic] при [pic]. Так как [pic], то

из условия на бесконечности находим [pic].

Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и (30):

[pic]

[pic]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра, получаем

[pic] [pic]=0 при (l=0),

[pic] [pic] при (l=1),

[pic] [pic] при (l>1).

Из этих уравнений находим

[pic], [pic].

Все остальные коэффициенты равны нуля, если [pic].

Таким образом, решение задачи имеет вид:

[pic]

[pic]

(30)

[pic]

Используя формулу [pic], вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы

[pic]

С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать в виде:

[pic]

(31)

[pic]

(32)

где [pic] - объём сферы.

Первые два слагаемых в (31) и (32) представляют собой потенциал

однородного внешнего поля, создаваемого внешними источниками. Вторые – это

потенциал электрического поля, создаваемого электрическим шаром,

поляризованным внешним полем. Вне сферы – это потенциал диполя с дипольным

моментом [pic]. Внутри сферы поляризованный шар создаёт однородное

электрическое поле с напряжённостью

[pic]

(33)

Полная напряжённость внутри шара

[pic]

(34)

Таким образом, электрическое поле внутри шара не зависят от радиуса шара и

ослаблено на значение поля [pic], которое называется деполяризующим полем.

Возникновение деполяризующего поля есть частный случай явления экранировки

внешнего поля связанными или свободными зарядами.

5. Приложение.

1. Формула Остроградского – Гаусса.

Пусть f (x, y, z) - некоторая функция , а S - замкнутая

поверхность, ограничивающая объём V. На отрезке 1-2 (рис. 4), параллельном

оси X, f - является функцией одного аргумента x. Интегрируя вдоль этого

отрезка получим:

[pic]

где [pic] и [pic] - значения функции f на концах рассматриваемого

промежутка.

Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих

которого является отрезок 1 2. Пусть d? - площадь поперечного сечения его

(величина положительная). Умножая предыдущее соотношение на d?. Так как

d?dx есть элементарный объём dV, заштрихованный на рисунке, то в результате

получится:

[pic],

где dV – часть объёма V, вырезаемого из него поверхность цилиндра. Пусть

dS1 и dS2 эле -ментарные площадки, вырезаемые тем же цилиндром

на поверхности S, а [pic]1 и [pic]2 –

единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности S. Тогда:

d? = d[pic]2 [pic]2х = - d[pic]1 [pic]1х,

а поэтому: [pic]

или короче: [pic] где поверхностный интеграл распространён на сумму

площадок dS1 и dS2. Весь объём V можно разделить на элементарные цилиндры

рассматриваемого вида и написать для каждого из них такие же соотношения.

Суммируя эти соотношения, получим:

[pic]

(35)

Интеграл справа распространён по всему объёму V, справа – по

поверхности S, ограничивающей этот объём. Аналогичные соотношения можно

написать для осей Y и Z.

Возьмём теперь произвольный вектор [pic] и применим к его

компонентам соотношение (35). Получим:

[pic]

и аналогично для компонент Ay и Az . Складывая эти соотношения, найдём:

[pic]

или:

[pic]

Эту формулу Остроградского – Гаусса можно также записать в виде:

[pic]

Смысл её заключается в том, что полный поток вектора [pic] через

некоторую поверхность S равен суммарной алгебраической мощности источников,

порождающих векторное поле.

Если объём V бесконечно мал, то величина div[pic] внутри него

может считаться постоянной. Вынося её за знак интеграла и переходя к

пределу V> 0, получим:

[pic]

Предельный переход надо понимать в том смысле, что область V

должна стягиваться в точку, т.е. размеры этой области должны беспредельно

уменьшаться по всем направлениям. Эти рассуждения показывают, что величина,

стоящая в правой части вышеуказанной формулы, не зависит от формы

поверхности S, стягиваемой в точку. Поэтому это выражение можно принять за

исходную формулировку дивергенции. Такое определение обладает

преимуществом, потому что оно инвариантно, т.е. никак не связано с выбором

координат.

2. Формула Стокса.

По определению ротор (вихрь) некоторого вектора [pic]:

[pic]

(36)

Зная ротор вектора [pic] в каждой точке некоторой (не обязательно

плоской) поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру

[pic], ограничивающему S, (контур также может быть не плоским). Для этого

разобъём поверхность на очень малые элементы [pic]. Ввиду их малости эти

элементы можно считать плоскими. Поэтому в соответствии с (36) циркуляция

вектора [pic] по контуру, ограничивающему [pic], может быть представлена в

виде.

[pic]

(37)

где [pic] - положительная нормаль к элементу поверхности[pic].

Зная, что циркуляция по некоторому контуру равна сумме

циркуляций по контурам, содержащиеся в данном, можно просуммировать

выражение (37) по всем [pic], и тогда получим циркуляцию вектора [pic] по

контуру [pic], ограничивающему S:

[pic].

Осуществив предельный переход, при котором все [pic] стремиться к нулю

(число их при этом неограниченно растёт, придём к формуле:

[pic]

(38)

Соотношение (38) носит название теоремы Стокса. Смысл её состоит в том, что

циркуляция вектора [pic] по произвольному контуру [pic] равна потоку

вектора [pic] через произвольную поверхность S , ограниченную данным

контуром.

6. Список использованной литературы

1. Федорченко А. М. Классическая электродинамика. – К.: Вища школа, 1988.

– 280 с.

2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Электричество. – М.: Наука, 1983. –

688 с.

3. Савельев И. В. Курс обшей физики. 3 том. – М.: Наука, 1988. – 496 с.

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Страницы: 1, 2, 3



Реклама
В соцсетях
скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты