предыдущее выражение можно записать, как
[pic].
Поскольку эта формула справедлива для любой ориентации поверхности , а
следовательно, и
вектора [pic], то имеем
[pic]
(21)
В граничном условии (21) присутствует поверхностная плотность
тока, избыточная по отношению к токам намагничивания. Если токи
отсутствуют, то следует положить [pic]=0. Учитывая, что [pic], а [pic]
есть поверхностная плотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в
виде:
[pic]
где [pic].
Используя уравнение (1) и проводя аналогичные рассуждения,
получаем граничные условия для вектора [pic]:
[pic]
(22)
Таким образом, уравнения Максвелла (1) - (4) должны быть
дополнены граничными условиями (18), (19), (21) и (22). Эти условия
означают непрерывность тангенциальных составляющих вектора [pic] (22) и
нормальной составляющей вектора [pic] (19) при переходе через границу
раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора [pic] при переходе через
границу раздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора
[pic], если имеются поверхностные токи (21).
Ещё одно граничное условие можно получить, используя уравнение
непрерывности ([pic]0) и уравнение (4), из которых следует:
[pic]
Так как граничное условие (19) является следствием уравнения (2), то по
аналогии находим:
[pic]
(23)
Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность которых
зависит от времени, то из (18) и (23) следует непрерывность нормальных
составляющих плотности тока:
[pic].
Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред имеют вид:
[pic]; [pic]
(24)
[pic]; [pic]
где [pic] - нормаль к границе раздела, направленная из среды 2 в среду 1, и
должны выполняться в любой момент времени и в каждой точке поверхности
раздела.
3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики
Так как на практике почти всегда приходится решать уравнения
Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничные условия (24)
следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла (1) – (4).
В случае стационарных электрических и магнитных полей ([pic]
и[pic]) система уравнений Максвелла (1) – (4) распадается на систему
уравнений электростатики:
[pic], [pic], [pic]
(25)
и уравнений магнитостатики:
[pic], [pic], [pic],
(26)
а граничные условия остаются те же.
4. Пример
В качестве примера решения электростатических задач можно
вычислить электрическое поле, создаваемое диэлектрическим шаром радиуса R,
находящемся в однородном электрическом поле [pic]. Уравнения
электростатики в диэлектрике (25) при [pic]=0 имеют вид:
[pic], [pic],
[pic] (27)
Из этих уравнений следует, сто потенциал электростатического поля
удовлетворяет уравнению
[pic] (28)
причём [pic]= -[pic], [pic]-[pic]. В однородном диэлектрике [pic]=const ,
поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнение Лапласа [pic]=0.
Граничное условия (24), выражающее непрерывность вектора
индукции, записывается следующим образом:
[pic] при
r=R (29)
Здесь [pic]– решение уравнения вне сферы, а [pic]– внутри сферы. Вместо
граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического
поля можно использовать эквивалентное ему условие непрерывности потенциала
[pic]=[pic]
(30)
Это условие можно получить, рассматривая интеграл [pic]по контуру,
изображенному на рис. 2. Воспользовавшись теоремой Стокса и уравнением
[pic], находим
[pic]
Так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то это значит,
что функция [pic] непрерывна, откуда и следует условие (30). Из (30)
очевидно так же, что
[pic]
где элемент [pic] направлен касательно к границе раздела. Из этого
равенства следует, что тангенциальные компоненты вектора [pic] также
непрерывны.
Для решения поставленной задачи используем сферическую систему
координат, полярная ось которой (ось z) совпадает с направлением
напряжённости однородного внешнего электрического поля [pic].
Поскольку на достаточно большом удалении от диэлектрического
шара электрическое поле не искажается наличием этого шара, то потенциал
[pic] должен удовлетворять условию
[pic] [pic] при [pic].
Из соображений симметрии ясно, что потенциал не должен зависеть от
азимутального угла, поэтому решение уравнения Лапласа запишем в виде
разложения по полиномам Лежандра [pic]:
[pic] [pic],
[pic] [pic].
Здесь потенциал нормирован так, чтобы [pic] при [pic]. Так как [pic], то
из условия на бесконечности находим [pic].
Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и (30):
[pic]
[pic]
Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра, получаем
[pic] [pic]=0 при (l=0),
[pic] [pic] при (l=1),
[pic] [pic] при (l>1).
Из этих уравнений находим
[pic], [pic].
Все остальные коэффициенты равны нуля, если [pic].
Таким образом, решение задачи имеет вид:
[pic]
[pic]
(30)
[pic]
Используя формулу [pic], вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы
[pic]
С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать в виде:
[pic]
(31)
[pic]
(32)
где [pic] - объём сферы.
Первые два слагаемых в (31) и (32) представляют собой потенциал
однородного внешнего поля, создаваемого внешними источниками. Вторые – это
потенциал электрического поля, создаваемого электрическим шаром,
поляризованным внешним полем. Вне сферы – это потенциал диполя с дипольным
моментом [pic]. Внутри сферы поляризованный шар создаёт однородное
электрическое поле с напряжённостью
[pic]
(33)
Полная напряжённость внутри шара
[pic]
(34)
Таким образом, электрическое поле внутри шара не зависят от радиуса шара и
ослаблено на значение поля [pic], которое называется деполяризующим полем.
Возникновение деполяризующего поля есть частный случай явления экранировки
внешнего поля связанными или свободными зарядами.
5. Приложение.
1. Формула Остроградского – Гаусса.
Пусть f (x, y, z) - некоторая функция , а S - замкнутая
поверхность, ограничивающая объём V. На отрезке 1-2 (рис. 4), параллельном
оси X, f - является функцией одного аргумента x. Интегрируя вдоль этого
отрезка получим:
[pic]
где [pic] и [pic] - значения функции f на концах рассматриваемого
промежутка.
Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих
которого является отрезок 1 2. Пусть d? - площадь поперечного сечения его
(величина положительная). Умножая предыдущее соотношение на d?. Так как
d?dx есть элементарный объём dV, заштрихованный на рисунке, то в результате
получится:
[pic],
где dV – часть объёма V, вырезаемого из него поверхность цилиндра. Пусть
dS1 и dS2 эле -ментарные площадки, вырезаемые тем же цилиндром
на поверхности S, а [pic]1 и [pic]2 –
единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности S. Тогда:
d? = d[pic]2 [pic]2х = - d[pic]1 [pic]1х,
а поэтому: [pic]
или короче: [pic] где поверхностный интеграл распространён на сумму
площадок dS1 и dS2. Весь объём V можно разделить на элементарные цилиндры
рассматриваемого вида и написать для каждого из них такие же соотношения.
Суммируя эти соотношения, получим:
[pic]
(35)
Интеграл справа распространён по всему объёму V, справа – по
поверхности S, ограничивающей этот объём. Аналогичные соотношения можно
написать для осей Y и Z.
Возьмём теперь произвольный вектор [pic] и применим к его
компонентам соотношение (35). Получим:
[pic]
и аналогично для компонент Ay и Az . Складывая эти соотношения, найдём:
[pic]
или:
[pic]
Эту формулу Остроградского – Гаусса можно также записать в виде:
[pic]
Смысл её заключается в том, что полный поток вектора [pic] через
некоторую поверхность S равен суммарной алгебраической мощности источников,
порождающих векторное поле.
Если объём V бесконечно мал, то величина div[pic] внутри него
может считаться постоянной. Вынося её за знак интеграла и переходя к
пределу V> 0, получим:
[pic]
Предельный переход надо понимать в том смысле, что область V
должна стягиваться в точку, т.е. размеры этой области должны беспредельно
уменьшаться по всем направлениям. Эти рассуждения показывают, что величина,
стоящая в правой части вышеуказанной формулы, не зависит от формы
поверхности S, стягиваемой в точку. Поэтому это выражение можно принять за
исходную формулировку дивергенции. Такое определение обладает
преимуществом, потому что оно инвариантно, т.е. никак не связано с выбором
координат.
2. Формула Стокса.
По определению ротор (вихрь) некоторого вектора [pic]:
[pic]
(36)
Зная ротор вектора [pic] в каждой точке некоторой (не обязательно
плоской) поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру
[pic], ограничивающему S, (контур также может быть не плоским). Для этого
разобъём поверхность на очень малые элементы [pic]. Ввиду их малости эти
элементы можно считать плоскими. Поэтому в соответствии с (36) циркуляция
вектора [pic] по контуру, ограничивающему [pic], может быть представлена в
виде.
[pic]
(37)
где [pic] - положительная нормаль к элементу поверхности[pic].
Зная, что циркуляция по некоторому контуру равна сумме
циркуляций по контурам, содержащиеся в данном, можно просуммировать
выражение (37) по всем [pic], и тогда получим циркуляцию вектора [pic] по
контуру [pic], ограничивающему S:
[pic].
Осуществив предельный переход, при котором все [pic] стремиться к нулю
(число их при этом неограниченно растёт, придём к формуле:
[pic]
(38)
Соотношение (38) носит название теоремы Стокса. Смысл её состоит в том, что
циркуляция вектора [pic] по произвольному контуру [pic] равна потоку
вектора [pic] через произвольную поверхность S , ограниченную данным
контуром.
6. Список использованной литературы
1. Федорченко А. М. Классическая электродинамика. – К.: Вища школа, 1988.
– 280 с.
2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Электричество. – М.: Наука, 1983. –
688 с.
3. Савельев И. В. Курс обшей физики. 3 том. – М.: Наука, 1988. – 496 с.
-----------------------
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
