получить выражения для I1 и I2 в явной относительно частоты форме,
перепишем (11), подставив вместо Z1э его значение из (8)
[pic]
Считая, что контуры настроены в резонанс (w1 = w2= w0), вынесем за скобки
в знаменателе w0L и, подставив на основании (2) [pic] получим
[pic]
[pic] (15)
где [pic] [pic] , [pic]
[pic]. (16)
Модуль тока [pic] равен
[pic] (17)
Подставив в (7) вместо М. его значение из (2) и домножив числитель и
знаменатель (7) на w0 L2 , найдем,
[pic] (18)
где [pic]. Выражения (13) и (18) — идентичны. Взяв модуль (18) и
подставив значение модуля I1 из (17), получим
[pic][pic] (19)
Если частота питающего генератора равна резонансной частоте контуров, т.
е. wг = w0 (e = 0), то (19) упрощается
[pic]
В относительных единицах выражение, описывающее резонансную кривую для
тока I 2, имеет вид
[pic] (20)
Выражения (17) и (19) соответствуют (12) и (14) и описывают амплитудно-
резонансные характеристики токов I1 и I2 в явной относительно частоты
(расстройки () форме.
Исследуем (19) на экстремум, для чего продифференцируем (19) по ( и
приравняем производную нулю, т. е. dI 2 /d( = 0. В результате получим
[pic]. Данное уравнение имеет три корня:
[pic] [pic] (21)
При d1 = d2 получаем
[pic]
(22)
Если первый корень ((1) действителен при любых соотношениях между k и d,
то второй и третий корни (e2 и e3) имеют смысл только при k > d. При k d физический смысл
имеют все три корня, что говорит о двугорбом характере резонансной
характеристики для тока I2. Очевидно, вторичный критический коэффициент
связи, лежащий на границе перехода от одногорбой кривой к двугорбой, на
основании (21) получается тогда, когда корни (21) обращаются в нуль:
[pic]При d1 = d2 имеем:
k кр2 = d.
(23)
Чтобы получить выражения для частот связи при k > kкр2, в (22) надо
подставить значение e = а/Q = 1 — w02/w2. Тогда
[pic] (24)
Именно на частотах w01 и w02 выполняется условие резонанса, благодаря
чему ток /а достигает максимума (рис. 5, б).
Третья резонансная частота получается из условия e1 =0, или
e1=1- w02/w2=0; отсюда w = w0. При k > kкр2 на частоте w0 резонансная
характеристика тока I2 имеет впадину. При k < kкр2, когда физический смысл
имеет только первый корень , системе связанных контуров свойственна лишь
одна резонансная частота w0 на которой наблюдается максимум тока I2
(рис.5, а). Наличие одной резонансной частоты при k(kкр и появление частот
связи при k(kкр хорошо иллюстрирует рис. 6.
Фазово-частотные резонансные характеристики системы двух связанных
контуров представляют собой частотную зависимость фазового сдвига между
токами [pic] и приложенной к системе э. д. с. Е. Как следует из (11),
сдвиг фазы между током [pic] и э. д. с. Е зависит от угла -(1э,
значение которого определяется (16). Сдвиг фазы между током [pic]и э. д. с.
Е зависит от угла [pic] [см. (18) ] и отличается от сдвига фазы между током
[pic]и э.д.с. Е углом [pic]. Фазово-частотные характеристики системы двух
связанных контуров изображены на рис. 7.
Полоса пропускания системы двух связанных контуров.
В одиночном контуре относительная расстройка e = 2Dw/wо = 1/Q = d. Полоса
пропускания системы может быть как меньше полосы пропускания одиночного
контура (при k < kкр), так и больше ее (при k( kкр). Самой широкой полосой
пропускания системы двух связанных контуров будет такая, в пределах которой
провал амплитудно-частотной резонансной характеристики системы лежит на
уровне 1/[pic] от максимального значения; при этом (=2((/(0 ( 3.1d а
коэффициент связи, обеспечивающий данную полосу, k=2.41d. Как видно, при
этом полоса пропускания системы двух связанных контуров в три раза шире
полосы пропускания одиночного колебательного контура. При критической связи
(k = kкр= d), обеспечивающей наибольшее приближение резонансной
характеристики в пределах полосы пропускания к прямоугольнику, e= 1,41d.
[pic]
Рис.6. Зависимость резонансной частоты системы двух колебательных
контуров от коэффициента связи
[pic]
Рис.7. Фазово-частотные характеристики системы двух связанных контуров
при различных коэффициентах связи
Энергетические соотношения в связанных контурах.
Рассмотрим, как распределяется мощность между связанными контурами в
зависимости от степени их связи. При этом анализировать будем типичный для
практики случаи, когда каждый из контуров в отдельности настроен в резонанс
на частоту генератора (0 (т. е. Х1= 0, Х2= 0) и лишь потом подбирается
связь между ними. Так как обычно выходным является второй контур и с ним
связаны последующие каскады приемного устройства, то задача состоит в
передаче максимальной энергии во второй контур.
Для оценки эффективности передачи энергии во второй контур введем понятие
к.п.д. системы двух связанных контуров как отношение мощности, выделяемой
во втором контуре, к суммарной мощности в первом и втором контурах, т. е.
[pic]
(25)
где [pic] и [pic] Подставив в (25) значения мощностей Р1 и Р2 получим
[pic] Ток I2 заменим его значением из (13) при Х2= 0, т.е. I2=I1Xсв/r2.
Тогда
[pic]
Из (10) следует, что Xсв/r2=Rвн при Х2=0. Таким образом,
[pic]
(26)
Из курса электротехники известно, что максимальная мощность отдается в
нагрузку тогда, когда внутреннее сопротивление генератора равно
сопротивлению нагрузки. Для случая связанных контуров это равносильно
равенству r1=Rвн с точки зрения передачи максимальной энергии во второй
контур из первого. При этом, как видно из (26), h=0.5, т. е. половина
мощности теряется в первом контуре.
Настройка системы двух связанных контуров.
При желании передать во второй контур максимальную энергию,
обеспечивающую и максимальны ток в нем, прибегают к настройке системы
связанных контуров. Для того чтобы получить самый большой ток во втором
контуре, необходимо выполнить два условия: с одной стороны, обеспечить
равенство Х1э=0, а с другой, -r1=Rвн Первое условие может быть выполнено
двумя способами: 1) настройкой системы (при наличии определенной связи
между контурами) на частоту генератора изменением параметров только одного
из контуров; 2) настройкой на частоту генератора сначала первого контура
при разомкнутом втором, а затем подключением и настройкой второго контура
при достаточно слабой связи между контурами, чтобы ослабить взаимное
влияние.
Первый способ настройки называют методом частного резонанса, причем в
зависимости от того, параметры первого или второго контура участвуют в
настройке, достигается соответственно первый или второй частный резонанс.
При частном резонансе хотя и получается максимум тока во втором контуре, но
этот максимум не является самым большим, так как при обеспечении равенства
Х1э= 0 еще не выполняется условие r1=Rвн которое достигается
соответствующим подбором связи между контурами. Связь, обеспечивающую
максимальную мощность (ток) во втором контуре, называют оптимальной. Подбор
ее производится постепенно с последующей подстройкой контура после
очередной установки связи, так как при каждом изменении связи нарушается
условие Х1э= 0 за счет изменения Хвн. Если до изменения связи система была
настроена в резонанс изменением параметров первого контура (первый частный
резонанс), то после каждого очередного изменения связи необходимо
подстраивать систему в резонанс изменением параметров первого контура,
чтобы все время выполнялось условие Х1э= Х1э + Хвн= 0.
Таким образом, при таком постепенном подборе связи с последующей
подстройкой контуров может быть достигнута оптимальная связь,
обеспечивающая самый большой максимум тока во втором контуре. Данный способ
настройки носит название метода сложного резонанса. Проанализируем его
математически.
Если обратиться к выражению для тока во втором контуре [см (14)], то при
достижении, например, первого частного резонанса оно примет вид:
[pic]
Далее положив, что при изменении связи (Хсв) условие Х1э=0 все время
поддерживается неизменным подстройкой параметров первого контура, найдем
оптимальное сопротивление связи (Хсв.опт), обеспечивающее самый большой
максимум тока во втором контуре (I2махмах). Для этого необходимо взять
производную токов I2мах по
Хсв и приравнять ее нулю
[pic]
откуда [pic], или [pic], где [pic].
Таким образом, подтверждено, что при оптимальной связи r1=Rвн, причем
[pic]
(27)
Подставив значение Хсв.опт в выражение для тока I2mах, можно найти самый
большой максимум тока во втором контуре
[pic]
(28)
Однако на практике используют так называемый метод полного резонанса, при
котором сначала достигается равенство Х1э= 0 по описанному второму способу
настройки, когда каждый контур системы настраивается в резонанс независимо
от другого. Затем подбирается оптимальная связь между контурами по самому
большому току во втором контуре (I2max max). В случае полного резонанса при
изменении связи между контурами подстройка их для выполнения условия
Х1э= Х1-Хcв2/Z2=0 нужна, так как ввиду того что Х1= Х2=0, это условие
выполняется при любой связи.
Обратимся в случае полного резонанса к выражению для тока во втором
контуре (14) и исследуем его на экстремум, т. е. определим оптимальную
связь, обеспечивающую I2max max , как это было сделано при сложном
резонансе. С учетом того, что Х1= Х2=0, (14) принимает вид
[pic]
Взяв производную тока I2max по Хсв
[pic]
и приравняв ее к нулю, найдем
[pic] или [pic]
где [pic]
Таким образом, в случае полного резонанса также подтверждено, что при
оптимальной связи r1=Rвн, причем [pic] При подстановке этого значения в
выражение для I2max получаем [pic] Как видно из сравнения последнего
выражения с (28), значение самого большого тока во втором контуре при
сложном и полном резонансах одинаковое, но в случае сложного резонанса оно
достигается при большем значении Хсв.опт, т.е. при большей связи между
контурами.
Прохождение радиоимпульса через двухконтурную связанную систему
Для анализа возьмем импульс с прямоугольной огибающей. Частота
заполнения не модулирована и равна (0. Амплитуда импульса равна 1в, а (0=0.
В качестве двухконтурной избирательной системы рассматривается
полосовой усилитель схематически изображенный на рис. 8. Контуры идентичны,
резонансные частоты контуров (р1=(р2=(р=(0. Таким бразом, в данном случае
(( = 0.
[pic]
Рис. 8.
Передаточная функция такого усилителя
[pic] (29)
где [pic] [pic] [pic] [pic]
Заменяя i( на Р, получаем
[pic] (30)
Обратимся к опредилению сигнала на выходе системы. Сначала рассмотрим
явления на фронте импульса. При этом задача сводится к включению
гармонической э.д.с. в момент t = 0. Подставив в общее выражение
спектральную плотность SA(p) по формуле [pic]и коэффициент передачи К1(p)
по формуле (30), получим
[pic]
Полюсы подынтегральной функции
[pic] [pic]
Определяя вычеты, получим следующее окончательное выражение для
комплексной огибающей выходного сигнала (угол (0 принят равным нулю)
[pic](31)
Вчастном случае ‘критической связи’ (kQ = 1) получаем
[pic] (32)
Множитель ei(/2 учитывет сдвиг фазы выходного напряжения на 900
относительно входного сигнала.
График [pic]изображен на рис. 9 (участок от t = 0 до t = T).
[pic]
Рис. 9.
Рассмотрим теперь явления в цепи в конце импульса, начиная с момента t =
T, где T – длительность импульса. Ясно, что после прекращения действия
внешней силы в системе может существовать только свободное колебание.
Структура этого колебания легко может быть выявлена, если прекращение
импульса рассматривать как результат включения в момент t = T новой э.д.с.,
компенсирующей э.д.с. сигнала. Для этой компенсируещей э.д.с. решение имеет
такой же вид, как и (31), но отличается только знаком, который должен быть
обратным знаку правой части выражения (31), и сдвигом начала отсчета
времени из нуля в точку t = T.
Так как к моменту t = T затухающую часть выражения (31) можно считать
равной нулю, то комплексная огибающая результирующего сигнала на выходе для
t > T должна иметь вид
[pic]
Построенный по этой формуле график [pic] для kQ=1 изображен на рис. 9
(участок t > T).
литература
1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Советское
радио, 1971.
2. Комлик В.В. Радиотехника и измерения. Изд-во ‘Вища школа’, Киев, 1978.
3. Мегла Г. Техника дециметровых волн. - М.: Советское радио, 1958.
4. Григорьев А.Д. Электродинамика и техника СВЧ. - М.: Высшая школа,
1990.
5. Гинзтон Э.Л. Измерения на сантиметровых волнах. Изд-во иностранной
литературы, Москва 1960.
6. Будурис Ж., Шеневье П. Цепи сверхвысоких частот. - М.: Советское
радио, 1979.
Страницы: 1, 2
