Теоретическая физика: механика
|“Согласовано” |“Утверждено” |
|Преподаватель Джежеря Ю.И. |Методист ____________________|
|___________ | |
| | |
План-конспект занятия
По теоретической физике
Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61
Филатова Александра Сергеевича
Дата проведения занятия: 20.12.2000
Тема: «Канонические преобразования. Функция Гамильтона-Якоби. Разделение
переменных»
Цели: Развить навык использования канонических преобразований. Закрепить
умение осуществлять преобразования Лежандра для перехода к производящей
функции от необходимых переменных. Научить использовать метод Гамильтона-
Якоби при решении задач с разделением переменных. Сформировать понимание
сути и могущественности метода. Воспитывать трудолюбие, прилежность.
Тип занятия: практическое.
Ход занятия
Краткие теоретические сведения
Канонические преобразования
Канонические преобразования переменных – это такие преобразования, при
которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования
производят с помощью производящей функции, которая является функцией
координат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции
определяется следующим образом:
[pic] (1)
Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем
соответствующий вид канонических преобразований. Заметим, что если частная
производная будет браться по "малым" [pic], то будем получать малое [pic],
если же по "большим" [pic], то и получать будем соответственно [pic].
Функция Гамильтона-Якоби
При рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует
выражение для импульса:
[pic] (2)
Из представления полной производной действия по времени следует
уравнение Гамильтона-Якоби:
[pic] (3)
Здесь действие рассматривается как функция координат и времени: [pic].
Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби (3), находят
представление действия в виде полного интеграла, который является функцией
s координат, времени, и s+1 постоянных (s – число степеней свободы).
Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде
производной, то одна из констант содержится в полном интеграле аддитивным
образом, т.е. полный интеграл имеет вид:
[pic] (4)
Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде
лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь s констант
меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными
условиями на уравнения движения, которые для любого значения А будут иметь
одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби.
Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом (4) уравнения Г.-
Я. (3) и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести
каноническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве
производящей функции.
Константы [pic] будут выступать в качестве новых импульсов. Тогда новые
координаты
[pic] (5)
тоже будут константы, поскольку
[pic] (6)
Выражая из уравнения (5) координаты [pic] в виде функций от [pic], мы и
получим закон движения:
[pic] (7)
Решение задачи на нахождение зависимости (7) существенно упрощается в
случае разделения переменных. Такое возможно, когда какая-то координата
[pic] может быть связана лишь с соответствующим ей импульсом [pic] и не
связана ни с какими другими импульсами или координатами, входящими
уравнение Г.-Я. В частности это условие выполняется для циклических
переменных.
Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится к
следующему:
1. составить функцию Гамильтона;
2. записать уравнение Г.-Я., и определить какие переменные
разделяются;
3. Путем интегрирования уравнения Г.-Я. получить вид полного интеграла
[pic];
4. Составить систему s уравнений[pic], и получить закон движения
[pic];
5. По необходимости найти закон изменения импульсов: [pic]. Для чего
продифференцировать полный интеграл по координатам [pic], а потом
подставить их явный вид, полученный в пункте 4.
Примеры решения задач
№11.14 [4] Как известно, замена функции Лагранжа [pic] на
[pic], (1.1)
где [pic] – произвольная функция, не изменяет уравнений Лагранжа.
Показать, что это преобразование является каноническим, и найти его
производящую функцию.
Решение:
Перепишем штрихованную функцию Лагранжа, представив полную производную
функции [pic] через частные:
[pic] (1.2)
Функции Гамильтона, соответствующие штрихованной и не штрихованной
функциям Лагранжа, определяются следующим образом:
[pic] (1.3)
[pic] (1.4)
Распишем [pic], используя представление штрихованной функции Лагранжа
(1.2):
[pic] (1.5)
Подставляя формулы (1.5) и (1.2) в выражение для штрихованной функции
Гамильтона (1.4), получим:
[pic] (1.6)
Взаимно сократив второе слагаемое с последним, учитывая зависимость
(1.3), получим:
[pic] (1.7)
Или
[pic] (1.8)
Но согласно каноническим преобразованием с производящей функцией Ф:
[pic] (1.9)
Следовательно,
[pic] (1.10)
Полученное соотношение определяет условие на временную часть
производящей функции канонического преобразования, соответствующего
преобразованию функции Лагранжа (1.1).
Поскольку вид обобщенных импульсов и координат при преобразовании
функции Лагранжа (1.1) не изменился, координатно-импульсная часть
производящей функции должна соответствовать тождественному каноническому
преобразованию. Как было показано в задаче №9.32 [3] (д/з пред. занятия),
производящая функция определяющая тождественное каноническое преобразование
с неизменным гамильтонианом, имеет вид:
[pic] (1.11)
Учитывая условие (1.10) на временную часть производящей функции,
окончательно получим:
[pic] (1.12)
Полученная производящая функция определяет тождественное каноническое
преобразование с заменой функции Гамильтона (1.7) соответствующей замене
функции Лагранжа (1.1).
Задача. Система, состоящая из двух шариков массами [pic], соединенных
невесомой пружиной, расположенной вертикально, начинает двигаться в поле
сил тяжести. Длина пружины - [pic]. Произвести каноническое преобразование
и записать новую функцию Гамильтона, соответствующие производящей функции
[pic].
Решение:
Составим функцию Гамильтона системы:
[pic] (2.1)
Здесь потенциальная энергия состоит из энергии гармонических колебаний и
потенциальной энергии шариков в поле сил земного тяготения. По определению
потенциального поля:
[pic] (2.2)
Мы имеем дело с одномерным движением, поэтому градиент в формуле (2.2)
заменяется производной по х. В то же время сила, является суммарной силой
тяжести. Принимая во внимание принцип суперпозиции гравитационного поля,
проинтегрируем последнее уравнение:
[pic] (2.3)
Значение смещения пружины [pic] от положения равновесия будет
определяться следующим образом:
[pic] (2.4)
Подставив выражения (2.3) и (2.4) в формулу (2.1), получим вид функции
Гамильтона, выраженной через импульсы и координаты явно:
[pic] (2.5)
Переход к новым каноническим переменным производится в случае, когда
возможно упростить вид функции Гамильтона, а соответственно и исходящих из
нее уравнений движения.
В данной ситуации удобно выбрать новые координаты так, чтобы одна
описывала движение центра масс системы, а вторая колебания пружины в
собственной системе отсчета. Убедимся, что заданная в условии производящая
функция отвечает именно такому преобразованию.
[pic] (2.6)
Новая координата [pic] совпадает со значением смещения пружины от
положения равновесия.
[pic] (2.7)
Новая координата [pic] совпадает со значением положения центра масс
системы.
[pic] (2.8)
[pic] (2.9)
Сложив оба уравнения, получим:
[pic] (2.10)
Соответственно
[pic], (2.11)
где
[pic], (2.12)
– приведенная масса.
Запишем функцию Гамильтона в новых переменных:
[pic], (2.13)
где
[pic], (2.14)
– суммарная масса системы.
Действительно, функция Гамильтона в новых переменных распалась на две
части, что соответствует двум парам канонических уравнений. Одна часть
описывает колебания шариков в собственной системе отсчета, другая –
движение системы как целого в поле сил тяжести.
№9.21 [3] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. и закон свободного
движения материальной точки.
Решение:
1. Составим функцию Гамильтона свободной частицы:
[pic] (3.1)
2. Запишем уравнение Г.-Я.:
[pic] (3.2)
3. Произведем разделение переменных и проинтегрируем по времени.
[pic] (3.3)
Используем начальное условие:
[pic] (3.4)
Тогда подставляя вид функции S (3.3) в уравнение Г.-Я. (3.2), последнее
примет вид:
[pic] (3.5)
Откуда
[pic] (3.6)
Следовательно, полный интеграл уравнения Г.-Я.:
[pic] (3.7)
4. Закон движения определяется из канонического преобразования:
[pic] (3.8)
Откуда сам закон движения:
[pic] (3.9)
5. Импульс свободно движущейся материальной точки определяется следующим
образом:
[pic] (3.10)
Действительно, частица в отсутствии внешнего поля движется с постоянным
импульсом.
Домашнее задание:
№11.2 [4] Найти производящую функцию вида [pic], приводящую к тому же
каноническому преобразованию, что и [pic].
Решение:
[pic] (4.1)
[pic] (4.2)
№9.38 [3] Найти уравнение, которому удовлетворяет производящая функция
[pic], порождающая каноническое преобразование к постоянным импульсам и
координатам.
№9.23 [3] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. для тела, движущегося по
гладкой наклонной плоскости, составляющей угол ( с горизонтом.
№12.1 a) [4] Найти траекторию и закон движения частицы в поле [pic]
Литература:
1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», - М.:
«Наука», 1969 г., - 272 с.
2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., - 204
с.
3. И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по
теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с.
4. Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике»,
- М.: «Наука», 1977 г., - 320 с.
5. И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», - М.:
«Наука», 1986 г., - 448 с.
6. Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник
задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319
с.
Студент-практикант: Филатов А.С.
-----------------------
Х
m2
m1
