в то время как ее полная энергия меньше высоты барьера. I
Обнаружить частицу внутри барьера действительно можно, даже если
E0, так что потенциальная энергия имеет вид,
изображенный на рис. 1. Схематизируя таким образом истинный ход
потенциальной энергии, мы в сущности оперируем со средним полем в металле.
На самой деле, потенциал внутри металла меняется от точки к точке с
периодом, равным постоянной кристаллической решетки. Наше приближение
соответствует гипотезе свободных электронов, так как, поскольку U (х) = О,
внутри металла нет никаких сил, действующих на электрон.
Здесь рассмотрим вопрос о степени правильности такого приближений.
Ограничимся лишь указанием на то, что рассмотрение электронов в металле как
свободно движущихся частиц («электронный газ») позволяет уяснить многие
явления в металлах и поэтому, в определенных рамках, является законным.
Распределение по энергиям электронов этого газа таково, что подавляющее
большинство электронов имеет энергию Е < С (при абсолютном нуле температуры
электроны заполняют все уровни энергии от Е = 0 до Е = ?0 < С где ?0 есть
так нулевая энергия; Поток электронов металла, падающий изнутри металла на
его поверхность, обозначим через Jo. Так как электроны имеют энергию Е < С,
то этот поток полностью отражается от скачка потенциала С, имеющего место
на границе металл — вакуум.
Представим теперь себе, что наложено электрическое поле ?,
направленное к поверхности металла. Тогда к потенциальной энергии электрона
U (х) (рис. 1) добавится потенциальная энергия электрона в постоянном поле
?, равная - е ?х (заряд электрона равен — е). Полная потенциальная энергия
электрона будет тецерь равна
[pic]
(3.1)
Кривая потенциальной энергии примет теперь иной вид. Она изображена на
рис. 1 пунктиром. Заметим, что внутри металла нельзя создать большого поля,
поэтому изменение U (х) произойдет лишь вне металла.
Мы видим, что образуется потенциальный барьер. По классической
механике электрон мог бы пройти через барьер лишь в том случае, если его
энергия Е > С. Таких электронов у нас очень мало (они обусловливают малую
термоионную эмиссию). Поэтому никакого электронного тока по классической
механике при наложении поля получиться не, должно. Однако, если поле ?
достаточно велико, то барьер будет узок, мы будем иметь дело с резким
изменением потенциальной энергии и классическая механика будет неприменима:
электроны будут проходить через потенциальный барьер.
Вычислим коэффициент прозрачности этого барьера для электронов,
имеющих энергию движения по оси ОХ, равную Ех. Согласно (1.24) дело
сводится к вычислению интеграла
[pic]
где хх и х2 — координаты точек поворота. Первая точка поворота есть
(рис. 1), очевидно, х1 = 0, так как для всякой энергии Ех < С
горизонтальная прямая Ех, изображающая значение энергии движения по ОХ,
пересекает кривую потенциальной энергии в точке х = 0. Вторая точка
поворота х2 получится, как видно из чертежа, при
[pic]
отсюда
[pic]
следовательно,
[pic] (3.2)
Введем переменную интегрирования.
[pic]
Тогда мы получим
[pic] (3.3)
Таким образом, коэффициент прозрачности D для электронов, обладающих
энергией движения по оси ОХ, равной Ех, равен
[pic] (3.4)
Коэффициент этот несколько различен для разных Ех, но так как С >
ЕХ, то средний (по энергиям электронов) коэффициент прозрачности будет
иметь вид
[pic] (3.5)
где [pic] и ?0 — константы, зависящие от рода металлов. Ток холодной
эмиссии будет равен
[pic]
Эта зависимость тока от поля вполне подтверждается экспериментами.
§4. Трехмерный потенциальный барьер. Квазнстационарные состояния.
Рассмотрение задачи о прохождении через потенциальный барьер,
отличалось той особенностью, что речь шла о потоке частиц, приходящих из
бесконечности и встречающих на своем пути потенциальный барьер. В
дальнейшем (теория радиоактивного распада, автоионизация атомов) нам
встретятся такие случаи, когда речь будет идти о потоке частиц, выходящих
из некоторой ограниченной области пространства (ядро атома, атом),
окруженной, потенциальным барьером. Пусть сфера с центром в 0 и радиусом r0
(рис. 1,а)
[pic]
Рис.4.1. Потенциальный барьер, ограничивающий замкнутую область (r <
r0)
Есть та поверхность, на которой потенциальная энергия U (r)
принимает максимальное значение, так что для r < r0, U < Um и для r > r0, U
< Um. Соответствующий пример графика U(г) дан на рис. 1, б. Допустим, что
нас интересует прохождение через барьер частиц, первоначально находившихся
внутри него. Соответственно предположению, что частицы, падающие извне,
отсутствуют (нет «бомбардировки»), мы должны взять вне барьера лишь
уходящие волны.
[pic] (4.1)
Это условие мы будем называть условием излучения. Ясно, что
уравнение Шредингера
[pic] (4.2)
в этом случае может иметь лишь нестационарные решения. Действительно,
применим закон сохранения числа частиц к сфере радиуса r:
[pic] (4.3)
Из (4.1) имеем,
[pic](4.4)
и, стало быть,
[pic] (4.5)
т. е. среднее число частиц в объеме сферы V убывает, так что ? не
может гармонически зависеть от времени.
Задачу об истечении частиц из барьера можно решать, исходя из
уравнения (4.2) с начальным условием. таким, что функция ? (r, 0) отлична
от нуля лишь внутри барьера (чтобы выразить тот факт; что при t = 0 частица
находилась внутри барьера). Можно, однако, исходить из другого условия, до
некоторой степени противоположного, именно считать, что истечение частиц
происходит уже давно и значительная часть их уже находится вне барьера.
[pic]
Рис 4.2 Потенциальный барьер, ограничивающий замкнутую область (r <
r1) и имеющий простую прямоугольную форму.
Такой подход к решению мы рассмотрим подробнее. Он удобен тем,
что допускает разделе r и t в уравнении (4.2) Положим сразу
[pic]
При этом величина Е будет комплексной, и ее нельзя рассматривать как
энергию частиц. Положим
[pic] (4.7)
Тогда среднее число частиц в объеме V0, заключенном внутри барьера,
согласно (4.6) и (4.7), будет
[pic]
т. е.
[pic] (4.8)
Величина ? - константа распада. Подстановка (46) в (4.2) дает
[pic](99.9)
Чтобы выяснить принципиальную сторону дела, мы рассмотрим схематичный
пример, взяв форму барьера U (r), изображенную на рис. 4.1. Рассмотрим
далее, для простоты, состояния с орбитальным моментом, равным нулю: / = 0.
Тогда, полагая
[pic](4.10)
мы получим из (4.9)
[pic] (99.11)
Согласно нашему предположению о виде U (г) уравнение (99.11)
разобьется на три;
[pic] (99.12) (99.12")(99.12'):
где:
[pic] (99.13):
Решения этих уравнений имеют вид
[pic](99.14) (99.14') (99.14")
Из условия конечности ? в нуле следует, что
[pic] (99.15)
Кроме того, условие излучения дает b = 0 (только уходящие волны).
Краевые условия на границах r = r 1 и r = r 2, как мы установили в § 1,
сводятся к равенству функций и их первых производных
[pic]
[pic]
(99.16) (99.16’) (99.17)
(99.17')
На этот раз мы имеем четыре однородных уравнения для четырех
коэффициентов A, ?, ?, а. Поэтому необходимо, чтобы определитель ? системы
уравнений (4.16) и (4.17) обращался в нуль. Несложные вычисления дают
[pic] (4.18)
где l означает ширину барьера r2 - r 1 (4.18) есть трансцендентное
уравнение для k. Определим его корни приближенно, считая ql » l. Тогда в
нулевом 'приближении можно отбросить член с e -gl, и мы получаем
[pic] (4.19)
Это — точное уравнение для нахождения собственных значений
потенциальной ямы (0, r1, Um), изображенной на рис. 4.2 и получаемой из
потенциального барьера рис. 4.2 при r2 = ?. В такой потенциальной яме
имеются дискретные уровни энергии (для E? < Е, и
вместо дискретного спектра (4.20) мы получаем непрерывный. Однако условие
излучения выбирает из непрерывного спектра уровни, близкие к Еоп, но они не
будут теперь стационарными ( ?п ? 0). При малых ?п они будут почти
стационарными. Это — квазистационарные уровни. Определим величину ?п,
считая ее малой. Для этого разложим член с eql в (4.18) по степеням ?k = k
— ko, где k0 — один из корней уравнения (4.19), для стационарных состояний
потенциальной ямы, а в член с e-gl подставим k = k0; замечая, что
[pic]
получим
[pic]
Отсюда находим ?k
При этом малую поправку к действительной части k0 мы также
можем опустить, как не представляющую интереса. Мнимая же
часть будет равна .
[pic] ' (99.21)
Пренебрегая также малой поправкой к действительной части , k в
(4.13), мы можем положить [pic]. Из (4.13) получаем[pic]
[pic]. (4.22)
Сравнивая это с предыдущим выражением для ?k, мы находим
[pic] (4.23)
Имея в виду, что [pic]есть скорость частицы v0 внутри барьера и что
k0 ? 1/r1 = 1/r0 (ro радиус ямы), мы получаем из (4.23) И (4.13)
[pic] (4.24)
Эта формула имеет простое наглядное толкование. [pic]есть число ударов
частицы о внутреннюю стенку барьера в 1 сек, а экспоненциальный множитель
