варіюванням функцій x(t), y(t), z(t). Прирости функцій, що знаходяться в
результаті варіювання, позначаються символом ? і називаються варіаціями
функцій:
[pic] (5)
Користуючись поняттям варіації, можна стверджувати: якщо дійсний рух
точки відбувається за законом x=x(t), y=y(t), z=z(t), то порівнювані з ним
уявні кінематично можливі рухи відбуваються за законом
[pic]
Оскільки вибір варіацій ?х, ?y, ?z довільний, то існує нескінченна
множина уявних кінематично можливих рухів точки між заданими її
положеннями.
1.2. Дійсний і уявні рухи для невільної матеріальної точки.
У випадку невільної матеріальної точки сформульовані вище в п.1.1.
умови, які визначають клас кінематично можливих уявних рухів, слід
доповнити ще однією: уявний рух точки повинен бути узгоджений з зв'язками,
не повинен порушувати їх[5]. Тому всі попередні результати справедливі і
для руху невільної матеріальної точки, якщо тільки в рівняннях руху точки
використано незалежні узагальнені координати, які позначимо q1, q2 (при
одній ступені вільності матимемо лише одну координату q). У цьому випадку,
якщо дійсний рух точки визначається незалежними координатами q1(t), q2(t) ,
то, аналогічно до попереднього, уявний кінематично можливий її рух буде
характеризуватись функціями
[pic]
Варіації координат тут дорівнюють [pic]
У випадку однієї ступені вільності уявний рух визначається однією
координатою[pic]. Варіація координати дорівнює [pic]
1.3. Дійсний і уявні рухи для механічної системи.
Випадок системи не відрізняється принципово від з'ясованого вище
випадку однієї матеріальної точки. Нехай дійсний рух невільної голономної
механічної системи з п ступенями вільності визначається п незалежними
координатами qk(t), (k=1, 2, ..., п). Уявний кінематично можливий її рух
визначатиметься варійованими координатами
[pic], (6)
де ? — нескінченно малий параметр, a ?k(t)—довільні функції. Ці функції
слід вибирати так, щоб вони перетворювались в нуль на кінцях часового
інтервалу (t0, t1), протягом якого розглядається рух системи. Варіації
координат системи тут дорівнюють [pic].
Отже, поряд з дійсним рухом механічної системи, який відбувається між
положеннями А і В за проміжок часу (t0, t1), розглядаються нескінченно
близькі до дійсного кінематично можливі (уявні) її рухи, які всі
відбуваються між тими самими положеннями А та В, між якими відбувається
дійсний рух і за той самий проміжок часу (t0, t1) та узгоджені з зв'язками
системи.
Уявні рухи, що задовольняють ці вимоги, називатимемо можливими в
розумінні Остроградського.
Доведемо тепер властивість комутативності варіювання і
диференціювання, яку будемо використовувати нижче при розгляді принципу.
Перепишемо (6) у вигляді [pic], і продиференціюємо по часу:
[pic] (7)
Але за своїм змістом ліва частина цієї рівності є варіацією функції
[pic], тобто це є[pic]. Отже, з (7) знаходимо
[pic], (8)
що означає: операція диференціювання по незалежній змінній t і операція
варіювання є комутативними.
1.4. Функція Лагранжа та її інтеграл у дійсному і уявному рухах.
Нехай при дійсному русі функція Лагранжа системи є L(q, ?q, t), а в
уявному вона дорівнює [pic][6], де [pic]
Розкладаючи в ряд Тейлора, знайдемо
[pic] (9)
Головна, лінійна відносно (, частина приросту функції L називається
першою варіацією цієї функції, вона позначається ?L і дорівнює
[pic]
Інші доданки ряду (9), які згруповано за степенями ?, називаються,
відповідно, другою, третьою і т. д. варіаціями функції L і позначаються
так:
?2L, ?3L, ..., ?kL,...
Функцію Лагранжа (9) для уявного руху можна подати тепер як ряд
[pic] (10)
Ми дістали формулу, яка визначає функцію Лагранжа для уявного руху
через функцію Лагранжа й її варіації в дійсному русі точки.
Щоб встановити аналогічну формулу для інтеграла від функції Лагранжа,
помножимо ряд (10) на елементарний проміжок часу dt і проінтегруємо від
моменту to до моменту t1. Матимемо:
[pic] (11)
Інтеграл
[pic], (12)
аргументом якого є функція q(t), слід розглядати як фунаціонал[7].
У співвідношенні (11) інтеграл лівої частини рівності є функціонал,
обчислений для довільного уявного руху. Перший інтеграл правої частини –той
самий функціонал, обчислений для дійсного руху точки. Другий інтеграл
правої частини у формулі (11) є головною, лінійною відносно ?q (відносно ?)
частиною приросту цього функціоналу.
Головна, лінійна, частина приросту функціоналу називається першою його
варіацією і позначається ?S або [pic] .
На підставі (11) і означення першої варіації функціоналу маємо:
[pic], (13)
тобто операції інтегрування і варіювання комутативні (слід підкреслити, що
доведена властивість справджується тільки за умови, що розглядаються уявні
рухи у визначеному вище розумінні Остроградського, коли параметр t відіграє
роль незалежної змінної).
Інші інтеграли правої частини формули (11) є послідовно так звані
друга, третя і т. д. варіації функціоналу S, які позначаються так: ?2S,
?3S, ... . Тому ряд (11) можна переписати у вигляді
[pic] (14)
або у вигляді приросту функціоналу
[pic] (15)
Розділ ІІ. Варіаційні принципи механіки
1 Принцип Остроградського-Гамільтона
Інтеграл із змінною верхньою границею
[pic] (16)
називається дією за Остроградським. Розмірність дії є Дж(с, тобто вона така
сама, як розмірність сталої Планка h, що характеризує елементарний «квант
дії».
Принцип Остроградського — Гамільтона формулюється так:
Дійсний рух механічної системи з голономними в'язями відрізняється від
усіх інших порівнюваних з ним кінематично можливих (у розумінні
Остроградського) рухів тим, що для дійсного руху системи варіація дії за
Остроградським, яку обчислено для довільного фіксованого проміжку часу,
дорівнює нулю.
Принцип Остроградського — Гамільтона математично подається рівністю
[pic] (17)
Для доведення обчислимо варіацію дії:
[pic] (18)
Інтегруючи частинами, знайдемо:
[pic] (19)
Доданок — [pic]тут дорівнює нулю в початковий і кінцевий моменти часу,
бо [pic], а [pic] (кінцеві точки траєкторій не варіюються).
Підставляючи (19) в (18), дістанемо:
[pic] (20)
За рівнянням Лагранжа підінтегральна функція в (20) дорівнює нулю;
тому ?S = 0. Справедливість принципу доведена.
Якщо для функціонала S виконана умова ?S = 0, то говорять, що значення
S стаціонарне. Умова стаціонарності дії ?S = 0 вичерпно виражає закон руху
механічної системи. Справді, вище показано, що з рівнянь руху Лагранжа
випливає рівність ?S = 0. Але і, навпаки, з умови ?S = 0 випливають
рівняння Лагранжа. Так, з довільності ?q слідує, що для всіх t
підінтегральна функція в (20) дорівнює нулю, тобто випливають рівняння
Лагранжа.
Принцип стаціонарної дії Остроградського — Гамільтона інколи називають
принципом найменшої (екстремальної) дії. З'ясуємо походження цього терміну.
2.2. Принцип екстремальної (найменшої) дії
Аналізуючи формулу (15), приходимо до висновку, що значення дії S було
б для дійсного руху мінімальним, якби виконувались разом умови
?S=0 і ?2S=0 (21)
Справді, з формули (15) випливає, що при виконанні умов (21) ряд у
правій частині (15) починається з другого доданку і знак ?S тоді такий
самий, як і знак ?2S, тобто ?S>0 для будь-яких уявних в розумінні
Остроградського рухів.
Отже, дві умови (21) достатні для існування мінімуму дії S, тоді як
умова стаціонарності ?S = 0 є лише необхідною умовою мінімуму дії S.
Можна довести, що друга варіація дії за Остроградським є додатньою в
тому випадку, коли величина проміжку часу руху не перевищує певної границі,
окремої для кожного розглядуваного руху.
Нагадаємо, що існування мінімуму дії означає: якщо порівняти числові
значення інтегралів дії S і S? – інтегралу дії для дійсного руху [pic] із
значенням інтегралу дії [pic]для уявного кінематично можливого руху, то
виявиться, що завжди S 1 по суті
не відрізняється від випадку
п = 1, який подано в тексті.
[7] Змінна величина І називається функціоналом, що залежить від функції
х(t), якщо кожній функції x(t) з деякого класу функцій відповідає певне
значення І, тобто кожній функції х(t) відповідає певне число І.
[8] За межами механіки функція Лагранжа L часто виступає вже як вихідна, бо
там поняття кінетичної і потенціальної енергій не скрізь можуть бути
введені.
-----------------------
Диференціальні
Інтегральні
Диференціальні
Інтегральні
Варіаційні
Неваріаційні
Принципи механіки
рис. 5
рис. 6
рис. 4
рис. 3
рис. 2
Страницы: 1, 2
