с ростом скорости сдвига, вязкость при растяжении, оцененная как ?11/?,
также должна уменьшаться с повышением продольного градиента скорости. Этот
вывод противоречит тому, что известно о растяжении полимерных систем,
вязкость которых может возрастать при растяжении. Поэтому основные
закономерности растяжения полимеров обусловлены их вязкоупругими
свойствами, т. е. тем, что при растяжении происходит наложение необратимых
и высоко-эластических деформаций. Важнейшее значение имеет также
ориентационный эффект, усиливающийся с возрастанием продольного градиента
скорости. Это изменяет реологические свойства материала из-за влияния
ориентации на характер межмолекулярного взаимодействия.
3.1. Растяжение полимеров в области линейной
вязкоупругости.
При достаточно малых напряжениях и скоростях деформации поведение
полимерных систем описывается соотношениями линейной теории вязкоупругости,
и все особенности поведения материала в любых режимах деформирования могут
быть определены, если известен его релаксационный спектр. Понятие о
линейной вязкоупругости — это асимптотическое представление реальных
свойств материала при предельно низких напряжениях. Экспериментально, в
пределах погрешности измерений, «линейная область» охватывает более или
менее широкий диапазон условий деформирования. Граница« линейного»
поведения зависит от природы материала: она может находиться в области
очень низких напряжений (например, для полимеров, содержащих активный
наполнитель) или быть смещенной в сторону очень больших напряжений,
охватывая практически всю область доступных режимов деформирования (для
гибкоцепных полимеров с узким молекулярно-массовым распределением).
Судить о том, отвечает ли поведение материала теории линейной
вязкоупругости можно по его интегральным характеристикам, пример вязкости
или модулю высокоэластичности. Постоянство таких параметров является
необходимым, но недостаточным критерием «линейности», так как различные
нелинейные эффекты могут при этом проявиться в переходных режимах
деформирования. Поэтому, чтобы судить о том, является ли поведение
материала «линейным», в общем случае необходимо подтверждение независимости
какой-либо характеристики вязкоупругих свойств системы, например функций
релаксации или ползучести, от режима деформирования.
Пусть реологические свойства среды описываются соотношениями
линейной теории вязкоупругости и характеризуются функцией ползучести ?(t)
или функцией релаксации ?(t). Тогда при деформировании в режиме ?=?0=const
изменение напряжений во времени описывается формулой:
Скорость натекания необратимой деформации ?f выражается при этом
следующим образом:
а изменение обратимой деформации во времени ?e(t) происходит
(пренебрегая мгновенной составляющей) в соответствии с формулой:
При t—> ? получается ряд очевидных соотношений
где ? — продольная вязкость, определяемая как отношение напряжения и
скорости натекания необратимой продольной деформации; Е — модуль
высокоэластичности при одноосном растяжении; ? и G— значения вязкости и
модуля высокоэластичности, измеренные при низких напряжениях (в линейной
области) в условиях сдвиговых деформаций.
Таким образом, в рамках линейной теории вязкоупругости для вязкоупругой
жидкости продольная вязкость равна утроенной вязкости, измеренной при
сдвиге (?=З?), и модуль высокоэластичности при растяжении равен утроенному
модулю сдвига (Е = 3G). В предстационарном режиме деформации вязкость
остается постоянной и равной ?. Поэтому линейная теория вязкоупругости не
предсказывает никаких новых результатов (по сравнению с теорией вязкой
ньютоновской жидкости и упругого гуковского тела) по отношению к
установившимся режимам деформации.
В переходной (предстационарной) стадии деформирования при задании режима
?= const изменение напряжений во времени описывается формулой:
или
где F (?) — релаксационный спектр; ? — вязкость в установившемся
сдвиговом течении.
Из последней формулы видно, что зависимость с ?(t)/?? от t получается
одной и той же для различных скоростей деформации и может быть вычислена,
если известна функция F(?), а время нормируется по вязкости при данной
температуре.
Другие режимы деформирования вязкоупругой жидкости, реологические
свойства которой описываются соотношениями линейной теории вязкоупругости,
также могут быть проанализированы на основании общих соотношений теории.
Так, при деформировании в режиме V=Vo=const изменение напряжений скорости
натекания необратимой деформации описываются формулами :
где ?0 = Vo/lo. В этом случае продольная вязкость остается равной З? и
не изменяется от начала деформирования до достижения режима установившегося
течения. Напряжения в этом случае вначале увеличения деформации возрастают,
а затем при t>? убывают до нуля, поскольку при t>? уменьшается до нуля
скорость деформации и соответственно ?а.Такой же характер носит изменение
высокоэластических деформаций, накапливаемых материалом, ибо при низких
деформациях ?e возрастает, а при высоких, из-за уменьшения напряжения,
снижается и при t>? значение ?e>0.
3.2. Растяжение вязкоупругой жидкости в нелинейной области.
Для того, чтобы количественно описать зависимость продольной вязкости от
градиента скорости растяжения необходимо использовать какую-либо модель
вязкоупругого тела. Типичным примером является поведение вязкоупругой
жидкости с одним временем релаксации О (максвелловская модель) при
одноосном растяжении, в которой возможность больших деформаций учитывается
так же, как и при рассмотрении влияния больших деформаций на напряжения,
возникающие при установившемся сдвиговом течении, заменой частной
производной по времени теми или иными дифференциальными операторами,
описывающими перемещение точки и связанной с ней системы координат при
деформациях в пространстве.
Итак, пусть реологическое уравнение состояния вязкоупругой жидкости
записывается в виде операторного уравнения:
(1.10)
где D — некий дифференциальный оператор; ?’ij — компоненты девиатора
тензора напряжений; ?’ij — компоненты тензора скоростей деформаций (тензор
{?’} представляет собой девиатор, ибо его первый инвариант равен нулю).
В установившемся течении при растяжении с постоянным продольным
градиентом скорости ?0 диагональные компоненты тензора {у’} равны у’11
=?0,y’22 = у’33 = -?0/2 , а все недиагональные компоненты -нулю.
Пусть D — это линейный оператор Олдройда. Тогда для режима
установившегося течения, при d?11/dt=0, уравнение состояния (1.10)
распадается на три следующие равенства:
(1.11)
Для того, чтобы получить отсюда значение напряжения ?11 надо
воспользоваться равенством ?ii=-p+?’i и, пренебрегая силами поверхностного
натяжения, записать, что
Исходя из первого уравнения системы (1.11) следует,что гидростатическое
давление (отнюдь не равное внешнему) выражается через градиент скорости
Исходя из первого уравнения системы (1.11), можно получить
Отсюда следует, что продольная вязкость при растяжении выражается как
функция градиента скорости
(1.12)
Теория предсказывает, что при низких продольных градиентах скорости
растяжения (при ?0«1/?) значение ?=З?=?0, но при возрастании градиента
скорости продольная вязкость монотонно увеличивается, и при ?0—> ?/2
продольная вязкость неограниченно возрастает: ?—>?. При градиентах
скорости, больших ?/2,установившееся течение при растяжении вообще
оказывается невозможным.
Рассмотрим случай одноосного сжатия, по кинематике обратный одноосному
растяжению. Для обычной вязкой жидкости при замене растяжения сжатием все
реологические характеристики среды (с точностью до знака) остаются
неизменными. Но для вязкоупругой среды сжатие не является процессом,
обратным растяжению. Это видно из приведенных ниже соотношений. Сжатию
отвечает тензор скоростей деформации
поэтому уравнения (1.11) заменяются следующей системой:
(1.13)
Повторяя все вычисления, проделанные для деформации одноосного
растяжения, и определяя вязкость при сжатии ? точно так же, как при любых
других режимах деформации отношением (?11/?0) можно найти, что
(1.14)
Таким образом, для модели (1.10), обобщенной на большие деформации по
Олдройду, вязкость при растяжении ?, оказывается не равной вязкости при
сжатии ?,. Этот результат показывает, что в принципе для вязкоупругой
жидкости с произвольными реологическими свойствами, несмотря на
кинематическую обратимость растяжения и сжатия, может иметь место
неравенство: ?=?,.
Вязкоупругая жидкость, реологические свойства которой описываются
уравнением (1.10) с производной в смысле Олдройда, не проявляет аномалии
вязкости при сдвиге, то общая картина изменения «вязкостей» этой жидкости в
зависимости от градиента скорости при трех рассмотренных схемах деформации
в режиме установившегося течения оказывается такой, как показано на рис.
1.2.
Таким образом, жидкость, не проявляющая аномалии вязкости при
сдвиговом течении, обнаруживает эффект возрастания вязкости
Рис 1.2. Изменение вязкости вязкоупругои
"олдройдовской" жидкости с одним временем
релаксации в зависимости от скорости
деформации:
1. - продольная вязкость при растяжении ?/3?0;
2. - продольная вязкость при сжатии ?/3?0;
3. - вязкость при сдвиговом течении ?/?0.
при растяжении вследствие развивающихся высокоэластических деформаций.
Эффект аномалии вязкости при сдвиговом течении естественным образом
описывается при использовании реологического уравнения (1.9), обобщенного
на случай больших деформаций с помощью яуманновской производной. Но для
одноосного растяжения эта модель не предсказывает возникновения каких-либо
новых эффектов, отличных от тех, которые известны для чисто вязкой
жидкости, т. е. для такой вязкоупругой среды
Этот вывод физически обусловлен тем, что эффект аномалии вязкости в
яуманновской модели возникает из-за вращения координатной системы,
связанной с данной точкой, при деформировании среды. При однородном
одноосном растяжении вращение элементов тела отсутствует, и поэтому
вязкоупругая среда ведет себя как ньютоновская жидкость.
