Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла
МГТУ им Н.Э.Баумана
гр. ФН2-41
Котов В.Э.
Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории
Максвелла.
(по материалам лекций Толмачева В.В.)
Постановка задачи
Пусть имеются две диэлектрические среды 1 и 2 , с электрической и
магнитной проницаемостью [pic] и [pic] соответственно. Из среды 1 в 2
падает плоская монохроматическая волна (границу раздела будем считать
плоской).При переходе через границу раздела волна разделится на две
части : отраженную волну (в среде 1) и преломленную волну (в среде 2)
, необходимо выяснить соотношения между углами [pic] и [pic], а также
между интенсивностями падающей и отраженной волн (рис 1).
[pic]
рис.1
Данная волна должна представлять собой точное решение уравнений
Максвелла : [pic] и [pic] (1) (учитывая , что среда диэлектрическая
, т.е. [pic])
для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет
(если оси Х направить в сторону распространения волны):
[pic] и [pic] ([pic]=[pic]=0) (2)
где A и B , [pic] и [pic], [pic]- постоянные (не зависят от времени и
координаты) ,
[pic] и[pic] - характеристики среды , в которой распространяется
волна ,
[pic] , t - рассматриваемый момент времени
x - рассматриваемая координата на оси Х
V - скорость распространения волны в
данной среде
(естественно , в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких
волн будет также их точным решением )
Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела : [pic]и
[pic] не терпят разрыва на поверхности раздела , [pic] и [pic] также не
терпят разрыва , поскольку на границе раздела не течет ток и нет
поверхностной плотности заряда:
[pic] (3)
(индексом 1 обозначаем все , относящееся к первой среде , индексом 2 -
ко второй)
Таким образом , необходимо построить точное решение уравнений (1)
, удовлетворяющих условиям (3). Для этого рассмотрим два случая :
случай ТМ -волны (р-волны ) - вектор [pic]перпендикулярен плоскости
падения (трансверсальная магнитная) , и случай ТЕ-волны (s-волны)-
вектор [pic] перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная
электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть
представлена как линейная комбинация двух таких волн.
Случай ТМ -волны (p - волны)
[pic]
рис.2
Из рисунка видео , что [pic] , запишем условия равенства [pic] на
границе раздела :
[pic] ( учитывая , что волна в среде 1 есть сумма падающей и
отраженной волн)
подставляем значения[pic]:
[pic]
подставляем [pic] из (2) :
[pic]
Аналогично , поскольку [pic] получаем для вектора [pic]на границе
раздела:
[pic] ( c учетом (2) )
[pic]
для выполнения равенств для [pic]и [pic] потребуем равенства
аргументов косинусов :
[pic]
потребуем также равенства начальных фаз: [pic]
из рисунка видно , что : [pic] [pic], [pic] (4)
([pic],[pic]и [pic] - соответственно : угол падения , угол отражения и
угол преломления ) , тогда имеем :
[pic]
[pic]
[pic]
из равенства аргументов получаем :
[pic]
(т.к. [pic] , [pic] )
[pic]т.е. получены , как и следовало ожидать , законы отражения и
преломления света
разделим теперь выражения для[pic]и [pic]на [pic] , получим (c учетом
(4) ) следующую систему :
[pic] (5)
здесь неизвестными являются [pic]и [pic] , а [pic] - заданно.
Умножим первое уравнение на [pic] а второе на [pic] и вычтем из
первого второе , тогда члены с[pic] сократятся и получим:
[pic]
поскольку для неферромагнетиков магнитная проницаемость[pic]
незначительно отличается от единицы , то для сравнительно широкого
класса сред можно считать [pic], тогда:
[pic].
( разделим числитель и знаменатель на [pic], и учтя , что[pic] )
применив закон преломления , получим (6):
из второго уравнения системы (5) получаем для [pic]:
[pic] (поскольку полагаем [pic],) , тогда:
[pic][pic] (7)
проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела ,которые
мы не учли -[pic] и [pic]. Второе равенство выполняется заведомо ,
поскольку [pic], проверим первое равенство [pic] :
из рисунка видно , что [pic] , а [pic] подставим значения
[pic],[pic] и [pic]( из 2) , сократив сразу на [pic] , и учитывая (4)
:
[pic](выражая [pic]через второе уравнение системы (5) )
[pic]
Таким образом действительно получено точное решение уравнений (2) ,
удовлетворяющее всем начальным условия. Итак , имеем следующие формулы
Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7) ):
[pic] и [pic]
Случай ТЕ -волны ( s - волны)
[pic]
рис.3
Из рисунка видно , что [pic]
Условия (3) для [pic] и [pic]:
[pic]
подставляя значения [pic]и [pic] из (2) получим :
[pic]как и в случае ТМ-волны предполагаем равенство аргументов
косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон
отражения и преломления света , сокращая на [pic]и с учетом (4)
получим систему :
[pic] (8)
умножим первое уравнение на [pic] а второе на [pic] и вычтем из
первого второе :
[pic]
[pic]
поскольку мы полагаем [pic] (см. выше) то [pic]
[pic] (9)
из второго уравнения системы (8) получаем:
[pic] (10)
проверим теперь неучтенные условия на границе раздела : [pic] и
[pic] .
Второе условие выполняется , поскольку [pic] , проверим выполнение
равенства : [pic] из рисунка видно , что [pic] , а [pic] подставим
значения [pic],[pic] и [pic]( из 2) , сократив сразу на [pic] , и
учитывая (4) получим : [pic]
подставляем [pic] из второго уравнения системы (8) :
[pic]
таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2) ,
удовлетворяющее всем начальным условиям . В случае p-волны имеем
следующие формулы Френеля для отражения и преломления (из (9) и (10))
[pic] и [pic]
Анализ формул Френеля
Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий ) падающей
и отраженной ТМ и ТЕ волн и падающей и прошедшей волн в зависимости
от угла падения [pic]. Для этого рассмотрим отношение нормальной
составляющей вектора Пойтинга [pic] падающей и отраженной ([pic] и
[pic] в случае ТМ и ТЕ волн соответственно) и падающей и прошедшей
([pic]
и [pic]) волн. Тогда с из полученных формул Френеля для отражения и
преломления , с учетом (2) будем иметь:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
А. Отражение
Исследуем сначала поведение [pic]и [pic] на границах отрезка [pic]:
при [pic] (просто положить [pic] равным нулю нельзя , потому что будет
неопределенность ):
[pic]
[pic]
[pic]
для случая падения из воздуха в стекло ([pic]) : [pic]
т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить , что
если поменять среды местами - т.е. рассматривать падение из воды в
воздух , то это значение не изменится)
В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более
плотную при[pic]:
[pic] [pic]
Действительно, преломленной волны при скользящем падении не
образуется и интенсивность падающей волны не
меняется.
В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее
плотную , необходимо учесть явление полного внутреннего отражения ,
когда прошедшей волны нет - вся волна отражается от поверхности
раздела. Это происходит при значениях [pic] больших , чем [pic],
вычисляемого следующим образом:
[pic][1]
Для падения из стекла в воздух [pic]
Здесь не рассматривается полное внутреннее отражение , поэтому [pic] в
случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее
плотную изменяется до [pic], в этом случае:
[pic] [pic]
Далее исследуем поведение этих функций между крайними точками , для
этого исследуем на монотонность функции: [pic] и [pic]
Нам понадобится производная [pic], найдем ее как производную функции ,
заданной неявно :
[pic]
[pic]Знак этой производной ( поскольку [pic] , [pic]) зависит только
от знака выражения [pic] , это выражение > 0 , когда [pic] (то есть
падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную ) и
0 при [pic] и 0 , но эта функция проходит через
нуль. Поскольку числитель , при рассматриваемых пределах изменения
[pic] в 0 обращаться не может[2] это происходит тогда , когда
знаменатель обращается в бесконечность т.е.:
[pic]
Это есть угол Брюстера ([pic]) , при котором [pic] обращается в 0 , то
есть отраженная волна отсутствует . Для случая падения из воздуха в
стекло [pic], для обратного случая (из стекла в воздух) [pic]При
переходе через этот угол [pic] меняет знак на минус , следовательно
[pic] как квадрат этой функции сначала убывает (до нуля) , а затем
возрастает (до 1).
При [pic] для небольших[pic][pic]1 больше 0 при [pic] и меньше 0 при [pic], при n<0 промежутки
знакопостоянства меняются местами . Таким образом , в случае падения из
менее оптически плотной среды в более плотную сдвиг фаз на[pic] в
отраженной p-волне наблюдается при [pic] , а в случае падения из более
плотной в менее плотную - при[pic].
В случае отраженной s-волны [pic] , эта функция меньше 0 при [pic] и
больше 0 в противном случае. Таким образом , сдвиг фаз на[pic] в
отраженной s-волне наблюдается при падении из менее оптически плотной
среды в более плотную , и не наблюдается при падении из более плотной
среды в менее плотную.
В случае произвольно падающей линейно поляризованной волны , которая
представляется в виде суммы p и s-волн , в отраженной волне , таким
образом , можно получить , в общем случае волну произвольной
(эллиптической) поляризации .
Для исследования сдвига фаз в прошедшей волне , воспользуемся
соотношениями , возникшими как промежуточные результаты при выводе (7)
и (10) :
[pic] и [pic]
из этих соотношений видно , что , поскольку [pic] и [pic] , то всегда
[pic]и [pic] . То есть , в прошедшей волне изменения фазы не происходит
(причем это верно для волн произвольной поляризации).
Дополнительная литература:
Cивухин Д.В. “Общий курс физики. Оптика” , Москва , “Наука”,1985г.
Савельев И.В. “Курс общей физики” , том 2 , Москва , “Наука” , 1979г.
-----------------------
[1] -здесь под n понимается показатель преломления той среды , куда падает
луч относительно той , откуда он падает , в оптике в этом случае под n
понимают показатель преломления оптически более плотной среды относительно
оптически менее плотной , т.е. в этом случае в этой формуле стоит [pic]
[2]-- числитель также не может обращаться в бесконечность , поскольку это
возможно только в случае [pic] , но в этом случае [pic] , а это невозможно
т.к. [pic] и [pic]
