“Диоптрикой”.
Заслуги Декарта как мыслителя и новатора огромны, но откроем
современную “Математическую энциклопедию” и просмотрим список терминов
связанных с его именем: “Декартовы координаты” (Лейбниц, 1692) , “Декартов
лист”, “Декарта овалы ”. Ни одно из его рассуждений не вошло в историю как
“Теорема Декарта”. Декарт в первую очередь идеолог: он основатель
философской школы, он формирует понятия, совершенствует систему буквенных
обозначений, но в его творческом наследии мало новых конкретных приемов. В
противоположность ему Пьер Ферма мало пишет, но по любому поводу может
придумать массу остроумных математических трюков (см. там же “Теорема
Ферма”, ”Принцип Ферма”, ”Метод бесконечного спуска Ферма”). Вероятно, они
вполне справедливо завидовали друг другу. Столкновение было неизбежно. При
иезуитском посредничестве Мерсенна разгорается война, длившаяся два года.
Впрочем, Мерсенн и здесь оказался прав перед историей: яростная схватка
двух титанов, их напряженная, мягко говоря, полемика способствовала
осмыслению ключевых понятий математического анализа.
Первым теряет интерес к дискуссии Ферма. По-видимому, он напрямую объяснился с Декартом и больше никогда не задевал соперника. В одной из своих последних работ “Синтез для рефракции”, рукопись которой он послал де ла Шамбру, Ферма через слово поминает “ученейшего Декарта” и всячески подчеркивает его приоритет в вопросах оптики. Между тем именно эта рукопись содержала описание знаменитого “принципа Ферма”, который обеспечивает исчерпывающее объяснение законов отражения и преломления света. Реверансы в сторону Декарта в работе такого уровня были совершенно излишни.
Что же произошло? Почему Ферма, отложив в сторону самолюбие, пошел на
примирение? Читая письма Ферма тех лет (1638 - 1640 гг.), можно
предположить самое простое: в этот период его научные интересы резко
изменились. Он забрасывает модную циклоиду, перестает интересоваться
касательными и площадями, и на долгие 20 лет забывает о своем методе
нахождения максимума. Имея огромные заслуги в математике непрерывного,
Ферма целиком погружается в математику дискретного, оставив опостылевшие
геометрические чертежи своим оппонентам. Его новой страстью становятся
числа. Собственно говоря, вся “Теория чисел”, как самостоятельная
математическая дисциплина, своим появлением на свет целиком обязана жизни и
творчеству Ферма.
В трудах древних, с их культом чертежа, мы находим удивительно мало
исследований по теории чисел. Евклид отмечает кое-какие правила делимости и
доказывает бесконечность множества простых чисел. Можно также припомнить
cribrum Eratosthenis (решето Эратосфена) - метод выделения простых чисел из
натурального ряда. Вот, пожалуй, и все. Особняком стоят сочинения Диофанта
(III век до н. э.), который рассматривал задачи о представлении чисел и
решал неопределенные уравнения в целых числах. Из тринадцати книг его
“Арифметики” до наших дней дошло лишь шесть. В Европе переводы сочинений
Диофанта на латинский и французский языки появились лишь в начале XVII в.
Баше де Мезириак в 1621 г. издал перевод “Арифметики” с собственными
подробными комментариями и дополнениями. Именно это издание, попавшись в
руки Ферма, сыграет выдающуюся роль в истории математики.
Ферма внимательнейшим образом штудирует “Арифметику” и помещает на
полях книги 46 замечаний к тексту. Кроме этих пометок, положения из теории
чисел (в основном без доказательств) рассеяны в письмах Ферма. Этого
вполне хватило для возникновения нового направления в математике. После
смерти Ферма его сын Самюэль издал в 1670 г. принадлежащий отцу экземпляр
“Арифметики” под названием “Шесть книг арифметики александрийца Диофанта с
комментариями Л. Г. Баше и замечаниями П. де Ферма, тулузского сенатора”. В
книгу были включены также некоторые письма Декарта и полный текст сочинения
Жака де Бильи “Новое открытие в искусстве анализа”, написанное на основе
писем Ферма. Издание имело невероятный успех. Перед изумленными
специалистами открылся невиданный яркий мир. Неожиданность, а главное
доступность, демократичность теоретико-числовых результатов Ферма породили
массу подражаний. В то время мало кто понимал как вычисляется площадь
параболы, но каждый школяр мог осознать формулировку Великой теоремы Ферма.
Началась настоящая охота за неизвестными и утерянными письмами ученого. До
конца XVII в. было издано и переиздано каждое найденное его слово. Но
бурная история развития идей Ферма только начиналась.
В последствии Ферма объяснит свое увлечение числами в письме
английским математикам Дигби и Броункеру. Это письмо имеет специальный
подзаголовок: “Второй вызов Ферма математикам”. Ферма пишет: “Едва ли кто-
нибудь может предложить или даже понять чисто арифметические задачи. Ибо
разве Арифметика не толковалась скорее геометрически, чем арифметически.
Это подтверждает большинство трудов древних и новых авторов; подтверждают
это и труды самого Диофанта. Он несколько более других отдалился от
геометрии, когда начал излагать Аналитику в рациональных числах; однако и
эта часть не совсем лишена геометрии, что вполне доказали книги Виета
“Зететика”, где метод Диофанта переносится на непрерывные величины, а
значит, и на геометрию. ... Лишь я, словно идущий впереди факелоносец,
предлагаю вам для доказательства или построения следующую теорему или
задачу. Если вы ее решите, то поймете, что задачи такого рода ни тонкостью,
ни трудностью, ни способом доказательства не уступают знаменитейшим
проблемам геометрии”.
Что же искал и что открыл Пьер Ферма, занимаясь числами? Рискнем предположить, что более всего Ферма интересовали способы построения простых чисел. Он мечтал найти явную формулу, которая позволяет быстро вычислять сколь угодно большие простые числа. На полях “Арифметики” он высказал предположение, что таким “генератором” простых чисел будет формула
[pic], n = 0,1,2,...
Действительно, при n = 0, 1, 2, 3, 4 получаем простые числа 3, 5, 17, 257,
65537. Ферма полагал, что при всех прочих n числа F(n) - простые, и
неоднократно предлагал своим корреспондентам доказать этот результат .
Понадобилось сто лет, чтобы Леонард Эйлер в 1733 г. опроверг
утверждение Ферма. Это произошло с подачи Христиана Гольдбаха, который в
1729 г. писал находившемуся в Петербурге Эйлеру: “Известно ли тебе
замечание Ферма о том, что все числа вида [pic] именно 3, 5, 17 и т.д..
суть простые, причем сам он, по его признанию, не смог этого доказать и,
насколько я знаю, после него никто не доказал”. Эйлер пару лет подумал и
показал, что уже при n = 5 число F(5) делится на 641:
[pic] .
Для получения этого результата Эйлеру пришлось испытать 160 делителей.
Составными оказались и многие другие числа Ферма (при n =6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 15, 16, 18, 23, 36, 38, 73). Наибольшее из известных в настоящий
момент составных чисел Ферма F(452) состоит из 10135 цифр и делится на
27(2455+1 ( показано с помощью ЭВМ). Справедливости ради следует
подчеркнуть, что Ферма, считая числа F(n) простыми, никогда не утверждал,
что располагает доказательством этого факта. С другой стороны к настоящему
времени известно столько же простых чисел Ферма, сколько из знали во
времена Ферма, а именно: 3, 5, 17, 257, 65537.
Итак, Ферма ошибался. Его формула производила в основном составные, а не простые числа. Однако, идея “генерирования” простых чисел была воспринята с энтузиазмом. Все тот же отнюдь не легкомысленный Эйлер предложил многочлен x2-x+41, который при всех целых x от 0 до 40 дает только простые числа. Эйлер не поленился проделать эти вычисления, хотя прекрасно знал, что многочлен с целыми коэффициентами не может при всех натуральных значениях аргумента принимать только простые значения. Сегодня, несмотря на усилия сотен профессионалов и тысяч дилетантов, мы по-прежнему не умеем вычислять сколь угодно большие простые числа, хотя знаем массу нюансов об их распределении. Один из самых ярких результатов этой области принадлежит академику Пафнутию Львовичу Чебышеву (1850) : число простых чисел не превосходящих n приблизительно равно [pic] при n ( ( .
Ферма ошибся, но Ферма был бы не Ферма, если бы позволил хоть одной
своей теореме бесславно кануть в лету. “Проклятые числа как оборотни”
вылезали в самых далеких от теории чисел исследованиях. В 1796 г. 19-летний
студент Геттингенского университета Карл Фридрих Гаусс произвел сенсацию,
доказав теорему: правильный многоугольник может быть построен с помощью
циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число его сторон равно
2ap1p2...pb , где все простые числа pi являются числами Ферма, т. е. имеют
вид [pic] . То была месть Ферма спесивым геометрам. Теорема Гаусса подвела
черту под многовековыми спорами относительно возможности построения
правильных многоугольников и сэкономила массу времени любителям математики.
Из этой теоремы следует, что можно построить правильные 3-, 5-, 17-, 257-,
65537- и другие многоугольники и нельзя построить, например, правильные 7-,
11-, 13- угольники. Для неверующих Гаусс не поленился построить правильный
17-угольник.
Занимаясь тайнами простых чисел Ферма сформулировал много положений о представимости чисел квадратичными формами. Например, он обнаружил следующие удивительно простые и глубокие закономерности:
1. Формой x2+y2 представимы все простые числа, которые лежат в прогрессии 4n+1 , причем каждое из них представимо этой формой единственным образом. Ни одно простое число из прогрессии 4n+3 не представимо суммою двух квадратов.
2. Формой x2+2y2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях
8n+1 и 8n+3. Ни одно простое число из прогрессий 8n+5 и 8n+7 не
представимо в виде x2+2y2 .
3. Формой x2-2y2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях
8n+1 и 8n+7. Ни одно простое число из прогрессий 8n+5 и 8n+3 не
представимо в виде x2-2y2 .
4. Формами x2+3y2 и x2+xy+y2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессии 3n+1. Ни одно простое число из прогрессии 3n+2 не представимо указанными формами.
Ферма оставил крайне мало пояснений, дающих возможность установить, как ему удалось получить эти в высшей степени общие результаты. Лишь перед смертью в письме к де Каркави Ферма частично обосновал положение (1) с помощью своего метода бесконечного спуска. Можно лишь пожалеть современников Ферма, которые регулярно получали вариации на тему утверждений (1) - (4) в качестве задач. Первые полные доказательства этих утверждений удалось получить лишь Эйлеру. Попутно он сформулировал очень важную теорему о делимости - так называемой квадратичный закон взаимности, доказательство которого дал Гаусс. Через увлечение квадратичными формами прошли Лагранж, Лежандр, Чебышев, а в наше век - Вейль, Артин и многие другие блестящие математики. Как всегда идеи Ферма оказались чрезвычайно плодотворны в смысле построения далеко идущих обобщений и формирования новых понятий. Добрая половина терминов современной абстрактной алгебры возникла из попыток доказать утверждения Ферма.
Один из важнейших результатов Ферма получил специальное название
“Малая теорема Ферма”. Это фундаментальный факт теории делимости на простые
числа: для любого простого p и любого a(1, которое не делится на p,
разность ap -1-1 делится на p. Например, пусть a=5,
p=2, 3, 7, 11. Тогда 52-1-1=2(2, 53-1-1=3(8, 57-1-1=7(2232, 511-1-
1=11(8878 . Ферма высказал эту теорему в письме Френиклю де Бесси в 1640 г.
с обычным для него замечанием: “... я бы Вам прислал доказательство, если
бы не опасался быть слишком длинным”.
Первое доказательство “Малой теоремы Ферма” дал Лейбниц. Затем Эйлер,
начиная с 1736 г., публикует сразу три различных доказательства, которые
показывают, что Ферма вполне мог уметь доказывать свою теорему. Потомки
часто искали элементарные доказательства утверждений Ферма, пытаясь понять
насколько лукавил великий тулузец. Проблемы Ферма волновали Эйлера на
протяжении всей жизни. В 1760 г. он получил существенное обобщение его
“Малой теоремы”: пусть ((m) - число натуральных чисел, не превосходящих m
и взаимно простых с m . Тогда для любого m и любого a(1, взаимно простого с
m, разность a((m)-1 делится на m. Эту терему Эйлер скромно опубликовал в
качестве четвертого доказательства “Малой теоремы Ферма”
Наконец, мы переходим к изложению самой знаменитой теоремы в истории
математики. Эта теорема получила известность как “Великая теорема Ферма”
(она же “Большая”, она же “Последняя”). На современном это языке звучит
так: не существует отличных от нуля целых чисел x, y и z, для которых имеет место равенство
[pic] при n>2.
Разумеется, никакого уравнения у Ферма не было. Он вообще не знал знака равенства, а использовал латинское eq. Приводим утверждение Ферма в оригинальном виде:
“Куб, однако, на два куба или квадроквадрат на два квадроквадрата и вообще никакую до бесконечности сверх квадрата степень в две того же названия невозможно разделить”. И не поставив точку, Ферма приписал: ”я открыл поистине удивительное доказательство этого предложения. Но оно не умещается на узких полях.“
Этой фразой Ферма прокомментировал задачу из Диофанта: “Заданный квадрат разложить на два квадрата”. Данное замечание является вторым по счету из сделанных им на полях “Арифметики”. Первое касалось житейских тем.
Неопределенные уравнения (т. е. уравнениями с двумя неизвестными) вида [pic] интересовали древних греков в связи с теоремой Пифагора. Они искали (и находили) тройки целых чисел, образующие стороны прямоугольного треугольника. Это означает, что при n =1, 2 уравнение в рамке имеет бесчисленное множество решений. Догадка Ферма заключалась в том, что при всех прочих n таких троек не существует.
Вряд ли Ферма был первым, кто пришел к подобному выводу. Например,
около тысячи лет назад узбекский математик Хамид ал-Хадженди (что означает
Хамид из Ленинабада) утверждал, что уравнение x3+y3=z3 не имеет решений в
целых числах. Сегодня ясно, что Хамид не имел никаких шансов доказать это
утверждение.
В отношении Ферма достоверно известно, что он доказал “Великую
теорему” при n=4 на полях все той же “Арифметики”. И это единственное
теоретико-числовое доказательство Ферма дошедшее до наших дней. На
протяжении 20 лет Ферма упорно старается привлечь внимание математиков к
“Великой теореме”, предлагая частные случаи в качестве задач. Случай n=3
он формулирует в пяти письмах, причем в последнем письме (от августа 1659
г.) пишет, что доказал теорему для n=3 методом спуска. Между тем “Великую
теорему” для общего случая n>2 Ферма сформулировал только один раз в
упомянутом замечании на полях “Арифметики”. Он не формулирует ее ни разу ни
в одном из писем. Он предлагает только частные случаи (n=3, 4), в отношении
которых уверенно говорит, что располагает доказательством. Даже в письме к
де Каркави от 1659 г., в котором Ферма перечисляет свои основные
достижения, о “Великой теореме” в общем виде нет ни слова. Это может
означать только одно: Ферма обнаружил пробелы в своем “поистине
удивительном доказательстве”, которые так и не смог устранить.
Разумеется, это не охладило потомков. Начиная с конца XVII в.
началась невиданная по своей напряженности гонка за доказательством
“Великой теоремы Ферма”. Обманчивая простота формулировки теоремы обрекла
тысячи поклонников математики на бесплодные поиски доказательства или
опровержения теоремы. Более ста лет никому из ученых не удавалось
продвинуться вперед даже при рассмотрении частных случаев конкретных
значений показателя n.
Первый серьезный результат был получен конечно же Эйлером (1768). Он показал, что случай n=4 уникален. Это единственный частный вариант “Великой теоремы ”, когда доказательство имеет вполне элементарный характер. Уже при n=3 возникают значительные осложнения. Настолько существенные, что появляется повод в очередной раз сомневаться в честности Ферма. Эйлер доказал теорему для случая n=3, рассматривая комплексные числа вида [pic] , где a, b - целые числа. В XVII в. подобная ересь не могла придти в голову даже Ферма.
Строго говоря, доказательство Эйлера было дефектным, поскольку он
необоснованно перенес ряд свойств обычных чисел на числа вида [pic]. В
частности он предполагал единственность разложения таких чисел на простые
множители. Для устранения пробелов в доказательстве Эйлера понадобились
принципиально новые алгебраические абстракции: числовые кольца и поля.
Реализацию этой программы начал Гаусс, которому принадлежит первое
абсолютно строгое доказательство “Великой теоремы Ферма” для n=3.
Доказательство для случая n=5 предложили почти одновременно в
атмосфере острого соперничества два француза: Лежен-Дирихле и Лежандр
(1825). Оба доказательства были очень сложными. В 1839 г. теорема Ферма
была доказана для следующего простого показателя n=7. Это удалось благодаря
титаническим усилиям Ламе. Он же в 1847 г. объявил, что доказал теорему для
всех простых показателей n>3 . Однако бдительный Лиувиль сразу же обнаружил
в рассуждениях Ламе ошибку сходную с той, которую допустил Эйлер. Ламе был
вынужден признать свое поражение.
Пока во Франции происходили эти события, в Германии молодой математик
Куммер упорно занимается теоремой Ферма. Повторив все ошибки Ламе, он
пришел к понятию “идеальных чисел”, для которых разложение на простые
множители единственно. Обобщение этого понятия привело к созданию
головокружительных абстрактных конструкций, которые сегодня изучаются в
специальном разделе алгебре под названием “Теория идеалов”. Куммер,
посвятивший теореме несколько десятков лет, к концу жизни умел доказывать
“Великую теорему Ферма” для всех простых показателей n
Страницы: 1, 2
