большинстве наук одно поколение разрушает то, что построило другое...
Только в математике каждое поколение строит новую историю на старой
структуре" (цит. по [3]).
Если бы развитие науки состояло в простом отбрасывании старых теорий,
как был бы возможен в ней прогресс? Действительно, даже в естествознании,
возникновение теории относительности и квантовой механики не привело к
полному отказу от классической механики Галилея-Ньютона, а только точно
указало границы ее применимости. В математике преемственность между старым
и новым знанием выражена значительно сильнее, к тому же, будучи
абстрактными по своей природе, теории не могут быть опровергнуты
экспериментальной верификацией. Обратимся к примеру, который приводит Кроу
- открытию неевклидовых геометрий. По его мнению, это не была революция в
геометрии, поскольку Евклид не был отвергнут, а царствует вместе с другими,
неевклидовыми геометриями.
Некоторые ученые считают, что революции возможны только в прикладной
математике - в области приложения математических методов в естествознании,
технике, экономике и т.п. Теории "чистой" математики могут оказаться
неэффективными для решения прикладных проблем и поэтому могут быть забыты
или целиком отброшены. Но, с другой стороны, коренные изменения теорий и
методов приложения математики являются в конечном счете результатом
изменений, происшедших в теоретической математике. Между теоретической и
прикладной математикой существует тесная взаимосвязь и взаимодействие.
Поэтому, если мы допускаем революцию в прикладной математике, мы должны
признать ее существование и в "чисто" теоретической математике.
Сторонники еще одной точки зрения на революции в математике связывают
их с процессами, происходящими вне рамок самой математики или по крайней
мере относящимися к форме выражения мысли (символика и исчисления), технике
математических вычислений и преобразований (формулы и алгоритмы) или же к
методологии и философии математики. Именно такого рода революции в
математике частично признает Кроу. Изменения в символизме или философском
обосновании математики, безусловно, чаще бросаются в глаза, чем изменения в
самой математике, но происходят они в "надстройке" математики и вторичны по
своей сути. Наиболее заметно это в методологии и философии математики,
когда открытие принципиально новых понятий, теорий и методов приводит к
пересмотру учеными своих методологических и философских взглядов. Яркий
пример тому возникновение канторовской теории множеств и появление
парадоксов, которые привели к новому стилю мышления в математике, принципах
обоснования ее теорий, к новым определениям ее исходных понятий.
Многие взгляды, таким образом, основываются на предположении, что
никакие качественные изменения в процессе развития математики не
происходят. Вся эволюция в математике будет сводиться к простому накоплению
и росту знания: ничего в ней не переоценивается, а сохраняется в нетронутом
виде. На первый взгляд создается впечатление, что в математике прогресс
осуществляется чисто кумулятивным способом. Против таких кумулятивистских
представлений о развитии научного знания и выступает Томас Кун. На самом
деле количественные, постепенные изменения (по Куну, период "нормальной"
науки) в математике, так же как и в других науках, в конце концов
сопровождаются изменениями коренными, качественными - научной революцией.
2.2 Математика и научные революции
Одним из первых философов, поднявших вопрос о научных революциях, был
И.Кант. Он писал: "... пример математики и естествознания, которые
благодаря быстро совершившейся в них революции стали тем, что они есть в
наше время, достаточно замечателен, чтобы поразмыслить над сущностью той
перемены в способе мышления, которая оказалась для них столь
благоприятной". Кант не сомневался в том, что в математике, как и в
естествознании, произошли революции. В чем суть революции в математике?
Наиболее значительные революции в истории математики обычно связаны с
обобщением ее понятий, теорий и методов, с расширением области их
применения и возрастанием абстрактности, глубины, благодаря чему математика
точнее и полнее отражает действительность. Но это в свою очередь требует
коренного, качественного изменения концептуальной структуры математики.
Несомненно, что первая революция в математике связана с переходом от
полуэмпирической математики Древнего Вавилона и Египта к теоретической
математике древних греков. Кант связывал научную революцию с введением в
математику доказательства (доказательство теоремы о равнобедренном
треугольнике Фалесом). До Фалеса математика представляла собой свод правил
для вычисления площадей фигур, объема пирамиды и т.д. Такой характер носила
математика и в Египте, и в Вавилоне. Фалес же поставил вопрос о
доказательстве математических утверждений, а тем самым о построении единой,
логически связанной системы. Системный подход при помощи доказательств от
одного положения к другому явился новой, характерной чертой греческой
математики. Математика сформировалась как наука, кроме того, в математику
был внесен из философии дедуктивный метод рассуждений.
Вторую по счету крупную революцию в математике следует отнести к XVII
веку и связать с переходом от постоянных к изучению переменных величин. На
смену сформулированному еще Аристотелем утверждению о том, что математика
изучает только неподвижные предметы, пришла идея Декарта о приложимости
математики к исследованию любых процессов и объектов, в которых можно
выделить меру и отношение (цит. по [4], с. 118.). Характеризуя эту
революцию, Ф.Энгельс писал: "Поворотным пунктом в математике была Декартова
переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и
диалектика, и благодаря этому же стало необходимым дифференциальное и
интегральное исчисление ...". Именно в этот период возникли новые понятия
переменной, производной, дифференциала и интеграла, которые отсутствовали в
прежней математике. Основанные на этих понятиях дифференциальное и
интегральное исчисление Ньютона и Лейбница дали возможность изучать
процессы и движение. И, наконец, новые методы стали успешно внедряться в
другие разделы математики, что привело к возникновению в дальнейшем
дифференциальной геометрии, вариационного исчисления и т.п.
Третья революция в математике относится уже к XX веку, хотя ее начало
и предпосылки возникновения связывают с прошлым веком. Начать с того, что
именно тогда получили признание неевклидовы геометрии Лобачевского, Римана
и Бойяи, в связи с чем широкое распространение получили новые взгляды на
аксиомы геометрии и геометрическое пространство вообще. В то же время была
создана теория множеств Кантора, ставшая фундаментом всей математики.
Обнаружение парадоксов теории множеств и логики вылилось в кризис
обоснований математики в начале XX века и возникновение новых теорий и
концепций. Если раньше математику считали наукой о количественных
соотношениях между величинами, то в нашем веке возник более широкий
структурный взгляд (концепция абстрактных структур Н.Бурбаки), согласно
которому математика рассматривается как наука, изучающая абстрактные
свойства и отношения любого рода.
Следствием революции, происшедшей в XIX веке в геометрии (создание
неевклидовых геометрий), было также новое понимание принципов построения
математики на основе аксиоматического метода. Если до работ Лобачевского и
др. только геометрия строилась аксиоматически, через постулаты, то после
создания неевклидовых геометрий стало ясно, что подобным образом надо
действовать во всех разделах математики.
По-видимому, революции в математике затрагивают в первую очередь сферу
философии математики, связанную с ее концептуальной структурой и проблемами
философского обоснования. А это уже ведет к решительным преобразованиям в
самой математике. Для того, чтобы подвести итог нашим рассуждениям,
охарактеризуем те качественные изменения, с которыми связаны революции в
математике, следующими неотъемлемыми чертами:
|1|Образование новых понятий или изменение, углубление смысла (значения)|
|.|старых понятий. |
|2|Возникновение новых теорий и методов математики, которые радикально |
|.|изменяют прежние представления. |
|3|Концептуальное обобщение идей и теорий математики, расширение их |
|.|применения как внутри самой математики, так и в ее приложениях. |
|4|Изменение оснований математики и ее философии, завершающее революцию,|
|.|происшедшую в математике. |
Как говорил в свое время академик Л.Ландау, науки делятся на
естественные (физика, химия), неестественные (гуманитарные) и
сверхъестественные (математика). В этой шутке есть доля истины: математику
нельзя отнести к естествознанию, но она не является и гуманитарной
дисциплиной. Математика - это "сверхъестественная" наука, развивающаяся по
своим особым законам, и поэтому для обсуждения особенностей научных
революций в математике нам понадобился этот последний параграф.
Глава 3.
Гелиоцентрическая система мира.
Свою систему мира великий польский астроном Николай Коперник (1473-
1543)
изложил в книге “О вращениях небесных сфер”, вышедшей в год его смерти. В
этой книге он доказал, что Вселенная устроена совсем не так , как много
веков утверждала религия.
Во все странах почти полтора тысячелетия владело умами людей ложное
учение Птолемея, который утверждал, что Земля неподвижно покоится в центре
Вселенной. Последователи Птолемея в угоду церкви придумывали все новые
“разъяснения” и “доказательства” движения планет вокруг Земли, чтобы
сохранить “истинность” и “святость” его ложного учения. Но от этого система
Птолемея становилась все более надуманной и искусственной.
Задолго до Птолемея греческий ученый Аристарх утверждал, что Земля
движется вокруг Солнца. Позже, в средние века, передовые ученые разделяли
точку зрения Аристарха о строении мира и отвергали ложное учение Птолемея.
Незадолго до Коперника великие итальянские ученые Николай Кузанский и
Леонардо да Винчи утверждали, что Земля движется, что она совсем не
находится в центре Вселенной и не занимает в ней исключительного положения.
Почему же, несмотря на это, система Птолемея продолжала
