операции. Эти же два множества можно
подвергнуть иной операции, получив класс
спортсменов, ни один из которых не
является студентом (рис. 10). Понятия,
предшествующие операции, будем называть
исходными, вновь полученное понятие
назовем результатом соответствующей
операции. В нашем примере исходными
понятиями будут понятия «студент» и
«спортсмен», результат же операции в
первом случае, вероятно, лучше всего
выразить словосочетанием «студент (
спортсмен», во втором ( конструкцией
«спортсмен, не являющийся студентом».
Поразмыслив, можно прийти к выводу, что
существуют и другие способы
преобразования тех же исходных понятий,
приводящие к различным результатам.
В различных эпизодах интеллектуально(речевой практики (в различных
текстах) встречаются понятия, словесная форма выражения которых позволяет
рассматривать их как сложные, возникшие в результате преобразования других
понятий. В таких случаях может возникнуть вопрос об исходных (иногда
очевидных, иногда лишь предполагаемых) понятиях и характере произведенной с
ними операции. Раскрывая логические механизмы образования таких понятий, мы
получаем возможность составить достаточно ясное представление об их
содержании и объеме или, если необходимо, уточнить это представление.
Рассмотренное выше понятие, выраженное словосочетанием «студент (
спортсмен», недвусмысленно фиксирует область пересечения исходных классов.
Таковы же, например, понятия «солдат ( герой России» или «журналист (
международник». Первое выражает область пересечения класса солдат и
множества героев России, второе ( область пересечения понятий «журналист» и
«специалист по международным вопросам». Однако идеальная по ясности картина
встречается далеко не всегда. Не столь просто охарактеризовать со стороны
содержания и объема такие понятия, как, скажем, «научно-практическая
конференция», «научно-техническая информация», «логико-психологический
анализ», хотя они вроде бы построены по той же словообразовательной модели.
Соединение некоторых исходных понятий в более сложную конструкцию не всегда
осуществляется с должной степенью определённости, а иногда ведет к
образованию достаточно серьёзных ошибок. Изучение логических операций с
понятиями позволяет обнаружить внутренние, иногда скрытые механизмы
подобных ошибок, способствует выработке действенных навыков контроля над
смысловыми свойствами текста. Объектами логических операций могут быть
одно, два или неопределённо большое число понятий. Примерами логических
операций с одним понятием служат рассмотренные ранее операции обобщения и
ограничения. Нужно отметить, однако, что есть ситуации, допускающие
различные варианты анализа. В понятии «симфония Д. Д. Шостаковича»
одинаково правомерно усматривать результат любой из следующих операций: 1)
ограничение понятия «симфония», 2) ограничение понятия «музыкальное
произведение Д. Д. Шостаковича», 3) объединение указанных в пунктах 1 и 2
понятий способом, который позволяет зафиксировать в новом понятии область
их пересечения.
Отрицание понятия.
Из операций с одним исходным понятием по степени значимости наибольшего
внимания заслуживает операция, именуемая отрицанием. В результате отрицания
произвольного понятия P образуется новое понятие не-P. Объем этого нового
понятия включает в себя лишь те объекты х, о каждом из которых можно
высказать истинное суждение х есть не-Р. Скажем, в результате отрицания
понятия «журналист» получаем множество «не-журналистов», путем отрицания
понятия «учебник» переходим к понятию «не-учебник» и т. п. Чтобы отличить
собственно логическое отрицание от некоторых грамматических форм, частица
«не» отделяется от исходного понятия дефисом. Этим подчеркивается, что в
результате логического отрицания образуется понятие, связанное с исходным
отношением контрадикторности, а не контрарности.
Смысл отрицания произвольного понятия Р хорошо передается графической
схемой (рис.11), где прямоугольником
обозначен универсальный класс, а
результат операции показан штриховкой.
Эта же схема делает наглядной
закономерную зависимость, выражаемую
формулой не не-P=P. Формула показывает
объемное равенство некоторого понятия с
результатом его двойного отрицания (так
называемый закон двойного отрицания для
классов). И действительно, исходному
пункту;
поэтому двойное отрицание иногда называется мнимым (дважды отрицая данное
понятие, мы, по существу, его не отрицаем).
Сложение и умножение понятий.
Из операций с двумя исходными понятиями (или большим их числом) следует
выделить логическое сложение и логическое умножение. Результат сложения
понятий Р и Q будем называть их логической суммой и обозначать P+Q, а
результат умножения тех же понятий назовем их логическим произведением и
обозначим Р•Q.В объём понятия Р+Q входят те объекты, каждый из которых
принадлежит хотя бы одному из исходных классов. Иными словами, х
принадлежит классу Р+Q, если истинно суждение х есть Р или Q (где союз
«или» употребляется в неисключающем его значении). В объём понятия P•Q
входят те объекты, каждый из которых принадлежит обоим исходным классам.
Иначе говоря, х принадлежит классу Р•Q если истинно суждение х есть P и Q,
где союз «и» фиксирует одновременное вхождение х в данные классы.
Различие между этими операциями иллюстрируют графические схемы. На
рисунках 12 ( 15 показана логическая сумма, а на рисунках 16 ( 19 (
логическое произведение понятий Р и Q с учетом четырех известных нам видов
отношений. Лишь для равнообъемных понятий итоги сложения и умножения
совпадают, в трех других случаях классы Р+Q и Р•Q принципиально различны.
Это и понятно, поскольку операция сложения, в сущности, объединяет исходные
множества, тогда как операция умножения образует класс, соответствующий
области их пересечения. Уместно подчеркнуть, что результат умножения
родового и видового понятий объёмно равен видовому, а результат сложения
тех же понятий ( родовому (см. рис.17 и 13). Если исходные понятия
внеположенные, то их сложение образует класс, полностью включающий оба
множества (см. рис.15); логическое произведение тех же понятий ведет к
образованию нулевого класса (см. рис.19).
С теоретической точки зрения сопоставление классов P+Q и Р•Q
представляет интерес для изучения двух существенно разнящихся способов
соединения некоторых произвольных множеств в новое (сложное) множество.
Практический аспект проблемы имеет непосредственное отношение к выбору
союзов и других средств организации текста, при помощи которых несколько
исходных смысловых единиц объединяются друг с другом, образуя новое
понятие. Пользуясь символическим языком, то есть, применяя логические
постоянные « + » и « • », мы легко улавливаем и точно фиксируем различие
между сложением и умножением понятий. В естественном речевом общении (в
неформализованных текстах) объединение понятий не всегда дает достаточно
ясную картину. Объясняется это следующими обстоятельствами. Во-первых,
рассмотренные операции не исчерпывают всех возможных способов связи
исходных понятий. Во-вторых, и это
главное, любые операции, включая сложение и умножение, могут выражаться
различными средствами естественной речевой коммуникации. В логике
договариваются читать выражение P+Q как Р или Q, а выражение Р•Q( как Р и
Q, рассматривая союзы «или», «и» в качестве наиболее удачных словесных
эквивалентов соответствующих операций. Однако в действительности нередко
используются и другие средства выражения этих операций, в чем мы имели
возможность убедиться на примере словосочетаний типа «студент-спортсмен»,
«журналист-международник» и т. п., где логическое умножение представлено
дефисом. Что касается союзов «или» и «и», то нужно отметить их
многозначность, способную в известных ситуациях создавать достаточно
неопределенное представление о характере связи между некоторыми исходными
понятиями. Удачна ли, например, следующая формулировка одного из правил
пользования городским транспортом: «Безбилетный проезд и бесплатный провоз
багажа наказываются штрафом»? Представим себе два подмножества, которые
могут быть выделены во множестве пассажиров-нарушителей. В одно из них
войдут пассажиры, не взявшие билета, в другое ( не оплатившие провоз
багажа. Если союз «и» рассматривать, как показатель логического умножения,
то придется признать, что штраф должен быть наложен только на тех
пассажиров, которые совершили сразу два проступка (но не какой-то один из
них). Разумеется, житейский смысл ситуации, предусмотренной данным
правилом, настолько ясен, что всякие разночтения этой формулировки,
вероятно, были бы признаны казуистикой, но все же использование союза «или»
здесь следует признать предпочтительным. Аналогичный характер носит
следующая фраза: «Атеросклероз чаще всего поражает жителей больших городов
и людей умственного труда». Исходные понятия «житель большого города» и
«человек умственного труда» находятся в отношении перекрещивания.
Вследствие недостаточной определенности их объединения в сложное понятие
(оно выделено курсивом) возможны два варианта прочтения (истолкования,
понимания) фразы: 1) атеросклероз чаще всего поражает жителей больших
городов, занимающихся умственным трудом (логическое умножение: см. рис.18);
2) атеросклероз чаще всего поражает вообще жителей больших городов или
