[pic].
Инвестор преследует противоречивую цель, стремясь одновременно
достичь и наибольшей доходности, и наименьшего риска. Поскольку функция
полезности инвестора к риску не всегда поддается адекватному числовому
измерению, Марковиц не ставил задачу максимизации целевой функции,
отражающей эффективность портфеля. Вместо этого он решал задачу
минимизации риска портфеля при обеспечении заданного уровня его
доходности (тем самым предполагая, что уровень "притязаний" инвестора
косвенно отражает его соответствующую готовность рисковать). При этом
важным предварительным результатом Марковица было доказательство
выпуклости эффективного фронта, что обеспечивает единственность решения
оптимизационной задачи.
Математически задача Марковица формулируется так: найти вектор
распределения капитала по n ценным бумагам [pic][pic] , который
минимизирует квадратичную форму (2.2) при выполнении ограничений:
[pic] (2.3)
[pic] (2.4)
Эта задача при наличии только ограничений-равенств относится к
классу классических задач квадратичной оптимизации - одному из
наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых к
настоящему времени разработано большое число достаточно эффективных
алгоритмов. В частности, может быть применен классический метод
неопределенных множителей Лагранжа, который гарантированно приводит к
нахождению глобального минимума ввиду выпуклости квадратичной формы
(2.2). При этом, однако, допускаются отрицательные значения [pic], что
на практике означает допустимость для всех инвесторов продаж ценных
бумаг на срок без покрытия (short sales). Такое предположение не всегда
допустимо.
Однако наложение дополнительных ограничений-неравенств, например:
[pic] (2.5)
существенно усложняет нахождение решения и, кроме того, не позволяет
строить эффективный фронт ввиду большого объема расчетов. Предложенное
Марковицем решение основано на введенном им понятии угловых портфелей.
Для описания эффективного фронта используется вспомогательная
прямая, идея которой состоит в том, что она является касательной к
эффективному фронту, тогда, изменяя наклон этой касательной от
минимального до максимального значения, можно получить описание всего
эффективного фронта как совокупность точек касания. Итак, на плоскости
[pic] строится семейство прямых (рис. 2.3), описываемых следующим
уравнением при различных а:
[pic], (2.6)
где [pic] - некоторое число.
Нетрудно выяснить смысл числа [pic]. Выразив из последнего
выражения [pic], получим : [pic]
Таким образом, величина [pic] есть тангенс угла наклона семейства
прямых к оси [pic] и, следовательно, отражает предпочтение "риск-
доходность" инвестора, выбравшего на эффективном фронте точку,
касательную с данной прямой, в качестве оптимального портфеля.
При увеличении а прямая (2.6) приближается к эффективному фронту и
при каком-то значении - минимальном! - касается его. Подставив в (2.6)
вместо [pic] и [pic] соответственно (2.1) и (2.2) после решения задачи
[pic] (2.7)
можно получить вектор решений как функций от [pic] : [pic]. При
изменении [pic] от 0 до [pic] вектора решений опишут все точки касания,
т.е. весь эффективный фронт.
Как видно из (2.7), точка [pic] определяет эффективный портфель с
минимальным риском, а [pic]- портфель с максимально возможной
доходностью и риском
Марковиц доказал, что функции [pic] являются непрерывными кусочно-
линейными, т.е. при изменении [pic] от 0 до [pic]их производные по
[pic] могут терпеть разрыв. Те значения [pic], в которых это происходит
хотя бы для одной из [pic], были названы угловыми (см. Рис.2.4), а
соответствующие им портфели - угловыми портфелями. Марковиц установил
замечательное свойство угловых портфелей: участок эффективного фронта
между смежными угловыми портфелями описывается линейной комбинацией
этих портфелей. Иначе, если [pic] и [pic] - смежные угловые точки, то
для любого [pic]| [pic]< [pic]< [pic] векторы, вычисляемые как
[pic] (2.8)
определяют участок эффективного фронта. При отсутствии ограничений-
неравенств функции [pic] - линейные, точка [pic] является угловой по
определению.
Метод нахождения угловых портфелей, названный Марковицем методом
критических линий, с последующим нахождением как оптимального портфеля,
так и эффективного фронта широко используется и в настоящее время.
[pic]
Из рассмотрения задачи Марковица видно ее преимущественно
микроэкономическое содержание, поскольку возможные последствия решений
инвестора для состояния рынка не рассматриваются, а внимание
акцентировано на поведении отдельного инвестора, формирующего
оптимальный портфель из рисковых активов на основе собственных оценок
их доходности и риска.
[pic]
2.3. Развитие результатов Г. Марковица в трудах Д. Тобина
Влияние теории Марковица значительно усилилось после появления в
конце 50-х годов работ Тобина по аналогичной тематике, но имеющих
другой подход. В работах Тобина основной темой становится анализ
факторов, побуждающих инвесторов формировать портфели активов вместо
держания капитала в какой-то одной форме (например, налично-денежной).
Поэтому Тобин включил в анализ безрисковые активы и главной задачей и в
теории, и на практике считал оптимальное распределение капитала между
безрисковыми и рисковыми вложениями.
Если инвестор распределил капитал между безрисковыми и рисковыми
активами в пропорциях: [pic] - в безрисковые, [pic] - в рисковые, то
ожидаемая доходность его капитала (портфеля) определяется:
[pic], (2.9)
где [pic] - доходность безрисковой, а [pic] - ожидаемая доходность
рисковой части портфеля.
Риск такого портфеля определяется только его рисковой частью:
[pic] , (2.10)
где [pic] - дисперсия доходности рисковой части портфеля.
Используя (2.9) и (2.10) , после исключения [pic] получаем:
[pic]. (2.11)
(2.11) показывает линейную зависимость доходности портфеля сверх
гарантированного значения и риска портфеля.
Поведение инвестора, формирующего оптимальный портфель из рисковой
и безрисковой частей, удобно представить графически на плоскости [pic]
- рис.2.5.
Если инвестору даны только один рисковый и один безрисковый актив,
то все варианты распределения капитала в соответствии с (2.11)
отображаются отрезком прямой линии (рис.2.5). Точка [pic] соответствует
вложению всего капитала в безрисковый актив при [pic], точка [pic] -
вложению только в рисковый актив при [pic]. Все промежуточные варианты
соответствуют внутренним точкам отрезка, а возможность заимствования
средств ( по безрисковой ставке) с их вложением в рисковый актив
соответствует продолжению прямой вправо при [pic].
[pic]
Характер зависимости не изменится , если считать, что рисковым
активом является какой-то портфель рисковых ценных бумаг. На рис.2.6
представлен эффективный фронт некоторой совокупности рисковых ценных
бумаг, из точек которого инвестор выбирает оптимальный портфель в
соответствии со своей склонностью к риску и без учета возможности
безрискового инвестирования. Рассмотрим две точки А и С на этом
эффективном фронте по Марковицу, но с учетом возможности безрискового
вложения. Пусть оптимальному портфелю инвестора, составленному только
из рисковых активов, соответствовала точка А. Перераспределение
средств в пользу безрискового актива, но с сохранением структуры
рисковой части вызовет, как и ранее, перемещение местоположения
портфеля влево по отрезку АR. Но очевидно, что ни сама точка А, ни
отрезок АR не представляют более эффективные портфели, поскольку можно
составить портфель с тем же уровнем риска, но более доходный,
используя комбинацию безрискового актива и рисковой части, имеющей
структуру портфеля С (на рис. 2.6 портфель A' предпочтительнее А,
поскольку [pic] при одинаковом [pic]).
[pic]
Сказанное относится ко всем портфелям, представленным на
эффективном фронте по Марковицу ниже и левее точки С, и таким образом,
эта часть эффективного фронта заменяется отрезком RC. А при возможности
заимствования инвестор по тем же причинам предпочтет продолжение
отрезка RC вправо от точки С. В результате эффективный фронт будет
представлен прямой, включающей единственную точку С из эффективного
фронта Марковица.
Точка С представляет так называемый касательный портфель и имеет
очень важное значение в построениях Тобина. Во-первых, это точка
касания эффективного фронта Марковица с прямой, проведенной из точки
безрисковой доходности R. Во-вторых, эта касательная имеет самый
большой угол наклона к оси абсцисс среди всех прямых, проведенных из
точки R к эффективному фронту Марковица. Последнее на содержательном
уровне интерпретируется так: инвесторы, более "осторожные" чем
выбравшие точку С в качестве оптимальной по Марковицу, будут
формировать свой оптимальный портфель из безрискового актива и рисковой
части, причем структура рисковой составляющей будет аналогична
структуре касательного портфеля. Это положение существенно отличается
от вывода Марковица, поскольку инвесторы с разной склонностью к риску
(в указанных пределах) формируют рисковую часть портфеля одинаково по
структуре. Но тогда инвестор при составлении оптимального портфеля
будет действовать в два этапа:
1. Нахождение структуры касательного портфеля .
2. Распределение капитала между касательным портфелем и безрисковым
активом в соответствии с индивидуальной склонностью к риску.
Возможность раздельного решения задач оптимизации рисковой части
портфеля и портфеля в целом известно как теорема о разделении .
К тем же выводам приводит и формальное математическое решение
задачи Тобина, приведенное, например в [3, стр.109-113] (рассмотрены
случаи привлечения займов и без них). Кроме классических формальных
методов решения задачи Тобина существуют "специализированные",
основанные на использовании теоремы о разделении, т.е. на
первоначальном нахождении касательного портфеля. Например, можно
использовать уже упоминавшийся метод критических линий или описанный в
[4, стр.253-256 ] метод EGP, названный по именам создателей Элтона,
Грубера и Падберга (метод использует свойство касательного портфеля
