могут перераспределяться в пространстве.
Если величина ?? мала, то за период звука статическое экранирование
успевает установиться почти полностью, и картина пространственного
распределения электронов мало отличается от той, которая была бы в
статическом случае. При этом, как мы видели, потенциал ? отличается от ?0
множителем (qR)2 [1 + (qR)2 ]-1. Такой же множитель должен появиться и в
слагаемом, описывающем вклад в скорость звука за счет пьезоэлектрического
эффекта:
? = ?0 [1 + ? (qR)2 /2 (1 + (qR)2 )]
В обратном предельном случае, когда ?? »1, экранирование не успевает
установиться, и скорость звука в полупроводнике равна ?d.
2. ПОГЛОЩЕНИЕ И УСИЛЕНИЕ ЗВУКА
При распространении бегущей звуковой волны пространственное
распределение электронов стремится следовать за пространственным
распределением пьезоэлектрического потенциала. Соответственно переменные
пьезоэлектрические поля порождают переменные электронные токи, которые и
«подстраивают» распределение электронов к распределению потенциала. При
протекании этих токов в проводнике должно выделяться джоулево тепло. В
результате при распространении звука механическая энергия звуковой волны
переходит в энергию беспорядочного теплового движения, т. е. происходит
поглощение звука. Интенсивность поглощаемого звука изменяется по закону:
S (х) =S (0) ехр( - Гх),
где S(0) — интенсивность «на входе» кристалла. Величина Г называется
коэффициентом поглощения звука.
Для отношения коэффициента поглощения звука Г к величине его
волнового вектора q можно получить следующее выражение:
Г / q = ???/((1 + q2R2)2 + (??) 2) (5)
Частотной зависимости этого выражения можно дать следующее наглядное
объяснение.
Переменный ток, создаваемый пьезоэлектрическим почтем, вызывает
перераспределение свободных зарядов. Перераспределенные заряды, в свою
очередь, создают добавочное электрическое поле. Оно, как уже говорилось,
направлено противоположно первоначальному электрическому, полю и,
следовательно, приводит к уменьшению тока проводимости; ? и есть то время,
за которое происходит перераспределение свободных зарядов. При статической
деформации заряды перераспределяются и их поле компенсирует (экранирует)
пьезоэлектрическое поле. таким образом, что ток становится равным нулю.
Если деформация измеряется с частотой ?, которая гораздо меньше 1/ ?,
устанавливается почти полная компенсация. Точнее, поле объемных зарядов в
случае переменной деформации, создаваемой звуком, отличается от
статического поля на малую величину, пропорциональную ??. Поэтому в
пьезоэлектрике протекает переменный ток, пропорциональный той же малой
величине ??. Соответственно коэффициент Г, определяемый квадратом плотности
тока, оказывается пропорциональным ?2.
В обратном предельном случае больших ?? поле объемных зарядов за период
звука вообще не успевает возникнуть. Поэтому при ?? »1 коэффициент
пропорциональности между плотностью тока и электрическим полем оказывается
вообще независящим от частоты. Не зависит от частоты и коэффициент Г. Член
(??) 2 в знаменателе (5) и обеспечивает предельный переход от одного случая
к другому. . Наконец, при qR » 1 коэффициент поглощения быстро убывает
при увеличении частоты. Это связано с тем (уже отмечавшимся выше)
обстоятельством, что звуковая волна, длина которой гораздо меньше радиуса
экранирования, почти не вызывает перераспределения заряда даже в
статическом случае.
Коэффициент поглощения достигает максимального значения при частоте ?m =
?0/R, т. е. когда длина волны равна 2?R; максимальное значение Гmo
коэффициента поглощения равно ?/4R.
Характер частотной зависимости коэффициента поглощения определяется
величиной ?m?. Если ?m? « 1, то максимум получается сравнительно острым.
В противоположном предельною случае коэффициент поглощения растет
пропорционально ?2 вплоть до частот порядка 1/?, после чего его рост
становится очень медленным. Максимум в этом случае оказывается более
пологим. При ? » ?m коэффициент поглощения во всех случаях убывает
пропорционально ?2. Семейство Г(?) при разных значениях ?m? приведено на
рис. 3.
Интересно проследить характер зависимости коэффициента поглощения Г от
электронной концентрации n0. Обычно проводимость ? пропорциональна n0: ? =
е n0?, где ? - так называемая подвижность электронов. Таким образом,
максвелловское время релаксации ? обратно пропорционально n0. Радиус
экранирования R, как мы видели, обратно пропорционален ? n0 (см. (4)).
Поэтому при малых концентрациях электронов коэффициент Г прямо
пропорционален n0, а при больших - обратно пропорционален n0. Существует,
таким образом, при любой частоте (о некоторая промежуточная концентрация
nw, при которой коэффициент Г максимален.
Оценим коэффициент поглощения Г для какого-нибудь типичного случая.
Рассмотрим, например, поперечный звук в CdS, скорость которого ?0 = 1,8 х
105 см/с. Пусть n0 = 5 х 1012 см-3, ? = 3 х 108 с-1, ? = 300 см2/Вс, ? =
0,036, ? = 9,4, Т=300 К. Тогда ? = 3,5 х 10-9 с, R= 1,6 х 10-4 см, q= 1,7 х
103 см-1, и мы получаем, что коэффициент Г составляет около 30 см-1. Это
означает, что на расстоянии в 1/30 ~ 0,03 см интенсивность звука затухает в
с раз, т. е. теория предсказывает сильное затухание уже при таких малых
концентрации и частоте.
А теперь мы переходим, пожалуй, к самому интересному вопросу — анализу
влияния электрического поля на поглощение звука. Представим себе, что к
пьезоэлектрическому полупроводнику, в котором распространяется звуковая
волна, приложено постоянное электрическое поле Е.
Под влиянием постоянного поля Е возмущения электронной концентрации,
созданные звуковой волной, движутся со скоростью дрейфа электронов:
V = ?E
Чтобы в этом случае найти изменение электронной концентрации под влиянием
переменного поля звуковой волны, удобно перейти к движущейся системе
координат, скорость которой по отношению к кристаллической решетке равна V.
В этой системе можно пользоваться выражениями для распределения электронной
концентрации, полученными в отсутствие постоянного электрического поля.
Нужно только учесть, что в силу эффекта Доплера частота звука в движущейся
системе координат изменяется и оказывается равной ? — qV, где q — волновой
вектор звука. В итоге в выражении (5) для отношения Г/q следует произвести
замену ? > ? - qV. Это дает:
Г/q = ??(? – qV)?/?0((1 + q2R2) + (? – qV2)?2)
В простейшем случае, когда направление распространения звука параллельно
дрейфовой скорости, коэффициент поглощения обращается в нуль при V = ?, т.
е. когда дрейфовая скорость электронов становится равна скорости звука. При
V > ? коэффициент поглощения меняет знак. При Г<0 плотность потока звуковой
энергии изменяется по закону:
S(x)=S(0)exp (-Гх) = S(0) ехр (|Г|х).
т. е. поглощение звука сменяется его усилением.
Зависимость коэффициента поглощения от постоянного электрического поля
(точнее, от дрейфовой скорости электронов) приведена на рис. 4. Видно, что
кривая зависимости Г(V) антисимметрична относительно линии V = ?. Отметим
еще одно важное обстоятельство: если при распространении в прямом
направлении (направлении дрейфа) звук усиливается, то при распространении в
обратном направлении он обязательно затухает. Однако коэффициент поглощения
при этом может быть меньше коэффициента усиления при прямом прохождении.
При неизменной дрейфовой скорости V коэффициент усиления как функция
частоты достигает максимума при ? = ?m как и в случае поглощения звука.
Абсолютный максимум коэффициента усиления по отношению к изменению и
частоты и дрейфовой скорости при заданной концентрации равен опять-таки Гmo
— максимальному значению коэффициента поглощения.
В чем физическая основа усиления звука? Для того чтобы ответить на этот
вопрос, посмотрим на поглощение звука с несколько иной точки зрения. Можно
сказать, что поглощение звука определяется фазовым сдвигом между
деформацией решетки ди/дх и пьезоэлектрическим полем Е. В пьезодиэлектрике
фазовый сдвиг отсутствует, и пьезоэлектрический эффект не приводит к
поглощению звука - он лишь изменяет эффективную жесткость решетки (скорость
звука). В пьезополупроводнике пьезоэлектрическое поле отстает по фазе от
деформации решетки. Соответствующий сдвиг фаз пропорционален ют; этой же
величине пропорционален коэффициент поглощения. При включении
электрического поля возмущения концентрации электронов, созданные звуковой
волной, дрейфуют со скоростью V. Это приводит к уменьшению сдвига фаз и,
следовательно, к уменьшению поглощения. В более сильных электрических полях
пьезоэлектрическое поле опережает по фазе деформацию решетки. При этом
происходит передача энергии электрического поля звуковой волне — ее
интенсивность нарастает. Именно эти процессы математически описываются
формулой (6).
До сих пор мы в наших рассуждениях не учитывали поглощения звука
кристаллической решеткой. Чтобы его учесть, нужно к выражению для
коэффициента электронного поглощения звука добавить коэффициент решеточного
поглощения. В результате значение коэффициента поглощения оказывается
больше, а коэффициента усиления — меньше, .чем в отсутствие решеточных
эффектов. Полный коэффициент усиления обращается в нуль не при каком-нибудь
одном, а при двух значениях дрейфовой скорости — Vl и Vll на рис. 4.
Оценим коэффициент усиления в каком-нибудь типичном случае. Обратимся с
этой целью к примеру, рассмотренному на стр. 16. При (V?)/?)== 0,l мы
получаем, что Г~5 см-1. Если увеличить дрейфовую скорость и рассмотреть
случай {V?)/? = 1, то Г~30 см-1. Это значит, что интенсивность звука
возрастает в е раз на расстоянии в 1/30~0,03 см. При дальнейшем возрастании
дрейфовой скорости коэффициент усиления начинает убывать.
Приведем в качестве примера экспериментальные зависимости коэффициента
поглощения (усиления) от электрическою поля, наблюдавшиеся в кристалле CdS
(рис. 5). Как уже говорилось, CdS—фотопроводник. Начало отсчета затухания
на рис. 5 соответствует затуханию в неосвещенном образце. При изменении
уровня освещенности изменяется проводимость кристалла, а следовательно, и
т. Так получены кривые В и С, соответствующие частоте 45 МГц и значениям
(от 4,2 и 4,8 соответственно. Кривая А получена на частоте 15 МГц;
