Лекции по механике
Лекция 1
Кинематика.
Введение.
Наукой обычно называют попытки систематизировать сумму знаний об ок-
ружающем нас материальном мире, о самом человеке и о результатах его
деятель-ности. Сам термин «наука» в настоящее время употребляют во
множественном числе, подчеркивая многогранность этого понятия. В этом
смысле науки раз-деляют на гуманитарные и естественные. Общим для всех наук
является обяза-тельное использование формальной логики как универсального
метода научного мышления.
Физика как отдельная наука изучает наиболее общие законы формирования
и развития окружающей нас материи в ее наиболее примитивных формах, которые
принято называть неживой природой. Поэтому можно утверждать, что физика
является фундаментом всех естественных наук, в частности географии.
В ХIX и ХХ веках физика пережила бурный расцвет, физические знания и
физический метод исследования получили большую известность и нашли при-
менения в различных аспектах человеческой деятельности.
Сущность этого метода состоит в том, что в основу критической оценки
всех разработанных физических теорий положен эксперимент.
На ранних стадиях развития науки физики свои заключения строили на
основе реальных наблюдений различных природных явлений, например, таких как
гроза (Б. Франклин и Г.В. Рихман). Позднее человек научился искусственно
воспроизводить эти явления в лабораторных условиях – «ставить научные
эксперименты». Ясно, что ни одна лаборатория не в силах обеспечить полное
воспроизведение всех природных условий наблюдений какого-либо явления.
Поэтому для правильной постановки того или иного физического эксперимента
необходимо провести правильный анализ изучаемого явления, выделить его
наиболее существенные связи с остальным миром. Таким образом изучение
явления или объекта всегда проводится в некотором приближении, когда
исследователь сознательно или неосознанно отбрасывает некоторые детали
воспроизводимого явления. Получив экспериментальные данные, наблюдатель для
их объяснения создает на основе имеющихся у него представлений путем
синтеза рабочую гипотезу, которая может объяснить не только один, но и
целую группу подобных экспериментов. Важно отметить, что осмысление
результатов эксперимента идет в некотором упрощенном или, как принято
говорить, в модельном представлении, т.е. само явление заменяется его
некоторым упрощенным представлением или моделью.
Если разработанные представления оказываются справедливыми для
достаточно широкого класса явлений, то принято говорить о возникновении
физической теории. Отдельные положения этой теории носят названия
физических законов[1], при условии их выполнения для всего класса изученных
объектов и явлений.
Важной особенностью физической науки является использование
количественных характеристик отдельных свойств физических объектов. Эти
характеристики определяются путем измерений, и для установления взаимосвязи
между различными физическими параметрами применяется количественная логика,
т.е. математика. Математика является мощным средством для аналитического
представления физических законов и следствий из них. Любая физическая
теория должна быть справедливой для всех явлений природы, в противном
случае теория носит лишь частный (ограниченный) характер. Если появляются
новые экспериментальные факты, которые не объясняются с точки зрения
разработанной теории, то это как раз и указывает на ограниченность теории.
В этом случае становится очевидной необходимость построения новой теории, в
которой новый экспериментальный материал находит свое естественное
объяснение (пример – механика Ньютона и теория относительности Эйнштейна).
Здесь важно подчеркнуть тот факт, что критерием оценки справедливости того
или иного логического построения выступает эксперимент. Именно он является
своеобразным «верховным судьей», выносящим свой «приговор» относительно
какой-либо теории.
Однако цепочечная связь «эксперимент – гипотеза – закон – теория –
эксперимент» не означает, что физическая теория играет лишь описательную
роль, и ее призвание состоит только в объяснении проведенных экспериментов.
Союз теории и эксперимента носит творческий характер: атомная теория
строения вещества получила всеобщее признание задолго до того, когда стало
возможно непосредственное наблюдение отдельных атомов.
Курс общей физики, который будет читаться два семестра, рассчитан на
формирование физического мировоззрения, создания естественно-научной базы
для правильного понимания всех явлений окружающего нас мира.
Традиционно рассмотрение общей физики начинается с раздела «Меха-
ника».
( 1-1. Основные понятия кинематики.
Механическим движением называется изменение положения предмета
относительно заданной системы отсчета. Понятие системы отсчета включает в
себя тело отсчета и систему координат. Для большинства задач нашего курса
достаточно ограничиться прямоугольной системой координат и выбрать в
качестве тела отсчета Землю. Простейшим объектом для изучения механического
движения может служить материальная точка[2]. Для описания положения
материальной точки
относительно выбранной системы отсчета принято использовать векторное пред-
|Y |Ставление: положение точки А описывается |
| |радиус - вектором rА, проведенным из начала |
| |координат в точку А. Если точка А движется, |
|( A ( l |то кривая, соединяющая положения точки в |
|у rА rB |последующие моменты времени t 1, t2 ...tn |
|( В |(где t1( t2....( tn), называется траекторией|
| |движения. При движении точки конец ее |
|х Х |радиус-вектора перемещается вдоль |
|Рис.1.Описание движения точки с |траектории. Изменение радиус - вектора с |
|помощью радиус-вектора. |течением времени |
называется кинематическим законом движения: r = r ( t ). Координаты точки в
этом случае также являются функциями времени: х = х(t), у = у(t) (см.рис.1)
и z = = z(t), которые можно рассматривать как параметрические уравнения
движения. Если за время ( t точка переместилась из положения А в
положение В (см.рис.1),
то радиус - вектор (l, проведенный из А в В, называется перемещением точки
за время ( t. Из рис. 1 видно, что (l = rB - rA = ( r. Для наиболее точного
описания движения необходимо выбирать время ( t как можно меньше. В этом
случае кри-
| |вая траектории заменяется ломаной линией. |
|(s |Для практических целей важно знать |
|(l |расстояние, пройденное по траектории. Это |
| |расстояние принято называть путем S. |
| |Очевидно, что длина ломаной линии ( ( li , |
|Рис.2. Длина пройденного пути. |будет приближаться к длине пути, если |
| |элементарное перемещение ( li заменить |
| |бесконечно |
малым перемещением dli .( S =[pic])
Другой известной характеристикой механического движения точки
служит скорость. Средняя скорость ( v ( за промежуток времени ( t
определяется как:
[pic] .
( 1- 1 )
Ясно, что при таком определении скорости ее значение зависит от выбора
величины временного интервала ( t и , как следствие, от величины ( l .
Однако при уменьшении величины ( t отношение (1-1) стремится к некоторому
пределу, кото-рый принято называть скоростью материальной точки в данный
момент времени:
[pic]= [pic],
( 1- 2 )
поскольку из рис.1 следует, что ( l = ( r. Другими словами можно сказать,
что скорость является первой производной радиуса-вектора по времени. Важно
отметить, что S = [pic], и первая производная пути по времени дает лишь
абсолютное значение скорости: [pic] =[pic].
Как и любой вектор, вектор скорости можно представить в виде суммы
составляющих по координатным осям:
v = [pic],
( 1-3 )
где i , j , k являются единичными векторами, направленными соответственно
вдоль осей X,Y и Z. С другой стороны радиус вектор r также можно
представить в
виде суммы:
r = x i + y j + z
k, ( 1-4 )
где x,y и z представляют собой проекции радиуса-вектора на направление
соответствующих координатных осей . Дифференцируя формулу ( 1-4 ) и
сравнивая результат дифференцирования с выражением (1- 3 ), получим:
vx = [pic] = x ; vy = [pic] = y и
vz = [pic] = z , (1- 5 )
которые означают, что скорости движения проекции точки вдоль координатных
осей равны проекциям вектора скорости на соответствующие оси. Из выражения
(1-5) следует, что по известной зависимости координат точки от времени (
известному закону движения ) x(t), y(t) и z (t) простым дифференцированием
можно найти проекции vx , vy , vz вектора скорости на координатные оси, а
следовательно и сам вектор скорости в любой момент времени. Величина
вектора скорости (его модуль) как и величина любого вектора находится как
корень квадратный из суммы квадратов соответствующих проекций:
[pic].
( 1- 6 )
Несколько сложнее решается обратная задача - нахождение закона движения по
заданной зависимости вектора скорости от времени. Например, если известна
зависимость от времени проекции скорости vx (t) , то зависимость координаты
х от времени x(t) находится путем интегрирования x(t) =[pic] + х0 , где х0
- координата точки в начальный момент времени ( при t = 0 ). Зависимость от
времени других координат находится аналогичным способом.
Кроме того, из формулы (1-3) вытекает, что скорость любого движения
