относительности, либо от принципа постоянства скорости света. Теория
относительности предлагает, однако, совершенно иное разрешение парадокса,
состоящее в том, что события, одновременные в одной системе отсчета [pic],
неодновременны в другой, движущейся системе [pic], и наоборот. Тогда
одновременные события, состоящие в достижении световым фронтом сферы,
определяемой уравнением
[pic], не являются одновременными с точки зрения системы [pic], где
одновременны другие события, состоящие в достижении тем же световым фронтом
точек сферы, определяемой уравнением [pic]
Таким образом, одновременность пространственно разобщенных событий
перестает быть чем-то абсолютным, как это принято считать в повседневном
макроскопическом опыте, а становится зависящей от выбора системы отсчета и
расстояния между точками, в которых происходит события. Эта относительность
одновременности пространственно разобщенных событий свидетельствует о том,
что пространство и время тесно связаны друг с другом, т.к. при переходе о
одной системе отсчета к другой, физически эквивалентной, промежутки времени
между событиями становятся зависящими от расстояний (нулевой промежуток
становится конечным и наоборот).
Итак, постулаты Эйнштейна помогли нам прийти к новому
фундаментальному положению в физической теории пространства и времени,
положению о тесной взаимосвязи пространства и времени и об их
нераздельности, в этом и состоит главное значение постулатов Эйнштейна.
Основное содержание теории относительности играет постулат о
постоянстве скорости света. Основным аргументов в пользу этого является та
роль, которую отводил Эйнштейн световым сигналам, с помощью которых
устанавливается одновременность пространственно разобщенных событий.
Световой сигнал, распространяющийся всегда только со скоростью света,
приравнивается, таким образом, к некоторому инструменту, устанавливающему
связь между временными отношениями в различных системах отсчета, без
которого якобы понятия одновременности разобщенных событий и времени теряют
смысл. Необходимость такого истолкования содержания теории относительности
легко доказывается, если обратиться к одному из возможных выводов
преобразований Лоренца, опирающемуся на постулат относительности и вместо
постулата о постоянстве скорости света использующему лишь допущение о
зависимости массы тела от скорости.
Вывод преобразований Лоренца без постулата о постоянстве скорости света.
Для вывода преобразований Лоренца будем опираться лишь на
“естественные” допущения о свойствах пространства и времени, содержавшиеся
еще в классической физике, опиравшейся на общие представления, связанные с
классической механикой:
1. Изотропность пространства, т.е. все пространственные направления
равноправны.
2. Однородность пространства и времени, т.е. независимость свойств
пространства и времени от выбора начальных точек отсчета (начала координат
и начала отсчета времени).
3. Принцип относительности, т.е. полная равноправность всех
инерциальных систем отсчета.
Различные системы отсчета по-разному изображают одно и то же
пространство и время как всеобщие формы существования материи. Каждое из
этих изображений обладает одинаковыми свойствами. Следовательно, формулы
преобразования, выражающие связь между координатами и временем в одной -
“неподвижной” системе [pic] с координатами и временем в другой -
“движущейся” системе [pic], не могут быть произвольными. Установим те
ограничения, которые накладывают “естественные” требования на вид функций
преобразования: [pic]
1. Вследствие однородности пространства и времени преобразования
должны быть линейными.
Действительно, если бы производные функций [pic] по [pic]не были бы
константами, а зависели от [pic] то и разности [pic], выражающие проекции
расстояний между точками 1 и 2 в “движущейся” системе, зависели бы не
только от соответствующих проекций [pic], в “неподвижной” системе, но и от
значений самих координат [pic]что противоречило бы требованию независимости
свойств пространства от выбора начальных точек отсчета. Если положить, что
проекции расстояний вида (‘ = [pic]= [pic] зависят только от проекций
расстояний в неподвижной системе, т.е. от ( = [pic], но не зависит от
[pic], то
[pic] при [pic] т.е. [pic] или [pic].
Аналогично можно доказать, что производные [pic] по всем другим
координатам [pic] также равны константам, а следовательно, и вообще все
производные [pic] по [pic] суть константы.
2. Выберем "движущуюся" систему [pic]таким образом, чтобы в
начальный момент [pic] точка, изображающая ее начало координат, т.е. [pic]
совпадала с точкой, изображающей начало координат "неподвижной" системы,
т.е. [pic], а скорость движения системы [pic]была бы направлена только по
[pic]
[pic]Если мы также учтем требование изотропности пространства, то линейные
преобразования для системы отсчета [pic], выбранной указанным образом,
запишутся в виде [pic] Здесь отсутствуют члены, содержащие [pic]и [pic]в
выражениях [pic] и [pic], в силу изотропности пространства и наличия
единственного выделенного направления вдоль оси [pic], соответственно
постановке задачи. На этом же основании в выражениях для [pic] и [pic]
отсутствуют члены, пропорциональные, соответственно, [pic]и [pic], а
коэффициенты [pic] при [pic] и [pic]одинаковы. Члены, содержащие [pic]и
[pic], отсутствуют в выражениях для [pic] и [pic] в силу того, что ось
[pic] все время совпадает с осью [pic]. Последнее было бы невозможно, если
бы [pic] и [pic] зависели от [pic]и [pic].
3. Изотропность предполагает также симметричность пространства. В
силу же симметрии ничто не должно измениться в формулах преобразования,
если изменить знаки [pic] и [pic], т.е. одновременно изменить направление
оси [pic] и направление движения системы [pic]. Следовательно, [pic] (d)
Сравнивая эти уравнения с предыдущими ([pic]) получаем:
[pic]. Вместо [pic]удобно ввести другую функцию [pic], так, чтобы
[pic]выражалось через [pic]и[pic]посредством соотношения [pic] Согласно
этому соотношению, [pic]- симметричная функция. Используя это соотношение,
преобразования (d) можно записать в виде [pic] (e), причем все входящие в
эти формулы коэффициенты [pic] суть симметрии функции [pic].
4. В силу принципа относительности обе системы, "движущаяся" и
"неподвижная", абсолютно эквивалентны, и поэтому обратные преобразования от
системы [pic]к[pic]должны быть тождественно прямым от [pic]к[pic]. Обратные
преобразования должны отличаться лишь знаком скорости [pic], т.к.
система[pic]движется относительно системы[pic]вправо со скоростью [pic], а
система [pic]движется относительно системы[pic] (если последнюю считать
неподвижной), влево со скоростью [pic]. Следовательно, обратные
преобразования должны иметь вид [pic]. (f) Сравнивая эти преобразования с
(e), получаем [pic]. Но в силу симметрии получаем, что [pic], т.е. [pic].
Очевидно, имеет смысл лишь знак (+), т.к. знак (-) давал бы при
[pic]перевернутую по [pic]и [pic]систему. Следовательно [pic]. Замечая,
что коэффициенты [pic]- тоже симметричные функции [pic], первое и последнее
уравнение из (e) и (f) можно записать в виде: А) [pic], а) [pic], В) [pic],
в) [pic]. Умножая А) на [pic], В) на [pic]и складывая, получим [pic].
Сравнивая это выражение с а), получаем [pic]. Откуда имеем [pic]
Следовательно, извлекая квадратный корень и замечая, что знак (-) так
же, как и для [pic], не имеет смысла, получаем [pic]. Итак преобразования
приобретают вид: [pic](g) или ,подробнее: [pic],(h) где [pic]- неизвестная
пока функция [pic].
5. Для определения вида [pic] обратимся вновь к принципу
относительности. Очевидно, что преобразования (g) должны быть
универсальными и применимыми при любых переходах от одних систем к другим.
Таким образом, если мы дважды перейдем от системы[pic]к [pic]и от [pic]к
[pic], то полученные формулы, связывающие координаты и время в системе[pic]
с координатами и временем в[pic], должны также иметь вид преобразований
(g). Это вытекающее из принципа относительности требование, в совокупности
с предыдущими требованиями обратимости, симметрии и т.д. означает, что
преобразования должны составлять группу.
Воспользуемся этим требованием групповости преобразований. Пусть
[pic]- скорость системы[pic] относительно[pic]и [pic]- скорость
системы[pic] относительно системы[pic]
Тогда согласно (g) [pic]
Выражая [pic] и [pic]через [pic]и [pic], получаем [pic]
Согласно сформулированному выше требованию эти же преобразования должны
записываться в виде (g), т.е. [pic](k) Коэффициенты, стоящие при [pic] в
первой из этих формул и при [pic]во второй, одинаковы. Следовательно, в
силу тождественности предыдущих формул и этих, должны быть одинаковы и
коэффициенты, стоящие при[pic] в первой из предыдущих формул и при[pic]во
второй из формул (h) т.е. [pic]. Последнее равенство может быть
удовлетворено только при [pic]
6. Итак, в преобразованиях (h) ( является константой, имеющей
размерность квадрата скорости. Величина и даже знак этой константы не могут
быть определены без привлечения каких-либо новых допущений, опирающихся на
опытные факты.
Если положить [pic], то преобразования (h) превращаются в известные
преобразования Галилея [pic] Эти преобразования, справедливые в механике
малых скоростей ([pic]), не могут быть приняты как точные преобразования,
справедливые при любых скоростях тел, когда становится заметным изменение
массы тел со скоростью. Действительно, учет изменения массы со скоростью
приводит к необходимости принять положение об относительности
одновременности разобщенных событий. Последнее же несовместимо с
преобразованиями Галилея. Таким образом, константа ( должна быть выбрана
конечной.
Из опыта известно, что при больших скоростях, сравнимых со скоростью
света, уравнения механики имеют вид [pic](i), где [pic] - собственная
масса, совпадающая с массой частицы при малых скоростях ([pic]), с -
константа, имеющая размерность скорости и числено равная [pic] см/сек, т.е.
совпадающая со скоростью света в пустоте. Этот опытный факт трактуется как
зависимость массы от скорости, если массу определить как отношение импульса
тела к его скорости.
Константа [pic] имеет такую же размерность, какую имеет (, входящая в
формулы преобразования координат и времени (h). Естественно поэтому
положить [pic](j), поскольку в экспериментально полученную зависимость
массы от скорости не входит никакая иная константа, имеющая квадрата
скорости. Принимая это равенство, преобразования (h) записываются в виде
