[pic] (10)
[pic] (11)
В предельном случае, когда электрод 2 удаляют на бесконечность от
поверхности электрета, получается т.н. «свободный» электрет. Из 'формулы
(11) видно, что поле в зазоре при этом исчезает, а в электрете становится
равным:
[pic] (12)
Последнее выражение полностью совпадает с полем плоского бесконечно
протяженного конденсатора с диэлектриком. В этом нет ничего удивительного,
так как и в электрете и в конденсаторе имеются два противоположных по знаку
параллельных слоя зарядов, одинаковых по величине. Их электрические поля по
принципу суперпозиции складываются, внутри векторы напряженности полей
слоев сонаправлены. а вне - противоположно направлены и компенсируют друг
друга. Итак, свободный электрет бесконечной протяженности не создает в
пространстве электрического поля. Однако для реальных электретов (как и
плоских конденсаторов) этот вывод может быть использован с известной
осторожностью, так как у них имеются края заряженной области, вблизи
которых поле неоднородно и силовые линии выходят наружу. Кроме того, при
зарядке могут возникнуть неоднородности в распределении поверхностного
заряда по площади электрета, что также приведет к выходу силовых линий из
электрета в окружающее пространство.
В этом можно убедиться, поставив простейший эксперимент. Надо положить
заряженный электрет на лабораторном столе и подождать несколько дней.
Оседающая из воздуха пыль, которая притягивается к местам выхода силовых
линий, «проявит» рельеф поверхностного заряда. В центре образца поверхность
остается чистой или менее запыленной, чем по краям, где видны резкие полосы
осажденной пыли. Опыт, разумеется, можно ускорить, искусственно распыляя
пыль над поверхностью электрета
Электрические поля электрета с пространственным зарядом
Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в электрете имеется
объемный заряд с плотностью ?(х) (см. рис 8), а на поверхности пленки (при
х=s) поверхностный заряд отсутствует (?=0). Поле внутри электрета теперь не
будет однородным. В этом легко убедиться, воспользовавшись уравнением
Максвелла для вектора индукции электростатического поля:
divD=?[pic].(13)
В нашем случае ? зависит только от одной координаты (х), от одной
координаты будут зависеть напряженность и индукция электрического поля.
Кроме того, векторы направлены вдоль оси ОХ, что позволяет рассматривать
только одну их проекцию на эту ось, модуль которой равен модулю
соответствующего вектора. Тогда в уравнении (13) получим:
[pic]
или, с учетом связи векторов D и Е:
[pic] (14)
То, что производная Е(х) отлична от нуля, доказывает зависимость от х
вектора Е, т.е. неоднородность поля внутри электрета. Аналогичное уравнение
можно записать для зазора, где нет пространственного заряда:
[pic] (15)
Поле Е,. очевидно, будет однородным. Система дифференциальных уравнений
(14)-(15), дополненная двумя граничными условиями:
D1-D=0 или ?1?0Е1-??0Е=0 (16)
V+V1=0 или [pic] (17)
позволяет решить задачу - найти электрические поля в электрете и зазоре.
Интегрируя по х (14) и (15), получаем общее решение:
[pic] (18) E1=C2 (19)
в которое входят две произвольные постоянные - С/ и С,. Их легко найти,
подставив (18) и (19) в граничные условия (16) и (17), в результате
получается система двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными:
Решая систему, находим произвольные постоянные, а затем и выражения для
электрических полей в зазоре и пленке:
[pic] (20)
[pic] (21)
. Частные случаи полей электретов с пространственным зарядом
Полученные выражения носят общий характер, из них можно получить
конкретные выражения для полей, если подставить выражение для объемной
плотности захваченного заряда ?(х).
Электрет с поверхностным зарядом
Рассмотрим, например, случай, когда заряд распределен по поверхности с
поверхностной плотностью ст. Найдем выражение для объемной плотности
заряда.
Рассмотрим рис. 14
[pic]
Рис. 14
Выделим на пленке участок площадью S и объемом V =Ss. Полный заряд
выделенного участка Q=?S. С другой стороны, этот же заряд можно вычислить
через объемную плотность заряда:
[pic]
откуда получаем связь ? и р(х):
[pic] (22)
Плотность заряда ?(х)в пленке всюду равна 0, и только на самой
поверхности (при х=s) обращается в бесконечность, так как весь заряд
сосредоточен в слое бесконечно малого приповерхностного объема. В
математике известна функция, обладающая такими свойствами - дельта-функция
Дирака ?(х). Она равна нулю при всех значениях аргумента, кроме х = 0, при
котором обращается в бесконечность. Логично поэтому представить объемную
плотность заряда ? (х) в виде произведения некоторой постоянной а на дельта-
функцию ?(х-s), принимающую бесконечное значение при х = s:
?(x)=a?(x-s) (23)
Дельта-функция обладает следующим свойством:
[pic] (24)
где f(x)- произвольная функция.
Бесконечные пределы можно заменить на конечные, включающие точку
«скачка» дельта-функции, поскольку вне этой области подынтегральное
выражение равно нулю. В нашем случае достаточно ограничиться пределами от 0
до s. Интегрируя (23) в этих пределах, по свойству (24) получаем:
[pic] (25)
Сравнивая с (22), приходим к выводу, что постоянная а равна ?. Таким
образом, выражение для ?(х) приобретает вид:
?(х)=??(x-s) (26)
Вычислим поля Е и E1, подставив в общие формулы (20) и (21) выражение
(26):
[pic]
[pic]
Откуда после, несложных преобразований, получаются уже известные нам
формулы (10) и (11).
Свободный электрет. «Прямоугольное» («ступенчатое») распределение заряда
В случае объемного заряда также можно рассмотреть случай свободного
электрета, когда верхний электрод отсутствует (удален на «бесконечность»).
В пределе при s1>? из (20) и (21) получаем:
E1=0 (27)
[pic] (28)
Таким образом, вне электрета поле также будет равно нулю. Остается найти
только напряженность поля внутри диэлектрика,
Пусть ?(х) имеет вид:
[pic]
а
Рис. 15. Свободный электрет с «прямоугольным» распределением объемного
заряда
Для нахождения поля Е(х) внутри пленки будем рассматривать две области:
от х=0 до х=s-а, где заряд отсутствует, и от х=s-а до s, где плотность
заряда постоянна и равна ?0. Соответственно интегралы будут отличны от нуля
только при интегрировании в пределах от s-a до s:
[pic] (x?) поверхностный потенциал электрета с
зарядом, сосредоточенным на поверхности пленки с поверхностной плотностью
?, равен:
[pic] (36)
Если же заряд распределен по объему пленки, можно ввести понятие так
называемой эффективной поверхностной плотности заряда ?эфф. Для этого
величину ?эфф подбирают так, чтобы электрет, имеющий только поверхностной
заряд с плотностью ?эфф создавал в зазоре такое же внешнее поле Е1 и
обладал поверхностным потенциалом таким же, как электрет с объемным
зарядом. Действительно, в случае разомкнутой цепи поле внутри электрета
определяется выражением:
[pic]
Вычислим поверхностный потенциал.
[pic] [pic](37)
Обозначив [pic], получаем выражение для поверхностного потенциала,
идентичное (36):
[pic] (38)
На практике величину ?эфф находят через измеренный на опыте
поверхностный потенциал электрета:
[pic] (39)
Измерение поверхностного потенциала и эффективной поверхностной плотности
заряда электретов
Измерение поверхностной (или эффективной поверхностной) плотности заряда
электрета осуществляют косвенно. Для этого вначале измеряют поверхностный
потенциал, а затем вычисляют ? или ?эфф по формулам (36) или (39). Причем
обычно точно неизвестно, обладает ли данный электрет поверхностным или
объемным зарядом, так что речь ведут всегда об измерении эффективной
поверхностной плотности заряда как о более общем случае.
Наибольшее практическое применение получили методы вибрирующего электрода
(зонда), позволяющие померить величину поверхностного потенциала и даже
распределение поверхностного потенциала вдоль поверхности пленки.
Схема установки показана на рис. 18. Конфигурация измерительной, ячейки
совпадает с той, что рассматривалась нами при расчете электрических полей,
но верхний электрод вибрирует - колеблется с определенной частотой.
Колебания электрода вызывают с помощью специального устройства. На этом
электроде индуцируется заряд, противоположный по знаку заряду поверхности
электрета. Так как электрод колеблется, меняются расстояние между образцом
и электродом и, как следует из формул (12), (21), поле в зазоре Е1.
Периодическое изменение напряженности поля в зазоре вызывает периодическое
изменение величины заряда, индуцируемого на вибрирующем электроде. Тогда по
цепи, в которую включен измеритель 3, будет протекать переменный ток,
частота которого совпадает с частотой механических колебаний электрода.
[pic]
Рис. 18 Измерение поверхностного потенциала электрета методом
вибрирующего электрода. 1 - электрет; 2 - верхний вибрирующий электрод; 3 -
измеритель тока в цепи, 4 - нижний электрод, на который устанавливается
электрет металлизированной стороной
Силу тока, протекающего во внешней цепи, нетрудно найти, если
воспользоваться связью величины индуцированного заряда на верхнем электроде
с напряженностью поля в зазоре: ?i=?1?0E1. Дифференцируя по времени,
получаем:
[pic] (40)
Производная от плотности заряда по времени есть плотность тока в цепи,
поэтому силу тока находим умножением на площадь вибрирующего электрода S;
[pic] (41)
Пусть зазор меняется по закону:
[pic] (42)
где s10 - величина зазора при отсутствии колебаний, a0 -амплитуда
колебаний электрода, ? - частота механических колебаний. На практике
