представление – например, в терминах импульсов – r (p1,..., pn, p1',...,
pn') . Мы имеем диагональные элементы с p1=p1', p2=p2', ... и
недиагональные, у которых по крайней мере одно из этих соотношений
нарушено. В квантовой механике вакууму корреляций r 0 соответствует
диагональным элементам матрицы r, а r n – недиагональным элементам, в
которых n переменных p1, p2,..., pn не равны соответственно p1', p2',...,
pn '. В результате взаимодействий различные состояния корреляций переходят
друг в друга. (С точки зрения операторного формализма на матрицы pi
действует супероператор Лиувилля – см. ниже) . Когда частица, уже
коррелированная с другой частицей, сталкивается с третьей, возникает
тройная корреляция, и т.д.
Теперь нетрудно установить связь между потоком корреляций и теоремой
Пуанкаре. Интегрируемые системы – это системы, в которых мы можем исключить
взаимодействие, поэтому исключается и поток корреляций. Следовательно, если
эволюция интегрируемой системы начинается с вакуума корреляций, в ходе
эволюции никогда не возникнут двойные, тройные и т.д. корреляции. Потока
корреляций в интегрируемых системах не существует.
В отличие от интегрируемых систем, в неинтегрируемых системах Пуанкаре
существует непрерывный процесс рождения корреляций. Неинтегрируемость
означает, что мы не можем исключить поток корреляций с помощью любого
(канонического) преобразования. Поток корреляций, как и все необратимые
процессы, носит внутренний характер.
Кроме того, в неинтегрируемых системах вакуум корреляций становится
зависящим от времени. Таким образом, делается заключение, что кинетические
уравнения типа уравнений Больцмана могут выполняться только для
"неинтегрируемых" систем, как классических, так и квантовых.
2.3 Проблема несводимого описания
Эволюция во времени плотности распределения вероятности определяется
уравнением Лиувилля, которое следует из классической гамильтоновой
динамики. В операторной записи оно имеет вид
[pic]
при этом явный вид оператора Лиувилля L может быть выведен из
гамильтониана. Следует отметить, что, как и операторы квантовой механики,
оператор Лиувилля эрмитов.
Теория ансамблей Гиббса обобщается на случай квантовой теории с той лишь
разницей, что в квантовой теории гильбертово пространство содержит лишь
половину переменных, входящих в классическое описание. Место плотности
вероятности занимает матрица плотности [pic], эволюция её во времени
описывается уравнением Лиувилля–фон Неймана [pic]. Так как новый оператор
Лиувилля действует не на волновые функции, а на матрицу плотности, которая
сама по себе оператор, L обычно называют супероператором. Оператор L –
эрмитов, а пространство матриц плотности – гильбертово. [5] Использование
операторного формализма позволяет в статистической механике применять к
классическим системам методы, разработанные для квантовых систем:
определение собственных функций и собственных значений для оператора
Лиувилля.
Как и в квантовой механике, мы можем рассмотреть задачу на собственные
значения: [pic]При этом, поскольку L – эрмитов оператор, его собственные
значения ln действительны. Кроме того, из функций | j n > можно составить
полную ортонормированную систему, по которой раскладывается любая функция
распределения: [pic].
Эволюция же распределения во времени определяется соотношением
r (t) =U(t) r (0) =e–iLtr (0) .
Как и в квантовой механике, U(t) – унитарный оператор, и поэтому
[pic].
Таким образом, распределение вероятности разлагается в сумму независимо
развивающихся во времени мод, каждая из которых входит с весом cn,
постоянным во времени. Поскольку собственные значения вещественны, каждая
мода "вращается" в фазовом пространстве. Единственное отличие от квантовой
механики состоит в том, что в данном случае каждая мода вносит свой вклад
непосредственно в вероятность r, а не в амплитуду вероятности y, как в
квантовой механике.
Проблема состоит в том, что решение уравнения Лиувилля для матрицы
плотности в гильбертовом пространстве не описывает приближения к равновесию
[1, с. 166].
Мы сталкиваемся здесь с основной трудностью теории необратимых процессов.
Вращение по фазе сохраняет симметрию во времени. Чтобы получить нарушение
симметрии во времени, было бы необходимо иметь комплексные собственные
значения ln = ln' + iln'', тогда exp(–ilnt) =exp(–iln't) exp(–ln''t) , и
второй множитель порождает экспоненциальное затухание. Но это невозможно,
поскольку мы имеем дело с эрмитовым оператором и используем формализм
гильбертова пространства.
Одна из возможностей, к принятию которой склоняются многие авторы, состоит
в утверждении, что поскольку уравнение Лиувилля обратимо во времени,
необратимость возникает в результате грубой зернистости, то есть
приближённого описания. Но на микроскопическом уровне мы снова возвращаемся
к парадоксу времени. Решить его можно только двумя способами: выбрать в
качестве исходных новые уравнения движения, с самого начала содержащие
необратимость, или отказаться от гильбертова пространства. Концепция
Пригожина реализует вторую возможность.
Для интегрируемых классических систем решение задачи на собственные
значения оператора L приводит к траекториям. В квантовой теории ансамблей
ситуация аналогична. Если задача на собственные значения для гамильтониана
H решена, то мы можем решить её и для L и представить решение в терминах
волновых функций. Для квантовых систем с дискретным спектром никаких
трудностей при этом не возникает, но при переходе к большим системам
Пуанкаре (с непрерывным спектром и непрерывными множествами резонансов) не
существует уже конструктивного метода решения задачи ни для H, ни для L [1,
с. 164].
Отличие статистического описания, даваемого школой Пригожина, от
классического эйнштейновско-гиббсовского именно в том, что оно несводимо.
Оно неприменимо к отдельной траектории. Это утверждение представляет собой
строгий математический результат, полученный в результате применения к
анализу хаоса методов современного функционального анализа. Кроме того, в
таком необратимом вероятностном описании прошлое и будущее играют различные
роли. Хаос приводит к включению стрелы времени в фундаментальное
динамическое описание.
Легко показать, что хаос, определяемый как обычно, приводит к несводимому
вероятностному описанию. Пригожин обращает это утверждение и выдвигает
новое определение: все системы, допускающие несводимое вероятностное
описание, по определению считаются хаотическими [1, с. 9].
3. БРЮССЕЛЬСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[pic]Э. Шрёдингер
3.1 Альтернативные интерпретации квантовой механики
Вероятно, квантовая механика – одна из немногих, если не единственная
работающая физическая теория, по поводу интерпретации которой на
фундаментальном уровне до сих пор ведутся содержательные споры. Данная
работа посвящена краткому изложению позиции и следствий только одной из
интерпретаций, однако автору кажется невозможным при этом не упомянуть
самые распространённые альтернативные интерпретации. (Более подробно – см.
[2]) .
Наиболее известны следующие подходы к квантовой механике: – копенгагенская
интерпретация; – статистическая интерпретация; – "неоклассические"
интерпретации со скрытыми параметрами; – многомировая интерпретация; –
брюссельская интерпретация, развиваемая школой Пригожина.
Остановимся вкратце на каждой из этих интерпретаций.
а) Копенгагенская интерпретация является наиболее распространённой, но в то
же время представляет (в силу исторических причин) собой скорее конгломерат
различных подходов, нежели монолитную концепцию. Двумя важнейшими
принципами являются общефилософский принцип дополнительности Бора и
постулат редукции волнового пакета.
Принцип дополнительности первоначально возник как истолкование соотношения
неопределённостей Гейзенберга. В дальнейшем Бор развил этот принцип как
общенаучный и призывал к его применению в биологии, психологии и
гуманитарных науках. Содержание его примерно таково: никакая классически
непротиворечивая система понятий не может описать реальность, всегда
существуют различные, взаимоисключающие и взаимодополняющие подходы, каждый
из которых отрицает другой. Только совместное рассмотрение этих описаний
может дать нам полную картину происходящих в мире событий.
Постулат редукции волнового пакета описывает процесс наблюдения квантовой
системы внешним наблюдателем и утверждает, что в таком процессе происходит
переход волновой функции квантового объекта в одно из собственных состояний
– то есть система переходит из смешанного состояния в чистое, и переход
этот необратим. Собственно, в копенгагенской интерпретации этот постулат и
является тем "примечанием", вносящем необратимость времени (см. раздел 2.1)
в теорию. С постулатом редукции волнового пакета связано много дискуссий и
парадоксов. Копенгагенская интерпретация квантовой механики неоднократно
подвергалась критике за необходимость присутствия в ней наряду с квантовыми
объектами сугубо классического внешнего наблюдателя.
б) Статистическая интерпретация, или интерпретация статистических
ансамблей, основана на предположении, что волновая функция квантовой
системы описывает не индивидуальный объект, а ансамбль одинаковым образом
приготовленных объектов. При этом признаётся фундаментальный характер
вероятностных предсказаний в квантовой механике, и в этом смысле квантово-
механическое описание реальности считается полным. Вероятности того или
иного результата естественным образом даётся относительно-частотное
толкование. С точки зрения статистической интерпретации квантовая механика
вообще не описывает индивидуальные квантовые объекты.
Нужно заметить, что в рамках статистической интерпретации вводится постулат
о том, что в процессе измерения макроприбор выделяет из статистического
ансамбля некоторый подансамбль, соответствующий данному результату
измерения. Этот постулат фактически занимает место постулата редукции в
копенгагенской интерпретации.
в) Неоклассические интерпретации квантовой механики исходят из того, что
квантово-механическое описание в действительности не является полным.
Следовательно, должна существовать более общая теория, обеспечивающая
наличие детерминизма классического образца. По отношению к такой теории
квантовая механика была бы некоторым статистическим приближением. Наиболее
распространены неоклассические теории со скрытыми параметрами. В них
предполагается, что волновая функция Ѕ y > не полностью определяет
состояние системы. Наряду с ней существуют скрытые параметры x, такие, что
их точное знание могло бы дать возможность предсказания результатов
измерения любой физической величины. При этом сами параметры являются
статистически распределёнными по некоторому закону, и мы не можем на
практике точно определить значение x. Поэтому сохраняются все следствия
квантовой механики, в том числе невозможность одновременного точного
