измерения некоммутирующих величин. Принципиальным в такой неоклассической
интерпретации является факт, что существует описание состояния системы (Ѕ y
>, x) , позволяющее избежать недетерминированности в предсказании
результатов измерений.
Вопрос об обратимости времени в интерпретации со скрытыми параметрами не
является ключевым, и остаётся столь же открытым, сколь и в копенгагенской
интерпретации (особенно если из последней "удалось бы изъять" принцип
редукции волновой функции) .
г) Многомировая интерпретация квантовой механики (концепция Эверетта)
исходит из принципа реальности волновой функции. При этом постулируется,
что существует такая функция сразу для всей Вселенной, и нет необходимости
в мистическом "внешнем наблюдателе", отвечающем, например, за квантовые
эффекты в момент её рождения. В многомировой интерпретации место постулата
редукции волнового пакета занимает понятие "ветвления волновой функции
Вселенной", которое можно толковать либо образно – как появление
"параллельных квантовых миров", либо чисто математически, как процедуру
дефакторизации волновой функции наблюдаемого объекта [2, с. 29]. При этом
возникают свои математические тонкости, связанные с предпочтительным
выбором базиса собственных состояний для каждого объекта во Вселенной,
исключающего "лишние" ветвления для не наблюдающихся в конкретном
эксперименте объектов (своеобразное применение хорошо известной "бритвы
Оккама") .
Наконец, брюссельская интерпретация ограничивает применимость чистых
состояний (то есть точек в фазовом пространстве классической механики и
волновых функций в квантовой механике) введением некоего нового принципа,
который можно назвать "микроскопическим вторым началом термодинамики". При
этом отвергается представление как о реальности волновой функции в старом
смысле этого слова, так и о "классическом идеале" – в пользу новой
концепции, в основе которой лежит необратимость времени.
3.2 Неунитарная эволюция и несводимое описание
Необратимость, выражаемая стрелой времени – свойство статистическое. Она не
может быть введена на уровне отдельных траекторий (или волновых функций) и
поэтому требует радиального отхода от ньютоновской механики или
ортодоксальной квантовой механики, в основе которых лежат понятия
траектории или отдельной волновой функции. Ещё Больцман понял, что
необходим подход на основе ансамблей. Школа Пригожина реализует эту
программу с необходимой математической строгостью.
Неустойчивость и хаос вынуждают отказаться от описания классической
механики в терминах траекторий и перейти к описанию в терминах
распределения вероятности. Примером может служить рассмотренное ранее
отображение сдвига Бернулли. В разделе 1.1 был приведён явный вид оператора
с дискретным временем, описывающего эволюцию плотности вероятности для
сдвига Бернулли (применительно к отображениям подобный оператор называется
оператором Перрона–Фробениуса) . В статистической механике оператор
эволюции имеет вид U(t) = e–iLt, а в квантовой механике U(t) = e–iHt. Два
последних оператора унитарны, то есть сохраняют скалярное произведение, и в
гильбертовом пространстве имеют собственные значения, по модулю равные 1 –
то есть приводят к периодическим функциям от времени типа exp(–iEnt) . В
отличие от них оператор эволюции хаотических систем должен описывать
приближение к равновесию и, следовательно, содержать время релаксации. Для
этого требуются комплексные спектральные представления.
Оказалось, что для сдвига Бернулли в гильбертовом пространстве
спектрального разложения отображения не существует. Собственные функции
этого оператора не удовлетворяют условию квадратичной интегрируемости,
поэтому вместо гильбертова пространства требуется перейти к так называемому
обобщённому пространству, включающему наряду с квадратично интегрируемыми
функциями, например, ещё и d -функции типа дираковской. Собственные
значения для построенных в этом пространстве собственных функций
оказываются напрямую связанными с временем Ляпунова в хаотической системе.
На языке распределений вероятности отдельная траектория для сдвига Бернулли
представляется функцией r n=d (x–xn) , сдвиг Бернулли преобразует её в r
n+1=d (x–xn+1) = d (x–2xn) при xn = ) . Нетрудно показать, что он имеет вид: [pic]Можно также
показать, что оператор U+ – изометрический, то есть сохраняет скалярное
произведение (однако в отличие от унитарного изометрический оператор не
допускает обратного, из чего следует, что сдвиг Бернулли – не обратимое
отображение) . Задача на собственные значения U+f(x) =l f(x) не имеет
других решений в классе непрерывных функций, кроме постоянной. Таким
образом, сдвиг Бернулли не имеет спектрального представления в гильбертовом
пространстве. Однако U+ имеет собственные функции и собственные значения в
обобщённых пространствах. Например:
U+[d (x–1) –d (x) ]=1/2 [d (x–1) –d (x) ],
следовательно, мы имеем собственную функцию оператора U+, которая
принадлежит к классу обобщённых функций и имеет такое же собственное
значение, какое первый многочлен Бернулли имеет для оператора U. Обозначим
поэтому найденную функцию B(1) (x) .
Существует целое семейство обобщенных функций B(n) (x) , которые являются
собственными функциями оператора U+ и соответствуют собственным значениям
1/2n. Эти функции не имеют конечной нормы, что вынуждает к переходу в
обобщённое пространство. Их семейство, однако, обладает свойствами
ортогональности и полноты.
Таким образом, как и в квантовой механике, мы можем разложить вероятность r
(x) по биортонормированному семейству функций: [pic].
Распространяя скалярное произведение на обобщённые функции, необходимо
сделать некоторые существенные замечания. Основное свойство d -функции
состоит в том, что при интегрировании с обычной непрерывной функции она
"вырезает" её значение в точке x=x0. Для корректности скалярного
произведения , где f – обобщённая функция, необходимо, чтобы g была
подходящей функцией, обеспечивающей сходимость скалярного произведения.
Она, очевидно, не должна принимать бесконечных значений – во всяком случае,
в точке x=x0. Назовём такие функции пробными.
Мы можем определить действие оператора A на обобщённую функцию f с помощью
соотношения = – но такое соотношение вполне определено только
при том условии, что A+g остаётся пробной функцией. Задача на собственные
значения A|f> = l |f> также имеет смысл только в том случае, если
пользоваться пробными функциями g такими, что = l .
Возвращаясь к спектральному представлению эволюции при сдвиге Бернулли,
делаем вывод: так как B(n) – обобщённые функции, r (x) должна быть пробной
функцией, так как в противном случае ей бы соответствовала d -функция, для
которой скалярное произведение с B(n) расходится.
Спектральные теории Пригожина применимы только для ансамблей траекторий –
это фундаментальный результат. Для хаотических систем, а сдвиг Бернулли –
простейший из примеров таких систем, вероятностное описание следует строить
не в гильбертовом, а в обобщённом пространстве, и оно несводимо. В этом –
принципиальное отличие брюссельского подхода от подхода на основе теории
ансамблей Гиббса–Эйнштейна: их описание было сводимо, поскольку могло быть
разложено на описания отдельных траекторий.
Мы подходим к важному вопросу: что означает действие оператора эволюции
U(t) на обобщённую функцию? Это соотношение имеет вполне определённый
смысл, если U+(t) g остаётся пробной функцией. Для хаотических систем это
условие, как правило, не выполняется и при t>0, и при t<0. Пробные функции
для прошлого отличаются от пробных функций для будущего. Этот факт приводит
к нарушению симметрии во времени и лежит в основе решения парадокса
времени, предлагаемого брюссельской школой.
Рассмотренное выше отображение пекаря также допускает спектральное
представление в гильбертовом пространстве, однако собственные значения его
оператора Перрона–Фробениуса не имеют при этом отношения к времени Ляпунова
– таким образом, хаотические свойства остаются "за кадром". Оказывается всё-
таки, что некоторые хаотические системы – и преобразование пекаря в
частности – допускают дополнительные спектральные представления. Помимо
спектрального представления оператора эволюции в гильбертовом пространстве
можно построить новое представление в обобщённом гильбертовом пространстве,
которое связывает эволюцию во времени с временем Ляпунова.
Может возникнуть вопрос – так какое же представление правильное? С
математической точки зрения они оба вполне корректны. Однако комплексные
представления в обобщённом пространстве позволяют продвинуться значительно
дальше, так как включают в спектр оператора эволюции время Ляпунова,
которое характеризует временной горизонт хаотических систем. Новые
представления позволяют описывать приближение к равновесию, явно описывают
нарушение симметрии во времени и включают необратимость на фундаментальном
уровне описания.
Весьма важно, что новые представления несводимы. Неоднократно утверждалось,
что хаос, связанный с чувствительностью к начальным условиям, приводит к
"невычислимым" траекториям. Казалось, что это чисто техническая трудность.
Как теперь понятно, причина гораздо более глубокая. Существует своего рода
соотношение дополнительности в боровском смысле между необратимостью на
уровне статистических ансамблей, с одной стороны, и траекторий – с другой.
На простейших хаотических примерах мы проиллюстрировали, как в концепции
Пригожина возникает необходимость несводимого описания и как в этом
несводимом описании проявляется стрела времени. Обратимся теперь к выводам,
которые аналогичный подход даёт в квантовой теории (объём настоящей работы
не позволяет подробно описать математические особенности применения этого
подхода) . Приведём только один пример.
В операторе эволюции U(t) =e–iHt будущее и прошлое играют одну и ту же
роль, так как независимо от того, какие знаки имеют t1 и t2 выполняется
свойство U(t1+t2) = U(t1) + U(t2) . Принято говорить, что оператор эволюции
U(t) образует динамическую группу. Пробные функции же принадлежат двум
различным классам в зависимости от того, какую эволюцию – прямую (в
будущее) или обратную (в прошлое) – мы рассматриваем. Это означает, что
динамическая группа, порождаемая оператором эволюции U(t) , распадается на
две полугруппы – одну для оператора U(+t) , другую – для U(–t) .
Введение стрелы времени позволяет сделать шаг вперёд в рассмотрении уже
упоминавшихся больших систем Пуанкаре – например, в задаче рассеяния.
Возникающие в теории возмущений малые знаменатели вида [pic]регуляризуются
введением малой мнимой добавки: [pic]при e ® 0 . Это устраняет расходимость
– но такая добавка есть не что иное, как введение хронологического
упорядочения на микроскопическом уровне! В результате симметричное во
времени уравнение Шрёдингера порождает два класса решений, одно из которых
соответствует прямому. а другое – обратному рассеянию. Решение уравнений
обладает меньшей симметрией, чем уравнения движения.
Аналогичный подход в квантовой статистической теории – решение задачи на
собственные значения супероператора Лиувилля – также приводит к
необходимости мнимой добавки в знаменатель, и собственные функции
супероператора Лиувилля перестают быть произведениями волновых функций.
Получающиеся уравнения Лиувилля–фон Неймана не могут быть выведены из
уравнения Шрёдингера. В этом смысле концепция Пригожина приводит к
альтернативной квантовой теории.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В концепции И. Пригожина необратимость процессов во времени вводится на
микроскопическом уровне. В квантовой теории это достигается рассмотрением
пространства обобщённых функций вместо обычного гильбертова пространства,
при этом оператор эволюции системы перестаёт быть унитарным, а его
собственные значения становятся комплексными. Мнимая часть этих собственных
значений после подстановки в уравнение Шрёдингера отвечает за затухание,
что соответствует необратимости времени.
Другая важная черта квантовой теории в концепции Пригожина – принципиальная
несводимость получаемых решений к волновым функциям отдельных частиц.
Статистическое описание с использованием матрицы плотности становится
необходимым с самого начала, мы больше не можем рассуждать иначе, как в
терминах ансамблей.
В отличие от копенгагенской интерпретации квантовой механики, не требуется
постулата о редукции волнового пакета и существования внешнего наблюдателя
с классическим прибором. В этом есть некоторое сходство с многомировой
интерпретацией Эверетта, так как можно вводить понятие волновой функции
Вселенной. Однако, математический аппарат теории Пригожина не требует
введения процесса дефакторизации волновой функции и сложных процедур выбора
базиса, связанного с объектом.
Введение вероятностей в концепции Пригожина вполне совместимо с физическим
реализмом, и его не требуется объяснять неполнотой нашего знания.
Наблюдатель более не играет активной роли в эволюции природы – по крайней
мере, играет роль не большую, чем в классической физике. Эта роль крайне
далека от роли демиурга, которой копенгагенская интерпретация квантовой
физики наделяет наблюдателей, считая их ответственными за переход от
потенциальной возможности природы к актуальности.
Самым же, вероятно, важным, является то, что одна и та же математическая
структура, включающая в себя хаос, позволяет решить и парадокс времени, и
квантовый парадокс – две проблемы, которые омрачали горизонты физики на
протяжении многих-многих лет.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант – М.: Прогресс, 1994
2. Барвинский А. О., Каменщик А. Ю., Пономарёв В. Н. Фундаментальные
проблемы интерпретации квантовой механики. Современный подход – М.:
Изд-во МГПИ, 1988
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 1, Механика – М.:
Наука, 1988
4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 3, Квантовая
механика. Нерелятивистская теория – М.: Наука, 1990
5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 5, Статистическая
физика. Часть 1 – М.: Наука, 1988
6. Эйнштейн А. Собрание сочинений в четырёх томах, т. 3 – ст. Испускание
и поглощение излучения по квантовой теории – М.: Наука, 1966
