Законы сохранения в механике
ЗМІСТ
ВСТУП 2
ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ЕНЕРГІЇ СИСТЕМИ. 3
1.1. Потенціальна енергія системи. 3
1.2. Кінетична енергія системи. 6
1.3. Класифікація сил. 7
1.4. Закон збереження енергії. 8
II. ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ІМПУЛЬСУ. 12
2.1. Імпульс частинки. 12
2.2. Імпульс системи. 12
2.3. Закон збереження імпульсу. 14
III. ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ МОМЕНТУ ІМПУЛЬСУ 18
3.1. Момент імпульсу частинки. 18
3.2. Рівняння моментів. 19
3.3. Момент імпульсу і момент сили відносно осі. 21
3.4. Закон збереження моменту імпульсу. 23
ВИСНОВОК 29
ЛІТЕРАТУРА 31
ВСТУП
Закони збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу відносяться до
числа тих найбільш фундаментальних принципів фізики, значення яких важко
переоцінити. Роль цих законів особливо зросла після того, як вияснилось, що
вони далеко виходять за рамки механіки і представляють собою універсальні
закони природи. До цих пір не було виявлено жодного явища, де б
порушувались ці закони. Вони безпомилково “діють” і в області елементарних
частинок, і в області космічних об’єктів, у фізиці атома і фізиці твердого
тіла та являються одними з тих небагатьох загальних законів, які лежать в
основі сучасної фізики.
Відкривши можливість іншого підходу до розгляду класичних механічних
явищ, закони збереження стали потужним інструментом дослідження, яким
кожного дня користуються фізики. Ця найважливіша роль законів збереження як
інструмента дослідження обумовлена рядом причин.
Закони збереження не залежать ні від траєкторій частинок, ні від характеру
діючих сил. Тому вони дозволяють отримати ряд досить загальних і важливих
висновків про властивості різних механічних процесів, не занурюючись в їх
детальний розгляд за допомогою рівнянь руху. Якщо, наприклад, виявляється,
що якийсь процес суперечить законам збереження, то одразу можна
стверджувати: цей процес неможливий і безглуздо намагатися його здійснити.
Той факт, що закони збереження не залежать від характеру діючих сил,
дозволяє використовувати їх навіть тоді, коли сили взагалі невідомі. В цих
випадках закони збереження є єдиним і незамінним інструментом дослідження.
Так, наприклад, відбувається у фізиці елементарних частинок.
Навіть в тих випадках, коли сили відомі, закони збереження допомагають
розв’язувати багато задач про рух частинок. Всі ці задачі можуть бути
розв’язані за допомогою рівнянь руху, але застосування законів збереження
дуже часто дозволяє отримувати розв’язок більш простим шляхом.
ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ЕНЕРГІЇ СИСТЕМИ.
3 Потенціальна енергія системи.
Розглянемо замкнуту систему, між частинками якої діють тільки
центральні сили, тобто сили, які залежать лише від відстані між частинками
і напрямлені по прямій, що їх з’єднує.
Покажемо, що в довільній системі відліку робота всіх цих сил при
переході системи частинок із одного стану в інший може бути представлена як
спадання деякої функції, що залежить тільки від конфігурації самої системи
або від відносного розташування її частинок. Цю функцію назвемо власною
потенціальною енергією системи (на відміну від потенціальної енергії, яка
характеризується взаємодією даної системи з іншими тілами).
Спочатку візьмемо систему з двох частинок. Обчислимо елементарну
роботу сил, з якими ці частинки взаємодіють між собою. Нехай в довільній
системі відліку в деякий момент часу розташування частинок визначається
радіус векторами [pic] і [pic]. Якщо за час [pic] частинки здійснили
переміщення [pic] і [pic], то робота сил взаємодії [pic] і [pic] буде
дорівнювати:
[pic].
Тепер враховуємо, що згідно третього закону Ньютона [pic], тому
попередній вираз можна записати у вигляді:
[pic].
Введемо вектор [pic], який характеризує положення 1-ї частинки
відносно 2-ї. Тоді [pic] і після підстановки в вираз для роботи отримаємо:
[pic].
Сила [pic] – центральна, тому робота цієї сили дорівнює спаданню
потенціальної енергії взаємодії даної пари частинок, тобто:
[pic].
Оскільки функція [pic] залежить лише від відстані [pic] між
частинками, то зрозуміло, що робота [pic] не залежить від вибору системи
відліку.
Тепер звернемось до системи з трьох частинок. Елементарна робота, яку
здійснюють всі сили взаємодії при елементарному переміщенні всіх частинок,
може бути представлена як сума елементарних робіт всіх трьох пар взаємодій,
тобто [pic]. Але для кожної пари взаємодій, як було показано, [pic], тому:
[pic],
де функція [pic] є власною потенціальною енергією даної системи
частинок:
[pic].
Оскільки кожний доданок цієї суми залежить від відстані між
відповідними частинками, то очевидно, що власна потенціальна енергія [pic]
даної системи залежить від відносного розміщення частинок (в один і той же
момент), або, іншими словами, від конфігурації системи.
Зрозуміло, що подібні роздуми справедливі і для системи з довільного
числа частинок. Тому можна стверджувати, що кожній конфігурації довільної
системи частинок властива своя власна потенціальна енергія [pic], і робота
всіх внутрішніх центральних сил при зміні цієї конфігурації дорівнює спаду
власної потенціальної енергії системи, тобто:
[pic],
а при скінченному переміщенні всіх частинок системи
[pic],
де [pic] і [pic] – значення потенціальної енергії системи в
початковому і кінцевому станах.
Власна потенціальна енергія системи [pic] – величина неадитивна, тобто
вона не дорівнює в загальному випадку сумі власних потенціальних енергій її
частин. Необхідно врахувати ще й потенціальну енергію взаємодії [pic]
окремих частин системи:
[pic],
де [pic] – власна потенціальна енергія [pic]-ї частинки системи.
Слід також мати на увазі, що власна потенціальна енергія системи, як і
потенціальна енергія взаємодії кожної пари частинок, визначає з точністю до
додавання довільної сталої, яка тут є зовсім несуттєвою.
Запишемо формули для розрахунку власної потенціальної енергії системи.
Перш за все покажемо, що ця енергія може бути представлена як:
[pic], (1)
де [pic] – потенціальна енергія взаємодії [pic]-ї частинки з усіма
іншими частинками системи. Тут сума береться по всім частинам системи.
Переконаємося у справедливості цієї формули спочатку для системи з
трьох частинок. Вище було показано, що власна потенціальна енергія даної
системи [pic]. Перетворимо цю суму наступним чином. Представимо кожний
доданок [pic] в симетричному виді:
[pic],
або зрозуміло, що [pic]. Тоді:
[pic].
Згрупуємо члени з однаковим першим індексом:
[pic].
Кожна сума в круглих дужках представляє собою потенціальну енергію
[pic] взаємодії [pic]-ї частинки з іншими двома. Тому останній вираз можна
переписати так:
[pic],
що повністю відповідає формулі (1).
Узагальнення отриманого результату на довільну систему очевидне,
оскільки зрозуміло, що подібні міркування зовсім не залежать від числа
частинок, які складають систему.
Для системи, взаємодія між частинками якої носить гравітаційний або
кулонівський характер, формулу (1) можна перетворити і надати їй іншого
вигляду, скориставшись поняттям потенціалу. Замінимо в (1) потенціальну
енергію [pic]-ї частинки виразом [pic], де [pic] – маса (заряд) [pic]-тої
частинки, а [pic] – потенціал, що утворюють всі інші частинки системи в
точці знаходження [pic]-тої частинки. Тоді:
[pic].
Якщо розподілення маси (заряду) в системі неперервне, то додавання
зводиться до інтегрування:
[pic],
де [pic] – об’ємна густина маси (заряду), [pic] – елемент об’єму.
Тут інтегрування проводиться по всьому об’єму, що займають маси
(заряди).
4 Кінетична енергія системи.
Розглянемо в деякій системі відліку довільну систему частинок. Нехай
[pic]-та частинка системи має в даний момент кінетичну енергію [pic].
Приріст кінетичної енергії кожної частинки дорівнює роботі всіх сил, що
діють на цю частинку: [pic]. Знайдемо елементарну роботу, яку здійснюють
всі сили, що діють на всі частинки системи:
[pic],
де [pic] – сумарна кінетична енергія системи. Зауважимо, що кінетична
енергія системи – величина адитивна: вона дорівнює сумі кінетичних енергій
окремих частин системи незалежно від того, взаємодіють вони між собою чи
ні.
Отже, приріст кінетичної енергії системи дорівнює роботі, яку
виконують всі сили, що діють на всі частинки системи. При елементарному
переміщенні всіх частинок:
[pic], (2)
а при кінцевому переміщенні:
[pic]. (3)
Рівняння (2) можна представити і в іншій формі поділивши обидві
частинки його на відповідний проміжок часу [pic]. Маючи при цьому на увазі,
що [pic], отримаємо:
[pic], (4)
тобто похідна кінетичної енергії системи по часу дорівнює сумарній
потужності всіх сил, які діють на всі частинки системи.
Рівняння (2)-(4) справедливі як в інерціальних, так і в неінерціальних
системах відліку. Слід тільки розуміти, що в неінерціальних системах крім
роботи сил взаємодії необхідно враховувати і роботу сил інерції.
5 Класифікація сил.
Відомо, що частинки системи, яка розглядається, можуть взаємодіяти як
між собою, так і з тілами, що не входять в дану систему. У зв’язку з цим
дані сили взаємодії між частинками системи називають внутрішніми, а сили,
які зумовлені дією інших тіл, що не входять в дану систему – зовнішніми. В
неінерційній системі відліку до останніх відносять і сили інерції.
Крім того, всі сили поділяють на потенціальні і непотенціальні.
