зовнішніх сил за відповідний проміжок часу. І тут [pic] – результуюча всіх
зовнішніх сил.
Рівняння (15) і (16) справедливі як в інерціальній, так і в
неінерціальній системі відліку. Слід тільки мати на увазі, що в
неінерціальній системі відліку необхідно враховувати і дію сил інерції, що
відіграють роль зовнішніх сил.
10 Закон збереження імпульсу.
Застосування другого та третього законів динаміки до системи, яка
складається із декількох взаємодіючих тіл, приводить до дуже важливих
висновків, з яких випливає закон збереження імпульсу.
Розглянемо систему, яка складається з [pic] частинок (матеріальних
точок). Позначимо через [pic] силу, з якою [pic]-та частинка діє на [pic]-
ту (перший індекс вказує на номер частинки, на яку діє сила, другий індекс
– номер частинки, взаємодією якої обумовлена ця сила). Символом [pic]
позначимо результуючу всіх зовнішніх сил, що діють на [pic]-ту частинку.
Напишемо рівняння руху всіх [pic] частинок:
[pic],
[pic],
...
[pic] [pic],
...
[pic] [pic],
([pic] – імпульс [pic]-тої частинки).
Додамо всі ці рівняння. Зліва отримаємо похідну по часу від сумарного
імпульсу системи:
[pic].
Справа відмінною від нуля буде лише сума зовнішніх сил [pic]. Дійсно,
суму зовнішніх сил можна представити у вигляді:
[pic].
Згідно з третім законом Ньютона кожна із дужок буде дорівнювати нулю.
Відповідно, сума внутрішніх сил, що діють на тіла системи, завжди дорівнює
нулю:
[pic].
Тоді отримаємо:
[pic].
Таким чином, похідна по часу від сумарного імпульсу системи дорівнює
сумі зовнішніх сил, які діють на тіла системи.
Якщо система замкнута, зовнішні сили відсутні і права частина
останнього рівняння дорівнює нулю. Тому відповідно [pic], а звідси
випливає, що [pic].
Таким чином, ми прийшли до важливого висновку, а саме – закону
збереження імпульсу:
в інерціальній системі відліку імпульс замкнутої системи частинок
залишається постійним, тобто не змінюється з часом.
При цьому імпульси окремих частинок замкнутої системи можуть
змінюватися. Однак ці зміни завжди відбуваються так, що приріст імпульсу
однієї частини системи дорівнює спаданню імпульсу частини системи, що
залишилась. Іншими словами, окремі частини замкнутої системи можуть лише
обмінюватися імпульсами. Спостерігаючи в деякій системі приріст імпульсу,
ми можемо стверджувати, що цей приріст відбувся за рахунок спаду імпульсу в
оточуючих тілах.
В цьому розумінні рівняння (15) і (16) слід розглядати як більш
загальне формулювання закону збереження імпульсу, в якому вказана причина
зміни імпульсу в незамкнутій системі – дія інших тіл (зовнішніх сил). Вище
сказане, зрозуміло, справедливе по відношенню до інерціальних систем
відліку.
Імпульс може зберігатися і в незамкненій системі при умові, що
результуюча всіх зовнішніх сил дорівнює нулю. Це безпосередньо витікає з
рівнянь (15) і (16). У практичному відношенні збереження імпульсу в цих
випадках являє особливий інтерес, тому що дає можливість отримувати досить
простим шляхом ряд свідчень про поведінку системи, не заглиблюючись в
детальний розгляд процесу.
У незамкнутій систему може зберігатися не сам імпульс, а його проекція
[pic] на деякий напрям [pic]. Це буває тоді, коли проекція результуючої
зовнішньої сили [pic] на напрямок [pic] дорівнює нулю, тобто вектор [pic]
перпендикулярний йому. Дійсно, спроектувавши рівняння (15), отримаємо:
[pic],
звідки випливає, що якщо [pic], то [pic].
В основі закону збереження імпульсу лежить однорідність простору,
тобто однаковість властивостей простору в усіх точках. Паралельне
перенесення замкнутої системи з одного місця в інше без зміни взаємного
розташування і швидкостей частинок не змінює механічних властивостей
системи. Поведінка системи на новому місці буде такою ж, якою вона була на
минулому місці.
Роздуми, які привели нас до закону збереження імпульсу, цілком
спиралися на справедливість законів Ньютона. Вважалося, що матеріальні
точки замкнутої системи взаємодіють між собою попарно і ця взаємодія
підкоряється третьому закону Ньютона.
А що відбувається у випадку систем, які не підкоряються законам
Ньютона, наприклад в системах з електромагнітним випромінюванням?
Відповідь на це запитання дає досвід, який показує, що закон
збереження імпульсу виявляється справедливим і для таких систем. Однак в
цих випадках в загальному балансі імпульсу необхідно враховувати не лише
імпульси частинок, але й імпульс, яким володіє саме поле випромінювання.
Таким чином, досвід показує, що закон збереження імпульсу являє собою
фундаментальний закон природи, який не знає жодних винятків. Але в такому
широкому розумінні він вже не є наслідком законів Ньютона, а повинен
розглядатися як самостійний загальний принцип, що є узагальненням фактів.
ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ МОМЕНТУ ІМПУЛЬСУ
12 Момент імпульсу частинки.
Аналіз поведінки систем показує, що крім енергії та імпульсу існує ще
одна механічна величина, з якою також пов’язаний закон збереження – це
момент імпульсу . що це за величина і які її властивості?
|[pic] |[pic] |
|Рис. 1 |Рис. 2 |
Візьмемо спочатку одну частинку. Нехай [pic][pic] – радіус-вектор,
який характеризує її положення відносно деякої точки [pic] вибраної системи
відліку, а [pic] – її імпульс в цій системі (рис. 1). Момент імпульсу [pic]
матеріальної точки відносно деякої точки [pic] називається векторний
добуток радіус-вектора [pic] на її імпульс [pic]:
[pic]. (17)
Модуль цієї величини, що дорівнює [pic], можна представити у вигляді
добутку плеча [pic] імпульсу на модуль вектора [pic]:
[pic].
Частинка володіє моментом імпульсу незалежно від форми траєкторії, по
якій вона рухається. Розглянемо два випадки.
|[pic] |
|Рис. 3 |
Частинка рухається вздовж прямолінійної траєкторії (рис. 3). Модуль моменту
імпульсу [pic] може змінюватися тільки за рахунок зміни модуля швидкості.
|[pic] |
|Рис. 4 |
Частинка рухається по колу радіуса [pic] (рис. 4). Модуль моменту імпульсу
відносно центру кола дорівнює [pic] і так само, як і в попередньому
випадку, може змінюватися лише за рахунок зміни модуля швидкості. Не
дивлячись на неперервну зміну напряму вектора [pic], напрям вектора [pic]
залишається постійним.
13 Рівняння моментів.
З’ясуємо яка механічна величина відповідає за зміну вектора [pic] в
даній системі відліку. Для цього продиференціюємо рівняння (17) по часу:
[pic].
Оскільки точка [pic] є нерухомою, то вектор [pic] дорівнює швидкості
[pic] частинки, тобто співпадає за напрямком з вектором [pic], тому:
[pic].
Далі, згідно з другим законом Ньютона, [pic], де [pic] – рівнодійна
всіх сил, які прикладені до частинки. Відповідно:
[pic].
Величину, що стоїть в правій частині цього рівняння, називають
моментом сили [pic] відносно точки [pic] (рис. 2). Позначивши його буквою
[pic], запишемо:
[pic].
Модуль цього вектора дорівнює:
[pic],
де [pic] – довжина перпендикулярна, опущеного з точки [pic] на пряму,
вздовж якої напрямлений імпульс частинки. Ця відстань називається плечем
вектора [pic] відносно точки [pic].
Отже, похідна по часу від моменту імпульсу [pic] частинки відносно
деякої точки [pic] вибраної системи відліку дорівнює моменту [pic]
рівнодійної сили [pic] відносно тієї ж точки [pic]:
[pic]. (18)
Це рівняння називається рівнянням моментів. Зауважимо, що якщо система
відліку є неінерціальною, то момент сили [pic] включає в себе як момент сил
взаємодії, так і момент сил інерції (відносно тієї ж точки [pic]).
Із рівняння моментів (18) слідує, що якщо [pic], то [pic]. Іншими
словами, якщо відносно деякої точки [pic] вибраної системи відліку момент
усіх сил, що діють на частинку, дорівнює нулю протягом певного проміжку
часу, який нас цікавить, то відносно цієї точки момент імпульсу частинки
залишається постійним протягом цього часу. Рівняння моментів (18) дозволяє
отримати відповідь на два питання:
знайти момент сили [pic] відносно довільної точки [pic] в будь-який
проміжок часу [pic], якщо відома залежність від часу моменту імпульсу [pic]
частинки відносно тієї ж точки;
визначити приріст моменту імпульсу частинки відносно точки [pic] за
довільний проміжок часу, якщо відома залежність від часу моменту сили
[pic], що діє на цю частинку (відносно тієї ж точки [pic]).
Вирішення першого питання зводиться до знаходження похідної по часу
від моменту імпульсу, тобто [pic], яка і дорівнює шуканому моменту сили
[pic].
Вирішення другого питання зводиться до інтегрування рівняння (18).
Помноживши обидві частини цього рівняння на [pic], отримаємо [pic] – вираз,
який визначає елементарний приріст вектора [pic]. Проінтегрувавши цей вираз
по часу, знайдемо приріст вектора [pic] за скінчений проміжок часу [pic]:
[pic].
Величину, яка стоїть в правій частині цього рівняння, називають
імпульсом моменту сили. Таким чином, приріст моменту імпульсу частинки за
довільний проміжок часу дорівнює імпульсу моменту сили за той же час.
14 Момент імпульсу і момент сили відносно осі.
Візьмемо в деякій системі відліку довільну нерухому вісь [pic]. Нехай
відносно деякої точки [pic] на осі [pic] момент імпульсу частинки [pic]
дорівнює [pic], а момент сили, що діє на частинку, [pic].
