что религиозные и светские установления вечны, так как даны богами,
требует, чтобы они были записаны и стали общедоступными, ибо правители
искажают божественную волю и толкуют ее по-своему. Однако нетрудно понять,
что систематическое изложение религиозных и мифологических представлений
(попытка такого изложения была дана Гесиодом) не могло не нанести
серьезного удара религии. При проверке религиозных измышлений логикой
первые, несомненно, показались бы конгломератом нелепостей.
«Таким образом, материалистическое мировоззрение Фалеса и его
последователей не является каким-то загадочным, не от мира сего порождением
«греческого духа». Оно является продуктом вполне определенных социально-
экономических условий и выражает интересы исторически-конкретных социальных
сил, прежде всего торгово-ремесленных слоев общества»[5] - пишет О. И.
Кедровский.
На основании всего вышеперечисленного еще нельзя с большой
уверенностью утверждать, что именно воздействие мировоззрения явилось
решающим фактором для возникновения доказательства; не исключено ведь, что
это произошло в силу других причин: потребностей производства, запросов
элементов естествознания, субъективных побуждений исследователей. Однако
можно убедиться, что каждая из этих причин не изменила принципиально своего
характера по сравнению с догреческой эпохой, непосредственно не приводящей
к превращению математики в доказательную науку. Например, для
удовлетворения потребностей техники было вполне достаточно практической
науки древнего Востока, в справедливости положений которой можно было
убедиться эмпирически. Сам процесс выявления этих положений показал, что
они дают достаточную для практических нужд точность.
Можно считать одним из побудительных мотивов возникновения
доказательства необходимость осмысления и обобщения результатов
предшественников. Однако и этому фактору не принадлежит решающая роль, так
как, например, существуют теории, воспринимаемые нами как очевидные, но
получившие строгое обоснование в античной математике (например, теория
делимости на 2).
Появление потребности доказательства в греческой математике получает
удовлетворительное объяснение, если учесть взаимодействие мировоззрения на
развитие математики. В этом отношении греки существенно отличаются от своих
предшественников. В их философских и математических исследованиях
проявляются вера в силу человеческого разума, критическое отношение к
достижениям предшественников, динамизм мышления. У греков влияние
мировоззрения превратилось из сдерживающего фактора математического
познания в стимулирующий, в действенную силу прогресса математики.
В том, что обоснование приняло именно форму доказательства, а не
остановилось на эмпирической проверке, решающим является появление новой,
мировоззренческой функции науки. Фалес и его последователи воспринимают
математические достижения предшественников прежде всего для удовлетворения
технических потребностей, но наука для них - нечто большее, чем аппарат для
решения производственных задач. Отдельные, наиболее абстрактные элементы
математики вплетаются в натурфилософскую систему и здесь выполняют роль
антипода мифологическим и религиозным верованиям. Эмпирическая
подтверждаемость для элементов философской системы была недостаточной в
силу общности их характера и скудности подтверждающих их фактов.
Математические знания же к тому времени достигли такого уровня развития,
что между отдельными положениями можно было установить логические связи.
Такая форма обоснований оказалась объективно приемлемой для математических
положений.
ПИФАГОРЕЙСКАЯ ШКОЛА
На основании данного выше исследования милетской школы можно лишь
убедиться в активном влиянии мировоззрения на процесс математического
познания только при радикальном изменении социально-экономических условий
жизни общества. Однако остаются открытыми вопросы о том, влияет ли
изменение философской основы жизни общества на развитие математики, зависит
ли математическое познание от изменения идеологической направленности
мировоззрения, имеет ли место обратное воздействие математических знаний на
философские идеи. Можно попытаться ответить на поставленные вопросы,
обратившись к деятельности пифагорейской школы.
Пифагореизм как направление духовной жизни существовал на протяжении
всей истории Древней Греции, начиная с VI века до н. э. и прошел в своем
развитии ряд этапов. Вопрос о их временной длительности сложен и до сих пор
не решен однозначно. Основоположником школы был Пифагор Самосский (ок. 580-
500 до н.э.). Ни одна строка, написанная Пифагором, не сохранилась; вообще
неизвестно, прибегал ли он к письменной передаче своих мыслей. Что было
сделано самим Пифагором, а что его учениками, установить очень трудно.
Свидетельства о нем древнегреческих авторов противоречивы; в какой-то мере
различные оценки его деятельности отражают многообразие его учения.
В пифагореизме выделяют две составляющие: практическую («пифагорейский
образ жизни») и теоретическую (определенная совокупность учений). В
религиозном учении пифагорейцев наиболее важной считалась обрядовая
сторона, затем имелось в виду создать определенное душевное состояние и
лишь потом по значимости шли верования, в трактовке которых допускались
разные варианты. По сравнению с другими религиозными течениями, у
пифагорейцев были специфические представления о природе и судьбе души. Душа
- существо божественное, она заключена в тело в наказание за прегрешения.
высшая цель жизни - освободить душу из телесной темницы, не допустить в
другое тело, которое якобы совершается после смерти. Путем для достижения
этой цели является выполнение определенного морального кодекса,
«пифагорейского образа жизни».[6] В многочисленной системе предписаний,
регламентировавших почти каждый шаг жизни, видное место отводилось занятиям
музыкой и научным исследованиям.
Теоретическая сторона пифагореизма тесно связана с практической. В
теоретических изысканиях пифагорейцы видели лучшее средство освобождения
души из круга рождений, а их результаты стремились использовать для
рационального обоснования предполагаемой доктрины. Вероятно, в деятельности
Пифагора и его ближайших учеников научные положения были перемешаны с
мистикой, религиозными и мифологическими представлениями. Вся эта
«мудрость» излагалась в качестве изречений оракула, которым придавался
скрытый смысл божественного откровения.
Основными объектами научного познания у пифагорейцев были
математические объекты, в первую очередь числа натурального ряда (вспомним
знаменитое «Число есть сущность всех вещей»[7]). Видное место отводилось
изучению связей между четными и нечетными числами. В области геометрических
знаний внимание акцентируется на наиболее абстрактных зависимостях.
Пифагорейцами была построена значительная часть планиметрии прямоугольных
фигур; высшим достижением в этом направлении было доказательство теоремы
Пифагора, частные случаи которой за 1200 лет до этого приводятся в
клинописных текстах вавилонян. Греки доказывают ее общим образом. Некоторые
источники приписывают пифагорейцам даже такие выдающиеся результаты, как
построение пяти правильных многогранников.
Числа у пифагорейцев выступают основополагающими универсальными
объектами, к которым предполагалось свести не только математические
построения, но и все многообразие действительности. Физические, этические,
социальные и религиозные понятия получили математическую окраску. Науке о
числах и других математических объектах отводится основополагающее место в
системе мировоззрения, то есть фактически математика объявляется
философией. Как писал Аристотель, «...у чисел они усматривали, казалось бы,
много сходных черт с тем, что существует и происходит, - больше, чем у
огня, земли и воды... У них, по-видимому, число принимается за начало и в
качестве материи для вещей, и в качестве выражения для их состояний и
свойств... Например, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-
то - душа и ум, другое - удача, и можно сказать - в каждом из остальных
случаев точно также»[8].
Если сравнивать математические исследования ранней пифагорейской и
милетской школ, то можно выявить ряд существенных различий. Так,
математические объекты рассматривались пифагорейцами как первосущность
мира, то есть радикально изменилось само понимание природы математических
объектов. Кроме того, математика превращена пифагорейцами в составляющую
религии, в средство очищения души, достижения бессмертия. И наконец,
пифагорейцы ограничивают область математических объектов наиболее
абстрактными типами элементов и сознательно игнорируют приложения
математики для решения производственных задач. Но чем же обусловлены такие
глобальные расхождения в понимании природы математических объектов у школ,
существовавших практически в одно и то же время и черпавших свою мудрость,
по-видимому, из одного и того же источника - культуры Востока? Впрочем,
Пифагор, скорее всего, пользовался достижениями милетской школы, так как у
него, как и у Фалеса, обнаруживаются основные признаки умственной
деятельности, отличающиеся от догреческой эпохи; однако математическая
деятельность этих школ носила существенно различный характер.
Аристотель был одним из первых, кто попытался объяснить причины
появления пифагорейской концепции математики. Он видел их в пределах самой
математики: «Так называемые пифагорейцы, занявшись математическими науками,
впервые двинули их вперед и, воспитавшись на них, стали считать их началами
всех вещей»[9]. Подобна точка зрения не лишена основания хотя бы в силу
применимости математических положений для выражения отношений между
различными явлениями. На этом основании можно, неправомерно расширив данный
момент математического познания, прийти к утверждению о выразимости всего
сущего с помощью математических зависимостей, а если считать числовые
отношения универсальными, то «число есть сущность всех вещей»[10]. Кроме
того, ко времени деятельности пифагорейцев математика прошла длинный путь
исторического развития; процесс формирования ее основных положений терялся
во мраке веков. Таким образом, появлялось искушение пренебречь им и
