объявить математические объекты чем-то первичным по отношению к
существующему миру. Именно так и поступили пифагорейцы.
В советской философской науке проблема появления пифагорейской
концепции математики рассматривалась, естественно, с позиций марксистско-
ленинской философии. Так, О.И. Кедровский пишет: «...Выработанная им
(Пифагором) концепция объективно оказалась идеологией вполне определенных
социальных слоев общества. Это были ...представители аристократии, теснимые
демосом... Для них характерно стремление уйти от тягот земной жизни,
обращение к религии и мистике»[11]. Эта точка зрения, как и первая, не
лишена смысла; истина же, вероятно, находится где-то посередине. Однако, на
мой взгляд, крах пифагорейского учения следует связывать, в первую очередь,
не с вырождением аристократии как класса, а с попыткой пифагорейцев
извратить саму природу процесса математического познания, лишив математику
таких важных источников прогресса, как приложения к производству, открытое
обсуждение результатов исследований, коллективное творчество, удержать
прогресс математики в рамках рафинированного учения для посвященных.
Кстати, сами пифагорейцы подорвали свой основополагающий принцип «число
есть сущность всех вещей», открыв, что отношение диагонали и стороны
квадрата не выражается посредством целых чисел.
Таким образом, уже в исходном пункте своего развития теоретическая
математика была подвержена влиянию борьбы двух типов мировоззрения -
материалистического и религиозно-идеалистического. Мы же убедились, что
наряду с влиянием мировоззрения на развитие математического познания, имеет
место и обратное воздействие.
ЭЛЕЙСКАЯ ШКОЛА
Элейская школа довольно интересна для исследования, так как это одна
из древнейших школ, в трудах которой математика и философия достаточно
тесно и разносторонне взаимодействуют. Основными представителями элейской
школы считают Парменида (конец VI - V в. до н.э.) и Зенона (первая половина
V в. до н.э.).
Философия Парменида заключается в следующем: всевозможные системы
миропонимания базируются на одной из трех посылок: 1) есть только бытие,
небытия нет; 2) существует не только бытие, но и небытие; 3) бытие и
небытие тождественны. Истинный Парменид признает только первую посылку.
Согласно ему, бытие едино, неделимо, неизменяемо, вневременно, закончено в
себе, только оно истинно сущее; множественность, изменчивость, прерывность,
текучесть - все это удел мнимого.
С защитой учения Парменида от возражений выступил его ученик Зенон.
Древние приписывали ему сорок доказательств для защиты учения о единстве
сущего (против множественности вещей) и пять доказательств его
неподвижности (против движения). Из них до нас дошло всего девять.
Наибольшей известностью во все времена пользовались зеноновы доказательства
против движения; например, «движения не существует на том основании, что
перемещающееся тело должно прежде дойти до половины, чем до конца, а чтобы
дойти до половины, нужно пройти половину этой половины и т.д.»[12].
Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения «здравого
смысла», выводам, но их нельзя было просто отбросить как несостоятельные,
поскольку и по форме, и по содержанию удовлетворяли математическим
стандартам той поры. Разложив апории Зенона на составные части и двигаясь
от заключений к посылкам, можно реконструировать исходные положения,
которые он взял за основу своей концепции. Важно отметить, что в концепции
элеатов, как и в дозеноновской науке, фундаментальные философские
представления существенно опирались на математические принципы. Видное
место среди них занимали следующие аксиомы:
1. Сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и бесконечно малых,
но протяженных величин должна быть бесконечно большой;
2. Сумма любого, хотя бы и бесконечно большого числа непротяженных
величин всегда равна нулю и никогда не может стать некоторой заранее
заданной протяженной величиной.
Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представлений с
фундаментальными математическими положениями удар, нанесенный Зеноном по
философским воззрениям, существенно затронул систему математических знаний.
Целый ряд важнейших математических построений, считавшихся до этого
несомненно истинными, в свете зеноновских построений выглядели как
противоречивые. Рассуждения Зенона привели к необходимости переосмыслить
такие важные методологические вопросы, как природа бесконечности,
соотношение между непрерывным и прерывным и т.п. Они обратили внимание
математиков на непрочность фундамента их научной деятельности и таким
образом оказали стимулирующее воздействие на прогресс этой науки.
Следует обратить внимание и на обратную связь - на роль математики в
формировании элейской философии. Так, установлено, что апории Зенона
связаны с нахождением суммы бесконечной геометрической прогрессии. На этом
основании советский историк математики Э. Кольман сделал предположение, что
«именно на математический почве суммирования таких прогрессий и выросли
логико-философские апории Зенона»[13]. Однако такое предположение, по-
видимому, лишено достаточных оснований, так как оно слишком жестко
связывает учение Зенона с математикой при том, что имеющие исторические
данные не дают основания утверждать, что Зенон вообще был математиком.
Огромное значение для последующего развития математики имело повышение
уровня абстракции математического познания, что произошло в большей степени
благодаря деятельности элеатов. Конкретной формой проявления этого процесса
было возникновение косвенного доказательства («от противного»), характерной
чертой которого является доказательство не самого утверждения, а
абсурдности обратного ему. Таким образом, был сделан шаг к становлению
математики как дедуктивной науки, созданы некоторые предпосылки для ее
аксиоматического построения.
Итак, философские рассуждения элеатов, с одной стороны, явились мощным
толчком для принципиально новой постановки важнейших методологических
вопросов математики, а с другой - послужили источником возникновения
качественно новой формы обоснования математических знаний.
ДЕМОКРИТ
Аргументы Зенона вскрыли внутренние противоречия, которые имели место
в сложившихся математических теориях. Тем самым факт существования
математики был поставлен под сомнение. Какими же путями разрешались
противоречия, выявленные Зеноном ?
Простейшим выходом из создавшегося положения бал отказ от абстракций в
пользу того, что можно непосредственно проверить с помощью ощущений. Такую
позицию занял софист Протагор. Он считал, что «мы не можем представить себе
ничего прямого или круглого в том смысле, как представляет эти термины
геометрия; в самом деле, круг касается прямой не в одной точке»[14]. Таким
образом, из математики следует убрать как ирреальные: представления о
бесконечном числе вещей, так как никто не может считать до бесконечности;
бесконечную делимость, поскольку она неосуществима практически и т.д. Таким
путем математику можно сделать неуязвимой для рассуждений Зенона, но при
этом практически упраздняется теоретическая математика. Значительно сложнее
было построить систему фундаментальных положений математики, в которой бы
выявленные Зеноном противоречия не имели бы места. Эту задачу решил
Демокрит, разработав концепцию математического атомизма.
Демокрит был, по мнению Маркса, «первым энциклопедическим умом среди
греков»[15]. Диоген Лаерций (III в. н.э.) называет 70 его сочинений, в
которых были освещены вопросы философии, логики, математики, космологии,
физики, биологии, общественной жизни, психологии, этики, педагогики,
филологии, искусства, техники и другие. Аристотель писал о нем: «Вообще,
кроме поверхностных изысканий, никто ничего не установил, исключая
Демокрита. Что же касается его, то получается такое впечатление, что он
предусмотрел все, да и в методе вычислений он выгодно отличается от
других»[16].
Вводной частью научной системы Демокрита была «каноника», в которой
формулировались и обосновывались принципы атомистической философии. Затем
следовала физика, как наука о различных проявлениях бытия, и этика.
Каноника входила в физику в качестве исходного раздела, этика же строилась
как порождение физики. В философии Демокрита прежде всего устанавливается
различие между «подлинно сущим» и тем, что существует только в «общем
мнении». Подлинно сущими считались лишь атомы и пустота. Как подлинно
сущее, пустота (небытие) есть такая же реальность, как атомы (бытие).
«Великая пустота» безгранична и заключает в себе все существующее, в ней
нет ни верха, ни низа, ни края, ни центра, она делает прерывной материю и
возможным ее движение. Бытие образуют бесчисленные мельчайшие качественно
однородные первотельца, различающиеся между собой по внешним формам,
размеру, положению и порядку, они далее неделимы вследствие абсолютной
твердости и отсутствия в них пустоты и «по величине неделимы». Атомам самим
по себе свойственно непрестанное движение, разнообразие которого
определяется бесконечным разнообразием форм атомов. Движение атомов вечно и
в конечном итоге является причиной всех изменений в мире.
Задача научного познания, согласно Демокриту, состоит в том, чтобы
наблюдаемые явления свести к области «истинного сущего» и дать им
объяснение исходя из общих принципов атомистики. Это может быть достигнуто
посредством совместной деятельности ощущений и разума. Гносеологическую
позицию Демокрита Маркс сформулировал следующим образом: «Демокрит не
только не удалялся от мира, а, наоборот, был эмпирическим
естествоиспытателем»[17]. Содержание исходных философских принципов и
гносеологические установки определили основные черты научного метода
Демокрита:
а) в познании исходить от единичного;
б) любые предмет и явление разложимы до простейших элементов (анализ)
и объяснимы исходя из них (синтез);
в) различать существование «по истине» и «согласно мнению»;
г) явления действительности - это отдельные фрагменты упорядоченного
космоса, который возник и функционирует в результате действий чисто
механической причинности.
Математика по праву должна считаться у Демокрита первым разделом
