их началами всех вещей.” Подобна точка зрения не лишена основания хотя бы
в силу применимости математических положений для выражения отношений между
различными явлениями. На этом основании можно, неправомерно расширив
данный момент математического познания, прийти к утверждению о выразимости
всего сущего с помощью математических зависимостей, а если считать числовые
отношения универсальными, то “число есть сущность всех вещей”. Кроме того,
ко времени деятельности пифагорейцев математика прошла длинный путь
исторического развития; процесс формирования ее основных положений терялся
во мраке веков. Таким образом, появлялось искушение пренебречь им и
объявить математические объекты чем-то первичным по отношению к
существующему миру. Именно так и поступили пифагорейцы.
В советской философской науке проблема появления пифагорейской
концепции математики рассматривалась, естественно, с позиций
марксистско-ленинской философии. Так, О.И.Кедровский пишет:
“...Выработанная им (Пифагором) концепция объективно оказалась идеологией
вполне определенных социальных слоев общества. Это были ...представители
аристократии, теснимые демосом... Для них характерно стремление уйти от
тягот земной жизни, обращение к религии и мистике”. Эта точка зрения, как
и первая, не лишена смысла; истина же, вероятно, находится где-то
посередине. Однако, на мой взгляд, крах пифагорейского учения следует
связывать в первую очередь не с вырождением аристократии как класса, а с
попыткой пифагорейцев извратить саму природу процесса математического
познания, лишив математику таких важных источников прогресса, как
приложения к производству, открытое обсуждение результатов исследований,
коллективное творчество, удержать прогресс математики в рамках
рафинированного учения для посвященных. Кстати, сами пифагорейцы
подорвали свой основополагающий принцип “число есть сущность всех вещей”,
открыв, что отношение диагонали и стороны квадрата не выражается
посредством целых чисел.
Таким образом, уже в исходном пункте своего развития теоретическая
математика была подвержена влиянию борьбы двух типов мировоззрения -
материалистического и религиозно-идеалистического. Мы же убедились, что
наряду с влиянием мировоззрения на развитие математического познания имеет
место и обратное воздействие.
Глава 4
ЭЛЕЙСКАЯ ШКОЛА
Элейская школа довольно интересна для исследования, так как это одна из
древнейших школ, в трудах которой математика и философия достаточно тесно и
разносторонне взаимодействуют. Основными представителями элейской школы
считают Парменида (конец VI - V в. до н.э.) и Зенона (первая половина V в.
до н.э.).
Философия Парменида заключается в следующем: всевозможные системы
миропонимания базируются на одной из трех посылок: 1)Есть только бытие,
небытия нет; 2)Существует не только бытие, но и небытие; 3)Бытие и
небытие тождественны. Истинной Парменид признает только первую посылку.
Согласно ему, бытие едино, неделимо, неизменяемо, вневременно, закончено
в себе, только оно истинно сущее; множественность, изменчивость,
прерывность, текучесть - все это удел мнимого.
С защитой учения Парменида от возражений выступил его ученик Зенон.
Древние приписывали ему сорок доказательств для защиты учения о единстве
сущего (против множественности вещей) и пять доказательств его
неподвижности (против движения). Из них до нас дошло всего девять.
Наибольшей известностью во все времена пользовались зеноновы доказательства
против движения; например, “движения не существует на том основании, что
перемещающееся тело должно прежде дойти до половины, чем до конца, а чтобы
дойти до половины, нужно пройти половину этой половины и т.д.”.
Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения
“здравого смысла”, выводам, но их нельзя было просто отбросить как
несостоятельные, поскольку и по форме, и по содержанию удовлетворяли
математическим стандартам той поры. Разложив апории Зенона на составные
части и двигаясь от заключений к посылкам, можно реконструировать
исходные положения, которые он взял за основу своей концепции. Важно
отметить, что в концепции элеатов, как и в дозеноновской науке
фундаментальные философские представления существенно опирались на
математические принципы. Видное место среди них занимали следующие
аксиомы:
1. Сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и бесконечно малых, но
протяженных величин должна быть бесконечно большой;
2. Сумма любого, хотя бы и бесконечно большого числа непротяженных
величин всегда равна нулю и никогда не может стать некоторой заранее
заданной протяженной величиной.
Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представлений с
фундаментальными математическими положениями удар, нанесенный Зеноном по
философским воззрениям, существенно затронул систему математических
знаний. Целый ряд важнейших математических построений, считавшихся до
этого несомненно истинными, в свете зеноновских построений выглядели как
противоречивые. Рассуждения Зенона привели к необходимости переосмыслить
такие важные методологические вопросы, как природа бесконечности,
соотношение между непрерывным и прерывным и т.п. Они обратили внимание
математиков на непрочность фундамента их научной деятельности и таким
образом оказали стимулирующее воздействие на прогресс этой науки.
Следует обратить внимание и на обратную связь - на роль математики в
формировании элейской философии. Так, установлено, что апории Зенона
связаны с нахождением суммы бесконечной геометрической прогрессии. На
этом основании советский историк математики Э. Кольман сделал
предположение, что “именно на математический почве суммирования таких
прогрессий и выросли логико-философские апории Зенона”. Однако такое
предположение, по-видимому, лишено достаточных оснований, так как оно
слишком жестко связывает учение Зенона с математикой при том, что имеющие
исторические данные не дают основания утверждать, что Зенон вообще был
математиком.
Огромное значение для последующего развития математики имело
повышение уровня абстракции математического познания, что произошло в
большой степени благодаря деятельности элеатов. Конкретной формой
проявления этого процесса было возникновение косвенного доказательства
(“от противного”), характерной чертой которого является доказательство не
самого утверждения, а абсурдности обратного ему. Таким образом был сделан
шаг к становлению математики как дедуктивной науки, созданы некоторые
предпосылки для ее аксиоматического построения.
Итак, философские рассуждения элеатов, с одной стороны, явились мощным
толчком для принципиально новой постановки важнейших методологических
вопросов математики, а с другой - послужили источником возникновения
качественно новой формы обоснования математических знаний.
Глава 5
ДЕМОКРИТ
Аргументы Зенона вскрыли внутренние противоречия, которые имели место в
сложившихся математических теориях. Тем самым факт существования математики
был поставлен под сомнение. Какими же путями разрешались противоречия,
выявленные Зеноном ?
Простейшим выходом из создавшегося положения бал отказ от абстракций в
пользу того, что можно непосредственно проверить с помощью ощущений. Такую
позицию занял софист Протагор. Он считал, что “мы не можем представить себе
ничего прямого или круглого в том смысле, как представляет эти термины
геометрия; в самом деле, круг касается прямой не в одной точке”. Таким
образом, из математики следует убрать как ирреальные: представления о
бесконечном числе вещей, так как никто не может считать до бесконечности;
бесконечную делимость, поскольку она неосуществима практически и т.д.
Таким путем математику можно сделать неуязвимой для рассуждений Зенона, но
при этом практически упраздняется теоретическая математика. Значительно
сложнее было построить систему фундаментальных положений математики, в
которой бы выявленные Зеноном противоречия не имели бы места. Эту задачу
решил Демокрит, разработав концепцию математического атомизма.
Демокрит бал, по мнению Маркса, “первым энциклопедическим умом среди
греков”. Диоген Лаерций (III в. н.э.) называет 7О его сочинений, в которых
были освещены вопросы философии, логики, математики, космологии, физики,
биологии, общественной жизни, психологии, этики, педагогики, филологии,
искусства, техники и другие. Аристотель писал о нем: “Вообще, кроме
поверхностных изысканий, никто ничего не установил, исключая Демокрита.
Что же касается его, то получается такое впечатление, что он предусмотрел
все, да и в методе вычислений он выгодно отличается от других”.
Вводной частью научной системы Демокрита была “каноника”, в которой
формулировались и обосновывались принципы атомистической философии. Затем
следовала физика, как наука о различных проявлениях бытия, и этика.
Каноника входила в физику в качестве исходного раздела, этика же строилась
как порождение физики. В философии Демокрита прежде всего устанавливается
различие между “подлинно сущим” и тем, что существует только в “общем
мнении”. Подлинно сущими считались лишь атомы и пустота. Как подлинно
сущее, пустота (небытие) есть такая же реальность, как атомы (бытие).
“Великая пустота” безгранична и заключает в себе все существующее, в ней
нет ни верха, ни низа, ни края, ни центра, она делает прерывной материю и
возможным ее движение. Бытие образуют бесчисленные мельчайшие качественно
однородные первотельца, различающиеся между собой по внешним формам,
размеру, положению и порядку, они далее неделимы вследствие абсолютной
твердости и отсутствия в них пустоты и “по величине неделимы”. Атомам
самим по себе свойственно непрестанное движение, разнообразие которого
определяется бесконечным разнообразием форм атомов. Движение атомов
вечно и в конечном итоге является причиной всех изменений в мире.
Задача научного познания, согласно Демокриту, чтобы наблюдаемые явления
свести к области “истинного сущего” и дать им объяснение исходя из общих
принципов атомистики. Это может быть достигнуто посредством совместной
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
