возможность, очевидно, присуща всем живым существам; в самом деле, они
обладают прирожденной способностью разбираться, которая называется
чувственным восприятием. Формирование начал идет “от предшествующего и
более известного для нас”, то есть от того, что ближе к чувственному
восприятию к “предшествующему и более известному безусловно” (таким
является общее). Аристотель дает развернутую классификацию начал, исходя из
разных признаков.
Во-первых, он выделяет “начала, из которых (что-либо) доказывается, и
такие, о которых (доказывается)”. Первые “суть общие (всем начала)”,
вторые - “свойственные (лишь данной науке), например, число, величина”. В
системе начал общие занимают ведущее место, но их недостаточно, так как
“среди общих начал не может быть таких, из которых можно было бы доказать
все”. Этим и объясняется, что среди начал должны быть “одни свойственны
каждой науке в отдельности, другие - общие всем”. Во-вторых, начала делятся
на две группы в зависимости от того, что они раскрывают: существование
объекта или наличие у него некоторых свойств. В-третьих, комплекс начал
доказывающей науки делится на аксиомы, предположения, постулаты, исходные
определения.
Выбор начал у Аристотеля выступает определяющим моментом построения
доказывающей науки; именно начала характеризуют науку как данную,
выделяют ее из ряда других наук. “То, что доказывается”, можно
трактовать очень широко. С одной стороны, это элементарный доказывающий
силлогизм и его заключения. Из этих элементарных процессов строится здание
доказывающей науки в виде отдельно взятой теории. Из них же создается и
наука как система теорий. Однако не всякий набор доказательств образует
теорию. Для этого он должен удовлетворять определенным требованиям,
охватывающим как содержание доказываемых предложений, так и связи между
ними. В пределах же научной теории необходимо имеет место ряд
вспомогательных определений, которые не являются первичными, но служат для
раскрытия предмета теории.
Хотя вопросы методологии математического познания и не были изложены
Аристотелем в какой-то отдельной работе, но по содержанию в совокупности
они образуют полную систему. В основе философии математики Аристотеля
лежит понимание математических знаний как отражения объективного мира. Эта
установка сыграла важную роль в борьбе Аристотеля с платоновым идеализмом;
ведь “если в явлениях чувственного мира не находится вовсе математическое,
то каким образом возможно, что к ним прилагаются его свойства?” - писал
он. Разумеется, материализм Аристотеля был непоследовательным, в целом
его воззрения в большей степени соответствовали потребностям
математического познания, сем взгляды Платона. В свою очередь математика
была для Аристотеля одним из источников формирования ряда разделов его
философской системы.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ.
БЕСКОНЕЧНАЯ ГАРМОНИЯ ПОДОБИЯ
Глава 1
БЕССИЛИЕ ПРЯМОЙ
В качестве введения ко второй части мне бы хотелось привести слова
Фриденсрайха Хундертвассера, одного из тех замечательных людей силами
которых современная наука становится все ближе к искусству, а искусство
получает возможность использовать весь арсенал средств, предоставляемых
сегодняшней наукой для выражения идей и художественных замыслов:
В 1953 году я понял, что прямая линия ведет человечество к упадку.
Тирания прямой стала абсолютной. Прямая линия - это нечто трусливое,
прочерченное по линейке, без эмоций и размышлений; это линия, не
существующая в природе. И на этом насквозь прогнившем фундаменте
построена наша обреченная цивилизация. Если даже и возникает где-то мысль,
что прямая линия напрямик ведет к гибели, ее курсу все равно продолжают
следовать дальше... Любой дизайн, основанный на прямой линии, будет
мертворожденным. Сегодня мы являемся свидетелями триумфа рационалистических
знаний и одновременно обнаруживаем, что оказались в пустоте. Эстетический
вакуум, пустыня однообразия, преступное бесплодие, утрата созидательных
возможностей.
Стандартизируется даже творчество. Мы стали бессильными. Мы больше не
способны творить. В этом наше невежество.
Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии
морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно
движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно
деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру,
приобретенную в процессе эволюции. Человеку, не связанному с наукой, может
показаться странным то, что такие привычные всем вещи с недавних пор
оказались в фокусе интенсивных научных исследований. Но привычность какого-
либо явления совсем не означает, что ученые могут правильно его объяснить.
Ребенку тоже привычны и его голубая колыбель, и голубое небо задолго до
того, как он осознает, что голубой цвет есть общее качество совсем разных
вещей. В его познавательном развитии наступит момент, когда он уже сможет
воспринять понятие цвета; он слышит, что небо является голубым и вдруг
“открывает”, что и некоторые другие вещи тоже являются голубыми.
Развитие нашего научного понимания мира происходит по такой же схеме.
Да, многие фракталы нам знакомы, но до самого последнего времени в нашем
научном представлении о мире им не находилось места. Это представление
восходит еще к Галилео Галилею, чье мастерство владения абстракцией,
вступающей в противоречие с интуицией, дает пример современного научного
рассуждения. Его кредо, сформулированное им самим в 1623 году, гласит:
Вся наука записана а этой великой книге - я имею в виду Вселенную, -
которая всегда открыта для нас, но которую нельзя понять, не научившись
понимать язык, на котором она написана. А написана она на языке
математики, и ее буквами являются треугольники, окружности и другие
геометрические фигуры, без которых человеку невозможно разобрать ни одного
ее слова; без них он подобен блуждающему во тьме. Понадобилось почти
350 лет, чтобы выйти за рамки галилеевского представления - до тех пор,
пока Бенуа Мандельброт не разработал понятие фрактала. Бросая взгляд в
прошлое, он размышлял в 1984 году:
Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин
заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или
берега моря. Облака - это не сферы, горы - это не конусы, линии берега -
это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не
распространяется по прямой... Природа демонстрирует нам не просто более
высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных
масштабов длин в структурах всегда бесконечно.
Математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие
структурами различных масштабов, как больших, так и малых, и, таким
образом, отражает иерархический принцип организации. В основе этого
понятия содержится одна важная идеализация действительности: фрактальные
объекты самоподобны, т. е. их вид не претерпевает существенных изменений
при разглядывании их через микроскоп с любым увеличением. Хотя эта
идеализация и может оказаться слишком большим упрощением
действительности, она на порядок увеличивает глубину нашего
математического описания природы. Исследования Мандельброта получили
широкую известность после открытия им в 1980 году множества, носящего
теперь его имя. Он обнаружил принцип, с помощью которого несколько
неожиданным путем образуется целый мир самоподобных структур.
Эта причудливая форма (см. рис.1) может оказаться одним из ключевых
элементов некоторой новой “натуральной” математики, так же, как прямая
линия является одним из основных элементов евклидовой геометрии.
Возможно, наиболее убедительный аргумент в пользу изучения фракталов
- это их бросающаяся в глаза красота.
Глава 2
МЫШЛЕНИЕ В ОБРАЗАХ
Рассматриваемые здесь процессы возникают в различных физических и
математических задачах. Все они имеют одно обшее - это конкуренцию
нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между
территориями в результате такого соперничества возникают редко. Чаше имеет
место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже
за самые малые участки.
Именно в этой пограничной области происходит переход от одной формы
существования к другой: от порядка к беспорядку, от намагниченного
состояния к ненамагниченному в зависимости от интерпретации тех сущностей,
которые примыкают к границе. Пограничные области в большей или меньшей мере
замысловато зависят от условий, характеризующих изучаемый процесс. Порой
возникает третий конкурент, который пользуется разногласиями двух других и
насаждает свою область влияния. Может случиться, что один центр захватит
всю плоскость, но и его власть имеет “границы” в виде изолированных точек,
которые неподвластны его притяжению. Это, так сказать, “диссиденты”, не
желающие “принадлежать”.
Рисунки представляют процессы, являющиеся, конечно, весьма
упрошенной идеализацией действительности. Они преувеличивают некоторые
свойства, чтобы сделать их более ясными. Например, нет ни одной реальной
структуры, которую можно было бы последовательно увеличивать бесконечное
число раз и которая выглядела бы при этом неизменной. Тем не менее принцип
самоподобия в приближенном виде имеется в природе: в линиях берегов морей
и рек, в очертаниях облаков и деревьев, в турбулентном потоке жидкости и в
иерархической организации живых систем. А открыл нам глаза на эту
фрактальную геометрию природы Бенуа Б. Мандельброт. На самом деле
процессы, порождающие такие структуры, довольно давно изучаются в
математике и физике. Это обычные процессы с обратной связью, в которых одна
и та же операция выполняется снова и снова, когда результат одной
итерации является начальным значением для следующей:
C
[pic]
[pic]
[pic]
и
и
Единственное, что при этом требуется - нелинейная зависимость между
результатом и начальным значением, т. е. динамический закон [pic] должен
быть более сложным, чем простая пропорциональность [pic]. Схематическая
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
