деятельности ощущений и разума. Гносеологическую позицию Демокрита Маркс
сформулировал следующим образом: “Демокрит не только не удалялся от мира,
а, наоборот, был эмпирическим естествоиспытателем”. Содержание исходных
философских принципов и гносеологические установки определили основные
черты научного метода Демокрита:
а) В познании исходить от единичного;
б) Любые предмет и явление разложимы до простейших элементов (анализ)
и объяснимы исходя из них (синтез);
в) Различать существование “по истине” и “согласно мнению”;
г) Явления действительности - это отдельные фрагменты упорядоченного
космоса, который возник и функционирует в результате действий чисто
механической причинности.
Математика по праву должна считаться у Демокрита первым разделом
собственно физики и следовать непосредственно за каноникой. В самом
деле, атомы качественно однородны и их первичные свойства имеют
количественный характер. Однако было бы неправильно трактовать учение
Демокрита как разновидность пифагореизма, поскольку Демокрит хотя и
сохраняет идею господства в мире математической закономерности, но
выступает с критикой априорных математических построений пифагорейцев,
считая, что число должно выступать не законодателем природы, а извлекаться
из нее. Математическая закономерность выявляется Демокритом из явлений
действительности, и в этом смысле он предвосхищает идеи математического
естествознания. Исходные начала материального бытия выступают у Демокрита
в значительной степени как математические объекты, и в соответствии с
этим математике отводится видное место в системе мировоззрения как науке о
первичных свойствах вещей. Однако включение математики в основание
мировоззренческой системы потребовало ее перестройки, приведения
математики в соответствие с исходными философскими положениями, с
логикой, гносеологией, методологией научного исследования. Созданная
таким образом концепция математики, называемая концепцией математического
атомизма, оказалась существенно отличной от предыдущих.
У Демокрита все математические объекты (тела, плоскости, линии, точки)
выступают в определенных материальных образах. Идеальные плоскости,
линии, точки в его учении отсутствуют. Основной процедурой математического
атомизма является разложение геометрических тел на тончайшие листики
(плоскости), плоскостей - на тончайшие нитки (линии), линий - на
мельчайшие зернышки (атомы). Каждый атом имеет малую, но ненулевую
величину и далее неделим. Теперь длина линии определяется как сумма
содержащихся в ней неделимых частиц. Аналогично решается вопрос о
взаимосвязи линий на плоскости и плоскостей в теле. Число атомов в конечном
объеме пространства не бесконечно, хотя и настолько велико, что
недоступно чувствам. Итак, главным отличием учения Демокрита от
рассмотренных ранее является отрицание им бесконечной делимости. Таким
образом он решает проблему правомерности теоретических построений
математики, не сводя их к чувственно воспринимаемым образам, как это делал
Протагор. Так, на рассуждения Протагора о касании окружности и прямой
Демокрит мог бы ответить, что чувства, являющиеся отправным критерием
Протагора, показывают ему, что чем точнее чертеж, тем меньше участок
касания; в действительности же этот участок настолько мал, что не поддается
чувственному анализу, а относится к области истинного познания.
Руководствуясь положениями математического атомизма, Демокрит
проводит ряд конкретных математических исследований и достигает выдающихся
результатов (например, теория математической перспективы и проекции).
Кроме того, он сыграл, по свидетельству Архимеда, немаловажную роль в
доказательстве Эвдоксом теорем об объеме конуса и пирамиды. Нельзя с
уверенностью сказать, пользовался ли он при решении этой задачи методами
анализа бесконечно малых. А.О.Маковельский пишет: “Демокрит вступил на
путь, по которому дальше пошли Архимед и Кавальери. Однако, подойдя
вплотную к понятию бесконечно малого, Демокрит не сделал последнего
решительного шага. Он не допускает безграничного увеличения числа
слагаемых, образующих в своей сумме данный объем. Он принимает лишь
чрезвычайно большое, не поддающееся исчислению вследствие своей огромности
число этих слагаемых”.
Выдающимся достижением Демокрита в математике явилась также его идея о
построении теоретической математики как системы. В зародышевой форме она
представляет собой идею аксиоматического построения математики, которая
затем была развита в методологическом плане Платоном и получила логически
развернутое положение у Аристотеля.
Глава 6
ПЛАТОНОВСКИЙ ИДЕАЛИЗМ
Сочинения Платона (427-347 гг. до н.э.) - уникальное явление в
отношении выделения философской концепции. Это высокохудожественное,
захватывающее описание самого процесса становления концепции, с сомнениями
и неуверенностью, подчас с безрезультатными попытками разрешения
поставленного вопроса, с возвратом к исходному пункту, многочисленными
повторениями и т.п. Выделить в творчестве Платона какой-либо аспект и
систематически изложить его довольно сложно, так как приходится
реконструировать мысли Платона из отдельных высказываний, которые
настолько динамичны, что в процессе эволюции мысли порой превращаются в
свою противоположность.
Платон неоднократно высказывал свое отношение к математике и она
всегда оценивалась им очень высоко: без математических знаний “человек с
любыми природными свойствами не станет блаженным”, в своем идеальном
государстве он предполагал “утвердить законом и убедить тех, которые
намереваются занять в городе высокие должности, чтобы они упражнялись в
науке счисления”. Систематическое широкое использование математического
материала имеет место у Платона, начиная с диалога “Менон”, где Платон
подводит к основному выводу с помощью геометрического доказательства.
Именно вывод этого диалога о том, что познание есть припоминание, стал
основополагающим принципом платоновской гносеологии.
Значительно в большей мере, чем в гносеологии, влияние математики
обнаруживается в онтологии Платона. Проблема строения материальной
действительности у Платона получила такую трактовку: мир вещей,
воспринимаемый посредством чувств, не есть мир истинно существующего; вещи
непрерывно возникают и погибают. Истинным бытием обладает мир идей, которые
бестелесны, нечувственны и выступают по отношению к вещам как их причины и
образы, по которым эти вещи создаются. Далее, помимо чувственных
предметов и идей он устанавливает математические истины, которые от
чувственных предметов отличаются тем, что вечны и неподвижны, а от идей
- тем, что некоторые математические истины сходна друг с другом, идея же
всякий раз только одна. У Платона в качестве материи началами являются
большое и малое, а в качестве сущности - единое, ибо идеи (они же числа)
получаются из большого и малого через приобщение их к единству.
Чувственно воспринимаемый мир, согласно Платону, создан Богом. Процесс
построения космоса описан в диалоге “Тимей”. Ознакомившись с этим
описанием, нужно признать, что Создатель был хорошо знаком с математикой и
на многих этапах творения существенно использовал математические положения,
а порой и выполнял точные вычисления.
Посредством математических отношений Платон пытался охарактеризовать и
некоторые явления общественной жизни, примером чего может служить
трактовка социального отношения “равенство” в диалоге “Горгий” и в
“Законах”. Можно заключить, что Платон существенно опирался на математику
при разработке основных разделов своей философии: в концепции “познание -
припоминание”, учении о сущности материального бытия, об устройстве
космоса, в трактовке социальных явлений и т.д. Математика сыграла
значительную роль в конструктивном оформлении его философской системы. Так
в чем же заключалась его концепция математики?
Согласно Платону, математические науки (арифметика, геометрия,
астрономия и гармония) дарованы человеку богами, которые “произвели число,
дали идею времени и возбудили потребность исследования вселенной”.
Изначальное назначение математики в том, чтобы “очищался и оживлялся тот
орган души человека, расстроенный и ослепленный иными делами”, который
“важнее, чем тысяча глаз, потому что им одним созерцается истина”.
“Только никто не пользуется ею (математикой) правильно, как наукою,
влекущей непременно к сущему”. “Неправильность” математики Платон видел
прежде всего в ее применимости для решения конкретных практических задач.
Нельзя сказать, чтобы он вообще отрицал практическую применимость
математики. Так, часть геометрии нужна для “расположения лагерей”, “при
всех построениях как во время самих сражений, так и во время походов”. Но,
по мнению Платона, “для таких вещей ...достаточна малая часть
геометрических и арифметических выкладок, часть же их большая,
простирающаяся далее, должна ...способствовать легчайшему усвоению идеи
блага”. Платон отрицательно отзывался о тех попытках использования
механических методов для решения математических задач, которые имели место
в науке того времени. Его неудовлетворенность вызывало также принятое
современниками понимание природы математических объектов. Рассматривая
идеи своей науки как отражение реальных связей действительности,
математики в своих исследованиях наряду с абстрактными логическими
рассуждениями широко использовали чувственные образы, геометрические
построения. Платон всячески старается убедить, что объекты математики
существуют обособленно от реального мира, поэтому при их исследовании
неправомерно прибегать к чувственной оценке.
Таким образом, в исторически сложившейся системе математических знаний
Платон выделяет только умозрительную, дедуктивно построенную компоненту и
закрепляет за ней право называться математикой. История математики
мистифицируется, теоретические разделы резко противопоставляются
вычислительному аппарату, до предела сужается область приложения. В таком
искаженном виде некоторые реальные стороны математического познания и
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
