(11.3), где интегрирование ведется вдоль траектории. В векторном анализе
такой интеграл наз. циркуляцией вектора силы. Заметим, что в этом выражении
легко перейти к другой переменной интегрирования, ко времени. A12='интеграл
от 1 до 2'(F(вектор)dr(вектор)) = 'интеграл от t1 до
t2'((F(вектор)V(вектор))dt)= 'интеграл от t1 до t2'(Ndt) (11.4). Введенная
здесь величина N наз. мгновеной механической мощностью или просто мощностью
тела. N=dA/dt=(F(вектор)dr(вектор)/dt)=(F(вектор)v(вектор)) (11.5). Что
будет происходить с системой (в простейшем случае -с мат. точкой) при
совершении работы над ней. Запишем элементарную работу и выразим силу в нем
при помощи 2го з-на Ньютона.
dA=(F(вектор)dr(вектор))=m(a(вектор)dr(вектор))=m(dv(вектор)dr(вектор))/dt=m
(dv(вектор)v(вектор))=md(v(вектор)v(вектор))/2=md(v^2)/2=d(mv^2/2) (11.6)
Слева стоит элементарная работа, а справа дифференциал некоторой ф-и
,имеющий размерность работы и зависящий от скор.: дифференциал ф-и скор.,
опред-мой совершеной работой. Пусть в начальный момент времени t0 скорость
тела равнялась (0. Полную работу за промежуток времени от t0 до t1 получим
после интегрирования dA, как это сделано в формуле (11.4). Совершаемая над
телом работа привела к увеличению его скор..Теперь можно ввести понятие
кин. энергии: A01=m(v1)^2/2 - m(v0)^2/2 = Ek1-Ek0. (11.7) Кинетическая эн-я
опр-ся работой, кот. совершена над телом. Положительная работа приводит к
увеличению скор. тела и к увеличению кин. энергии, отрицательная - к
уменьшению того и другого. If сист. сост. из многих тел, то ее
кинетическая эн-я складывается из кинетических энергий всех тел.
12. Поля консервативных сил. Потенциальная энергии . 13. З-н сохранения
механической энергии. Кроме кин. энергии есть еще потенциальная эн-я, для
кот. не сущ-вует общей формулы. Это понятие можно ввести лишь для огранич.
класа сил - для консервативных сил. Это силы, работа кот. по замкнутой
траектории =а нулю. Существует другое определение консервативных сил.
Консервативными силами называются такие силы, работа в поле кот. не зависит
от траектории и опр-ся только начальным и конечным положением системы.
Нетрудно показать, что эти определения равнозначны. Действительно, if
работа не зависит от траектории, то при обратном движении вдоль траектории
она будет такая же, но с обратным знаком. Просуммировав движение по
замкнутой траектории, состоящей из 2х кривых, получаем в сумме 0.
Консервативные силы, как правило, зависят только от положения тела, а
неконсервативные - от его скор.. Рассмотрим примеры полей консервативных и
неконсервативных сил. Силы трения или сопротивления явл. неконсервативными.
Их направл. опр-ся скор-тью перемещения тел. Силы трения всегда направлены
в сторону, противоположную направл. движения, т.е.: F(вектор)тр=-
(v(вектор)/v)Fтр. Здесь v(вектор)/v - единичный вектор, направленный вдоль
скор. тела. Работа силы трения по замкнутой траектории l =а: A(l)=
'интеграл c кружком от (l)'(-Fтр((v(вектор)/v)dr(вектор)))= -'интеграл от
t1 до t2'(Fтр((v(вектор)/v)dr(вектор)/dt)dt)= -'интеграл от t1 до
t2'(Fтр((v(вектор)v(вектор))/v)dt)= -'интеграл от t1 до t2'(Fтр*vdt)=-
'интеграл c кружком от (l)'(Fтр*dl). Кружок у интеграла - интегрирование по
замкнутой траектории. Последнее подынтегральное выражение скалярное, оно
всегда положительно, след., работа силы трения на замкнутой траектории
всегда отрицательна. Эта работа тем больше по модулю, чем длинее путь.
Вывод: силы трения - неконсервативные силы. Примером поля консервативных
сил явл. поле тяготения вблизи пов-ти Земли. Работа, кот. затрачивается на
перемещение тела из положения r1 в полож. r2 =а: A12='интеграл от r1 до
r2'(mg(вектор)dr(вектор))='интеграл от r1 до r2'(mg dr(g))=-mg'интеграл от
h1 до h2'(dh)=mg(h1-h2). Из этой формулы видно, что работа силы тяжести
зависит от величины этой силы и от разности начальной и конечной высот
тела. Никакой зависим. от формы траектории нет, а знчит, сила тяжести
консервативна. Также просто можно доказать, что консервативными явл. силы,
создающие однородное поле. Поле сил наз. однородным, if в люб. точке этого
поля сила, действующая на тело одинакова по величине и направл..
Консервативными явл. также поля центральных сил. Центральными называются
силы, направленные вдоль линии взаимдейст. тел, величина кот. зависит
только от расстояния между телами. Такому условию удовлетворяют, например,
кулоновские силы и силы тяготения. В поле консервативных сил можно ввести
еще 1 вид механической энергии - потенциальную энергию. Прежде чем ее
вводить, выбирают тчку, в кот. она =а нулю. Потенциальная эн-я тела в люб.
точке прост-ва опр-ся работой, кот. нужно совершить, чтобы переместить
тело из этой тчки в тчку с нулевой пот. энергией. Отметим 2 существенных
момента, вытекающих из этого определения. Во-перв., поскольку расм-ется
поле консервативных сил, знач. пот. энергии тела зависит от положения тела
и выбора тчки нулевой пот. энергии и не зависит от формы пути, по кот тело
перемещается. Во-вторых, поскольку выбор нуля пот. энергии произволен,
знач. пот. энергии опр-ся с точностью до аддитивной пост., след. физ. смысл
имеет лишь разность потенциальных энергий или приращение пот. энергии, но
не сама эн-я. На рис.11.3 мы представили 3 тчки в прост-ве поля
консервативных сил: тчку (b), тчку (с) и тчку (о), потенциальную энергию в
кот. будем считать =ой 0. Обозначим через Abo работу, кот. совершается при
переносе тела из тчки (b) в тчку (o). If перемещать тело из тчки (o) в
тчку (b), то совершаемая при этом работа будет =а Aob=-Abo, поскольку
меняется направл. движения, но не меняются действующие на тело силы. Работу
по перемещению тела из тчки (c) в тчку (o) будем обозначать, как Асo. Точно
также Асо=-Аос. При перемещении тела из тчки (b) в тчку (c) совершается
работа Abc=-Acb. Согласно определению пот. энергии и формуле (11.3) для
вычисления работы имеем: Eп(b)=A(b0)= 'интеграл от b до
0'(F(вектор)dr(вектор)); Eп(с)=A(с0)= 'интеграл от с до
0'(F(вектор)dr(вектор)); (11.8). Eп(b)- Eп(c)= 'интеграл от b до
0'(F(вектор)dr(вектор))- 'интеграл от с до 0'(F(вектор)dr(вектор))=
'интеграл от b до 0'(F(вектор)dr(вектор))+ 'интеграл от 0 до
c'(F(вектор)dr(вектор))= 'интеграл от b до c'(F(вектор)dr(вектор))=A(bc)
(11.9) Оказалось доказанным следующее утв.: работа, совершаемая при
перемещении тела в поле консервативных сил из тчки (b) в тчку (c), =а
разности потенциальных энергий тела в точках (b) и (c). Однако, эта же
работа =а разности кинетических энергий в точке (с) и (b). A(bc)=Eк(b)-
Eк(с)=Eп(с)-Eп(b) => Eк(b)+Eп(b)=Eк(с)+Eп(с) (11.10) Получилось, что сумма
кин. и пот. энергии тела, кот. наз. полной механической энергией тела,
оказалась неизменной. Тоже самое справедливо и для системы механических
тел. Получившееся утв. носит наз. з-на сохранения механической энергии:
полная механическая эн-я изолированной системы в кот. действуют
консервативные силы остается неизменной. Между консервативными силами и
пот. энергией должна быть связь, поскольку потенциальная эн-я вводится
только в поле консервативных сил. Найдем эту связь для простейшего случая,
когда потенциальная эн-я зависит только от 1ой координаты. Примером может
служит потенциальная эн-я вблизи пов-ти Земли, к нему и обратимся. Пусть
ось (oy) направлена вертикально вверх и имеет ноль на пов-ти Земли. Тогда
потенциальная эн-я зависит только от координаты y и =а: Eп=mgy. Возьмем
частную производную по координате y от левой и правой частей =ства:
dEп/dy=mg. Справа стоит сила тяжести, кот. направлена вверх, т.е. против
оси (oy). По-видимому, производной, стоящей в левой части =ства тоже можно
приписать направл.; ее проекция на ось (oy) будет =а (dEп/dy)'subscript y'=-
mg=-F'subscript y'. В случае, когда действующая сила имеет проекции на все
координатные оси, можно записать аналогичные выражения и для проекций на
друг. оси. Fx=-dEп/dx; Fy=-dEп/dy; Fz=-dEп/dz (11.11) Для силы, таким
обрзом, справедливо выражение: F(вектор)=-(e(вектор)x(dEп/dx)+
e(вектор)y(dEп/dy)+ (вектор)z(dEп/dz))=-(
e(вектор)x(d/dx)+e(вектор)y(d/dy)+e(вектор)z(d/dz))Eп= -grad Eп (11.12).
Градиент пот. энергии. Отметим некоторые св-ва этого вектора. Особенность
его сост. в том, что вдоль координатных осей нужно откладывать не числа, а
математические операции дифференцирования по соответствующей координате. За
градиентом обязательно должна стоять скалярная ф-я, к кот. он применяется.
Градиент пот. энергии имеет направл., в кот. потенциальная эн-я
увеличивается быстрее всего, и величину, равную скор. этого увеличения, if
двигаться в этом направлении. Из сказанного след., что силы поля заставляют
тело двигаться в направлении минимума пот. энергии. Все ественые процесы
стремятся привести систему к минимуму пот. энергии. Этот вывод справедлив
не только для механики, но и для других разделов физики и естествознания.
14. Внутр. эн-я системы. З-н сохр-я энергии. Мы рассмотрели
взаимопревращение кин. и пот. энергий в поле консервативных сил. Что
происходит, if действуют неконсервативные силы. Мы знаем, что, if телу
сообщит скорость (сообщить кинетическую энергию)и пустить двигаться,
например, по пов-ти земли, оно остановиться за счет сил трения. Его
потенциальная эн-я не изменится, а кинетическая станет =ой нулю, когда оно
остановиться. Для ответа на вопр, во что перешла кинетическая эн-я,
необходимо ввести еще 1 вид энергии- внутреннюю энергию. Определим
внутреннюю энергию Евн как сумму кинетических и потенциальных энергий
частиц (атомов), составляющих тело: Евн=S((Е^i)пот+(Е^i)кин) (11.13) Здесь
N -число частиц, i -номер частицы. Параметром, характеризующим внутреннюю
энергию явл. температура тела Т0К, выраженная в градусах Кельвина. Чем
больше температура тела, тем с большей скор-тью двигаются атомы и тем самым
больше внутренняя эн-я. Численно внутренняя эн-я =а: Евн=(М/'мю')C Т^0
(11.14) М - маса тела, ??????молярная маса (численно равная атомному или
молекулярному весу составляющих атомов),С -теплоемкость, равная энергии,
кот. нужно передать 1му килограмму-молю, чтобы нагреть его на 1 градус
Цельсия или Кельвина. Изменение внут. энергии при переходе системы из
состояния 1 в сост. 2 пропорционально изменению температуры тела: Евн(2)-
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
