Таким образом, избыток масс, по Камерону, выразится так:
М - А = 8,367А - 0,783Z + ?А +?[pic]+
+ ЕS + EC + Е? = П (Z, N). (3.2.5)
Подставив экспериментальные значения М—А методом наименьших квадратов
получили следующие наиболее надежные значения эмпирических коэффициентов (в
Мэв):
?=–17,0354; ?=– 31,4506; ?=25,8357; ?=44,2355. (3.2.5а)
С помощью этих коэффициентов были вычислены массы. Расхождения между
вычисленными и экспериментальными массами показаны на рис. 3.2.2. Как можно
заметить, в некоторых случаях расхождения достигают 8 Мэв. Особенно велики
они у нукли-дов с замкнутыми оболочками.
Камерон ввел дополнительные слагаемые: член, учитывающий влияние
ядерных оболочек S(Z, N), и член P(Z, N), характеризующий парную энергию и
учитывающий изменение массы в зависимости от четности N и Z:
М—А=П(Z, N)+S(Z, N)+P(Z, N). (3.2.6)
[pic]
Рис. 3.2.2. Разности между значениями масс, вычисленными по основной
формуле Камерона (3.2.5), и экспериментальными значениями тех же масс в
зависимости от массового числа А.
При этом, т.к. теория не может предложить вида членов, который отражал
бы некоторые скачкообразные изменения масс, он объединил их в одно
выражение
T(Z, N)=S(Z, N)+P(Z. N). (3.2.7)
Далее была выдвинута гипотеза о том, что воздействие четности и
оболочек зависит в отдельности от числа протонов Z и от числа нейтронов N,
т.е.
T(Z, N)=T(Z) +T(N). (3.2.8)
Это разумное предложение, так как опытные данные подтверждают, что
протонные оболочки заполняются независимо от нейтронных и парные энергии
для протонов и нейтронов в первом приближении можно считать независимыми.
На основании таблиц масс Вапстра и Хьюзенга Камерон составил таблицы
поправок T(Z) и T(N) на четность и заполнение оболочек.
Г. Ф. Драницына, использовав новые измерения масс Бано, Р. А.
Демирханова и многочисленные новые измерения ?- и ?-распадов, уточнила
значения поправок T(Z) и T(N) в области редких земель от Ва до Pb. Она
составила новые таблицы избытков масс (М—А), вычисленных по исправленной
формуле Камерона в этой области. В таблицах приведены также вычисленные
заново энергии ?-распадов нуклидов в той же области (56?Z?82).
Старые полуэмпирические формулы, охватывающие весь диапазон А,
оказываются слишком неточными и дают очень большие расхождения с
измеренными массами (порядка 10 Мэв). Создание Камероном таблиц с более чем
300 поправками уменьшило расхождение до 1 Мэв, но расхождения все же в
сотни раз превышают погрешности измерений масс и их разностей. Тогда
появилась идея разбить всю область нуклидов на подобласти и для каждой из
них создать полуэмпирические формулы ограниченного применения. Такой путь и
избрал Леви, который вместо одной формулы с универсальными коэффициентами,
пригодными для всех А и Z, предложил формулу для отдельных участков
последовательности нуклидов.
Наличие параболической зависимости от Z энергии связи нуклидов изобар
требует, чтобы в формуле содержались члены до второй степени включительно.
Поэтому Леви предложил такую функцию:
М(А, Z)=?0+ ?1 А+ ?2 Z+ ?3 АZ+ ?4 Z2+ ?5 А2+?; (3.2.9)
где ?0, ?1, ?2, ?3, ?4, ?5 – численные коэффициенты, найденные по опытным
данным для некоторых интервалов, а ? — член, учитывающий спаривание
нуклонов и зависящий от четности N и Z.
Все массы нуклидов разбили на девять подобластей, ограниченных ядерными
оболочками и подоболочками, и значения всех коэффициентов формулы (3.2.9)
вычислили по экспериментальным данным для каждой из этих подобластей.
Значения найденных коэффициентов та и члена ?, определяемого четностью,
приведены в табл. 3.2.1 и 3.2.2. Как видно из таблиц, были учтены не только
оболочки из 28, 50, 82 и 126 протонов или нейтронов, но и подоболочки из
40, 64 и 140 протонов или нейтронов.
Таблица 3.2.1
Коэффициенты ? в формуле Леви (3.2.9), ма. е. м (16О =16)
|Z |N |?0 |?1 |?2 |?3 |?4 |?5 |
|29–40 |29–40 |–155,91 |13,202 |–21,956 |–0,9707 |1,4544 |0,11565 |
|29–40 |41–50 |–150,06 |7,359 |–10,094 |–0,7023 |0,9473 |0,10340 |
|29–40 |51–82 |+96,27 |3,780 |–17,406 |–0,5349 |0,8150 |0,10050 |
|41–50 |51–82 |–135,41 |5,342 |–9,712 |–0,5570 |0,7432 |0,09758 |
|51–64 |51–82 |–133,60 |6,399 |–13,465 |–0,4287 |0,6417 |0,06583 |
|51–64 |83–126 |–672,82 |13,059 |–14,140 |–0,4461 |0,6492 |0,05370 |
|65–82 |83–126 |–83,72 |3,843 |–10,680 |–0,4644 |0,6464 |0,08739 |
|>82 |127–140|–1746,56 |18,067 |–10,846 |–0,4364 |0,6133 |0,05171 |
|>82 | |571,90 |–1,407 |–12,238 |–0,3971 |0,5706 |0,08613 |
| |>140 | | | | | | |
Таблица 3.2.2
Член ? в формуле Леви (3.2.9), определенный четностью, ма. е. м. (16О =16)
| |
|Z |N |? при |
| | |четном Z и |нечетном Z |нечетном Z |четном Z и |
| | |четном N |и нечетном |и четном N |нечетном N |
| | | |N | | |
|29—40 |29—40 |0 |2,65 |1,44 |2,20 |
|29—40 |41—50 |0 |3,08 |1,84 |1,82 |
|29—40 |51—82 |0 |2,02 |1,27 |0,75 |
|41—50 |51—82 |0 |3,08 |1,54 |1,44 |
|51—64 |51—82 |0 |2,52 |1,12 |1,13 |
|51—64 |83—126 |0 |2,09 |0,96 |0,73 |
|65—82 |83—126 |0 |1,61 |0,84 |0,76 |
|82 |127—140 |0 |1,66 |1,01 |0,88 |
По формуле Леви с этими коэффициентами (см. табл. 3.2.1 и 3.2.2)
Риддель вычислил на электронно-счетной машине таблицу масс примерно для
4000 нуклидов. Сравнение 340 экспериментальных значений масс с вычисленными
по формуле (3.2.9) показало хорошее согласие: в 75% случаев расхождение не
превышает ±0,5 ма. е. м., в 86% случаев—не больше ±1,0мa.e.м. и в 95%
случаев оно не выходит за пределы ±1,5 ма. е. м. Для энергии ?-распадов
согласие еще лучше. При этом количество коэффициентов и постоянных членов у
Леви всего 81, а у Камерона их более 300.
Поправочные члены T(Z) и T(N) в формуле Леви заменены на отдельных
участках между оболочками квадратичной функцией от Z или N. В этом нет
ничего удивительного, так как между оболочками функции T(Z) и T(N) являются
плавными функциями Z и N и не имеют особенностей, не позволяющих
представить их на этих участках многочленами второй степени.
Зелдес рассматривает теорию ядерных оболочек и применяет новое
квантовое число s—так называемое старшинство (seniority), введенное Рака.
Квантовое число “старшинство" не является точным квантовым числом; оно
совпадает с числом неспаренных нуклонов в ядре или, иначе, равно числу всех
нуклонов в ядре за вычетом числа спаренных нуклонов с нулевым моментом. В
основном состоянии во всех четных ядрах s=0; в ядрах с нечетным A s=1 и в
нечетных ядрах s=2. Используя квантовое число “старшинство” и предельно
короткодействующие дельта-силы, Зелдес показал, что формула типа (3.2.9)
соответствует теоретическим ожиданиям. Все коэффициенты формулы Леви были
выражены Зелдесом через различные теоретические параметры ядра. Таким
образом, хотя формула Леви появилась как чисто эмпирическая, результаты
исследований Зелдеса показали, что ее вполне можно считать
полуэмпирической, как и все предыдущие.
Формула Леви, по-видимому, лучшая из существующих, однако она имеет
один существенный недостаток: она плохо применима на границе областей
действия коэффициентов. Именно около Z и N, равных 28, 40, 50, 64, 82, 126
и 140, формула Леви дает самые большие расхождения, в особенности если по
ней рассчитывать энергии ?-распадов. Кроме того, коэффициенты формулы Леви
вычислены без учета новейших значений масс и, по-видимому, должны быть
уточнены. По мнению Б. С. Джелепова и Г. Ф. Драницыной, при этом вычислении
следует уменьшить число подобластей с разными наборами коэффициентов ? и ?,
отбросив подоболочки Z=64 и N=140.
Формула Камерона содержит много постоянных. Этим же недостатком
страдает и формула Бекеров. В первом варианте формулы Бекеры, исходя из
того, что ядерные силы короткодействующие и обладают свойством насыщения,
предположили, что ядро следует разделить на внешние нуклоны и внутреннюю
часть, содержащую заполненные оболочки. Они приняли, что внешние нуклоны не
взаимодействуют друг с другом, не считая энергии, выделяющейся при
образовании пар. Из этой простой модели следует, что нуклоны одинаковой
четности имеют энергию связи, вызванную связью с сердцевиной, зависящую
только от избытка нейтронов I=N–Z. Таким образом, для энергии связи
предложен первый вариант формулы
ЕB=b'(I)А+а' (I)+P' (A, I)[(-1)N+(-1)Z]+S'(A, I)+R'(A, I), (3.2.10)
где Р'—член, учитывающий эффект спаривания, зависящий от четности N и Z;
S'—поправка на эффект оболочек; R'—малый остаток.
В этой формуле существенно предположение, что энергия связи на один
нуклон, равная b', зависит только от избытка нейтронов I. Это означает, что
сечения энергетической поверхности по линиям I=N–Z, самые длинные сечения,
содержащие 30—60 нуклидов, должны иметь одинаковый уклон, т.е. должны
характеризоваться прямой линией. Опытные данные подтверждают довольно
хорошо это предположение. В дальнейшем Бекеры дополнили эту формулу еще
одним членом:
ЕB=b(I)А+а(I)+c(A)+P (A, I)[(-1)N+(-1)Z]+S(A, I)+R(A, I). (3.2.11)
Сравнивая значения, полученные по этой формуле, с экспериментальными
значениями масс Вапстра и Хьюзенга и уравнивая их по методу наименьших
квадратов, Бекеры получили ряд значений коэффициентов b и а для 2?I?58 и
6?A?258, т. е. более 400 цифровых постоянных. Для членов Р, учитывающих
четность N и Z, они также приняли набор некоторых эмпирических значений.
Чтобы уменьшить число постоянных, были предложены формулы, в которых
коэффициенты а, b и с представлены в виде функций от I и А. Однако вид этих
функций весьма сложен, например функция b(I) есть полином пятой степени от
I и содержит, кроме того, два члена с синусом.
Таким образом, эта формула оказалась не проще формулы Камерона. По
утверждению Бекеров, она дает значения, расходящиеся с измеренными массами
для легких нуклидов не более ±400 кэв, а для тяжелых (A>180) не более ±200
кэв. У оболочек в отдельных случаях расхождение может достигать ± 1000 кэв.
Недостаток работы Бекеров — отсутствие таблиц масс, вычисленных по этим
формулам.
В заключение, подводя итоги, следует отметить, что существует очень
большое число полуэмпирических формул разного качества. Несмотря на то, что
первая из них, формула Бете— Вейцзекера, как будто устарела, она продолжает
входить как составная часть почти во все самые новые формулы, кроме формул
типа Леви — Зелдеса. Новые формулы достаточно сложны и вычисление по ним
масс довольно трудоемко.
Литература
1. Завельский Ф.С. Взвешивание миров, атомов и элементарных частиц.
–М.: Атомиздат, 1970.
2. Г. Фраунфельдер, Э. Хенли, Субъатомная физика. –М.: «Мир», 1979.
3. Кравцов В.А. Масса атомов и энергии связи ядер. –М.: Атомиздат,
1974.
-----------------------
[1] В физической шкале атомных весов атомный вес изотопа кислорода [pic]
принят равным точно 16,0000.
-----------------------
Рис. 3. Схема источника напряжения для масс-спектрометра Миннесотского
университета.
Рис.1.1. Кривая энергии связи на одну частицу
[pic]
+?А-3/4 для четных ядер
ЕР= 0 для ядер с нечетным А
-?А-3/4 для нечетных ядер
[pic]
M(A, Z) = 0,99391A – 0,00085 + 0,014A2/3 +
+0,083(A/2 – Z)2A-1 + 0,000627Z2A-1/3 + ?0,036A-3/4
M(A, Z) = 1,01464A + 0,014A2/3 + +0,041905[pic] + ?0,036A-3/4
(3.2.1)
(3.2.3)
(3.2.2)
(3.2.4)
[pic]
