подтверждения того, что это именно птенец, а не малек, сообщается, что у
него не плавники, а крылья, не жабры, а легкие и т.п. Разумеется, все это
не будет избыточной информацией In для всякого, кто знает, чем отличается
птенец от малька.
Но та же самая информация о крыльях, легких, клюве и т.п., заложенная
в генетический код, регулирует процесс онтогенеза, в результате которого в
яйце формируется организм птенца, а не малька. Таким образом, информация
In, избыточная для осведомленного получателя, оказывается необходимой
структурной информацией ( IS, когда речь идет об информационном управлении
процессами формирования тех или иных упорядоченных структур. Вследствие
этого и выполняется условие :
|In = ( IS = Hmax – Hr |(2.8) |
ИНФОРМАЦИОННО-ЭНТРОПИЙНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПРОЦЕССОВ АДАПТАЦИИ И РАЗВИТИЯ
Одна из теорем Шеннона свидетельствует об уменьшении информационной
энтропии множества АВ, образованного в результате взаимодействий двух
исходных упорядоченных множеств Либ.
|H (A,B) ? H(A) + H(B) |(3.1) |
В этом соотношении знак равенства относится к случаю отсутствия
взаимодействий между множествами А и В .
В случае взаимодействий происходит уменьшение энтропии на величину:
( H = Н(А) + Н(В) - Н(А,В)
(3.2)
Согласно негэнтропийному принципу информации (3.4) получаем :
( IS =Н(А) +Н(В) - Н(А,В)
(3.3)
Распространяя рассмотренные Шенноном взаимодействия абстрактных
математических множеств на случаи взаимодействий реальных физических
систем, можно сделать следующие выводы :
1. Соотношения ( 3.1 ), (3.2) и (3.3 ) можно распространить на случаи
взаимодействий упорядоченных физических систем, в частности на
взаимодействия физических сред с различными видами полей.
При этом необходимо осуществлять переход от информационной энтропии Н
к термодинамическай энтропии S , используя соотношение (1.4) Приложений 1.
2. Знак равенства в соотношении (3.1) соответствует случаю отсутствия
взаимодействия между рассматриваемыми физическими системами
(например, случай воздействия магнитного поля на не обладающую
магнитными свойствами среду).
3. Во всех остальных случаях в соответствии с соотношением (3.3)
происходит накопление структурной информации ( IS, характеризующей
увеличение упорядоченности структуры вновь образующейся системы
(формирование и ориентация магнитных доменов под воздействием
магнитного поля, структуализация под воздействием электрического поля
поляризуемых сред и т.п.).
С помощью вероятностной функции энтропии можно описать формальным
математическим языком процесс адапации системы к внешним воздействиям,
понимая процесс адаптации как обучение оптимальному поведению в заданных
условиях внешней среды.
Рассмотрим систему, обладающую возможностью выбора одного из N
возможных ответов (реакций) на внешние воздействия. До прохождения обучения
система способна отвечать на любые воздействия лишь выбранной наугад
реакцией i, причем i может принимать любые значения от i = 1 до i = N,
т.е.:
i=1,2,3,.. . N ,
(3.4)
При этом условии вероятности всех ответов равны друг другу, т.е.:
Р1= Р2 = … =PН=1/N
(3.5)
Как было показано ранее, при этом условии реальная энтропия Нr равна
максимальной энтропии Hmax, т.е.:
|Hr = -|i =|pi log pi = log N = Hmax |(3.6) |
| |N | | |
| |( | | |
| |i =| | |
| |1 | | |
В результате обучения возникают различия вероятностей разных
реакций.
В соответствии с рассмотренными ранее свойствами функции
|( pi log |
|pi |
|i| |
реальная энтропия Hr уменьшается на величину
|( IS = Hmax – Hr |(3.7) |
С точки зрения теории вероятностей начальный алфавит с заданным
числом букв представляет собой полную группу событий.
Для полной группы событий при любом распределении вероятностей сумма
их всегда равна 1 , согласно известному из теории вероятности условию
нормировки:
|i =|pi = 1 |(3.6) |
|N | | |
|( | | |
|i =| | |
|1 | | |
Смысл условия нормировки заключается в том, что сумма вероятностей
выпадения всех 6-ти граней игральной кости равна вероятности выпадения
любой грани, т.е. :
Р1 + Р2 + … Р6 = 1/6 + 1/6 + … + 1/6 = 1
6 раз
В рассматриваемом нами процессе обучения, приводящем к
дифференцировке значений вероятностей реакций Pi , составляющих полную
группу N, условие (3.8) свидетельствует о том, что увеличение вероятностей
каких -то реакций может происходить только за счет уменьшения всех
остальных вероятностей (чтобы сумма была по-прежнему равна 1, см. рис. 1,
случай б).
В предельном случае одна из N вероятностей может возрасти до 1, тогда
все остальные вероятности станут равны 0 (рис. 1).
В случае текста предельному случаю дифференцировки соответствует
вероятность одной буквы (например, «е»), равная 1. Вероятности всех
остальных букв при этом равна нулю. Это значит, что текст вырождается в
повторение одной буквы
е е е е е ...
Этот случай соответствует жесткой детерминации (незатухающий строго
периодический процесс).
Соответствующее жесткой детерминации распределение вероятностей, при
котором некая вероятность Рк равна 1, а все остальные - равны 0, в общем
виде запишется как
Рк=1 (3.9)
Р1 = Р2 = . . .= Рк-1 = Рк+1=. . .= 0 (3.10)
а)
Р1 Р2
Pn
б)
в)
Равномерное распределение вероятностей
Нr = Hmax
Дифференцировка вероятностей при соблюдении условия
i=N
( pi = 1
i=1
Hmax > Hr > 0
Предельный случай дифференцировки вероятностей
Нr = 0
Рис. 1
При подстановке этих значений в функцию энтропии :
|Hr = |i =|pi log pi |(3.11) |
| |N | | |
| |( | | |
| |i =| | |
| |1 | | |
получаем :
Hr=0 (3.12)
Подставляя (3.9) в (3.4), получаем :
( IS = Hmax (3.13)
Все стадии перехода от состояния максимальной энтропии, описываемого
условиями (3.4), (3.5), (3.6), к состоянию жесткой детерминации, которому
соответствуют условия ( 3.9 ) + (3.13) можно представить в виде дуги,
соединяющей исходное состояние Н с конечным состоянием К (рис. 2).
На рис.3 изображена расширяющаяяся иерархическая спираль, которая
может служить моделью формирования иерархических упорядоченных структур.
Пусть нижний уровень этой спирали (п = 0) соответствует начальному
алфавиту, состоящему из N0 различных элементов (букв, атомов, нуклеотидов и
др.).
[pic]
рис. 3
Тогда на уровне N = 1 из этого алфавита можно составить N1 «слов».
Если каждое слово состоит из K1 букв, то из N0 букв можно составить число
слов, равное:
N1 = N0K1 (3.14)
Соответственно, на уровне п = 2 из N1 «слов» можно составить
количество «фраз», равное:
N2=N1K2=N0K1K2 (3.15)
где Кг - число входящих в каждую «фразу» «слов»
Для упрощения математических выражений мы уже приняли одно допущение,
сказав, что все слова содержат одинаковое количество букв (К1), а все фразы
содержат одинаковое количество слов (К2). Очевидно, что в реальных системах
(например, в письменных текстах ) эти условия не соблюдаются. Однако для
выполнения общих свойств нашей информационно -энтропийной модели подобные
упрощения вполне допустимы, поэтому мы введем еще одно допущение:
K1 = К2 = К (3.16)
Подставив (3.16) в (3.15), мы получим :
N2=N0K2 (3.17)
Проводя аналогичные операции для любой (п-ой) ступени при условии:
K1 = K2 = … = Кп = К,
получим:
Nn = N0K2 (3.18)
Рассмотрим пример, иллюстрирующий увеличение разнообразия (числа
различимых элементов) с переходом на более высокие уровни изображенной на
рис . 3.3 спирали в соответствии с формулами (3.14) + (3.18).
Если алфавит (уровень п = 0) содержит 30 букв (N0 = 30), а каждое
«слово» искусственного текста состоит из 6 букв (К = 6), то общее число
таких «слов» составит:
N1 = N0K1 = 306 = 729 ·106
Среди указанного количества «слов» большинство составят бессмысленные
или даже непроизносимые «слова» (из 6-ти гласных, 6-ти согласных и т.п.).
Но если хотя бы 0,01% от общего числа буквенных комбинаций составят
осмысленные слова, общий лексикон составит 72 900 слов.
Еще более прогрессивно возрастает число комбинаций с переходами на
более высокие уровни n = 2, п = 3 и т.д.
Для определения возрастания информационной емкости по мере перехода
на более высокие уровни изображенной на информационно-энтропийной спирали
напомним , что максимальное количество структурной информации A/s'
накапливается при переходе от Нr' = Нmax к Нr'' = 0, т.е. равно:
( IS = Нr' – Нr'' = Hmax
Величина максимальной энтропии для п - ой ступени определяется как:
Нпmax = log Nn = Кn log N0 (3.19)
Сопоставляя величину Нпгнх с величиной энтропии ступени n = О
