учетверенному объему молекул в 1 моле газа:
|[pic], |(I.1.3) |
|[pic]. |(I.1.4) |
Здесь NA – число Авогадро, d – диаметр молекулы, U(r) – потенциальная
энергия притяжения двух молекул.
Уравнение состояния Бертло (1900г.):
|[pic]. |(I.1.5) |
Здесь а и b связаны с параметрами критического состояния (в
критической точке) соотношениями [8]:
|[pic] [pic]. |(I.1.6) |
Уравнение состояния Вукаловича и Новикова [7]:
|[pic]. |(I.1.7) |
Здесь B1, B2 и т.д. – так называемые вириальные коэффициенты весьма
сложного вида. Их вычисление производится с учетом ассоциации молекул –
объединения под влиянием ван-дер-ваальсовых сил притяжения.
Уравнение состояния Майера [7]:
|[pic], |(I.1.8) |
где: [pic] [pic] d(i=dqi1*...dqin.
Здесь Uпij – взаимная потенциальная энергия i-й и j-й молекул,
взаимодействующих по закону центральных сил, qi1,......,qin – обобщенные
координаты i-той молекулы, обладающей n степенями свободы.
Уравнение Камерлинг-Оннеса (1901) [8]:
|[pic] |(I.1.9) |
где [pic], [pic].
Уравнение Редлиха-Квонга (1949 г.) [8]:
|[pic] |(I.1.10) |
Здесь [pic]0,42748·R2·T2,5k/Pk, b = 0,08664·R·Tk/Pk. Уравнение Редлиха-
Квонга считается наилучшим двухконстантным уравнением. При его выводе
авторы не руководствовались какими-то определенными теоретическими
обоснованиями [8]. Это уравнение следует рассматривать как произвольную, но
удачную эмпирическую модификацию предшествующих уравнений состояния.
Уравнение Мартина (1967 г.) [8]:
|[pic], |(I.1.11) |
где [pic]27·R2·T2k/(64Pk), b = R·Tk/(8Pk).
1.2. Основные уравнения, описывающие процесс фильтрации газа в пористой
среде
В последнее время наблюдается рост интереса к различным
термодинамическим эффектам в пористых средах. Это связано с их
многообразными практическими приложениями[4,5].
Особую важность упомянутые проблемы имеют в физике нефтегазоносных
пластов. Поля давления в нефтегазоносных пластах в условиях разработки, как
правило, нестационарны. Дросселирование нефти и газа приводит к проявлению
баротермического эффекта – изменению температуры при течении нефти или газа
в пористой среде в нестационарном поле давления. Величина барометрического
эффекта в отличие от эффекта Джоуля – Томсона, наблюдающегося при
стационарном дросселировании, зависит от коллекторских свойств пористой
среды, времени, геометрии течения и других факторов. Эти особенности
баротермического эффекта обеспечивают возможность его практического
применения при исследовании скважин и пластов.
В основу исследований положена полная система уравнений для [pic]- той
фазы (компонента), описывающих баротермический эффект. Ядром этой системы
является уравнение для температуры [pic] с учетом термодинамических
эффектов высокого порядка [9]
|[pic] |(I.2.1) |
где первое слагаемое в левой части уравнения (I.2.1) описывает изменение
температуры в пласте со временем, второе – за счет конвекции (перемещения
больших объемов газа). Первое слагаемое в правой части ответственно за
теплопроводность, второе – за межфракционный теплообмен, третье описывает
адиабатический эффект, четвертое – эффект Джоуля-Томсона и пятое – влияние
поля тяготения Земли.
Вторым уравнением системы является уравнение неразрывности, которое
записывается в виде:
|[pic]. |(I.2.2) |
Фильтрация газа подчиняется закону Дарси
|[pic]. |(I.2.3) |
К системе добавляется уравнение состояния
|[pic]. |(I.2.4) |
Система (I.2.1)-(I.2.4) является нелинейной, кроме того, уравнения
(I.2.1)-(I.2.2) являются взаимосвязанными.
1.3. Описание задачи
Рассмотрим температурную задачу в полярной системе координат, где
среда представлена одной бесконечной областью (рис.1). Область является
пористой и насыщена газом. Будем рассматривать случай радиального движения
газа из бесконечности к скважине радиуса [pic], ось которой совпадает с
осью [pic]
[pic]
Рис. 1. постановка задачи
При описании температурной задачи примем следующие допущения:
- пористый пласт считается однородным и изотропным по
гидродинамическим и теплофизическим свойствам;
- давления в скважине и на контуре питания остаются неизменными;
- породы, окружающие пласт предполагаются непроницаемыми и
однородными по своим теплофизическим свойствам;
- температуры газа и скелета пористой среды в каждой точке совпадают;
- естественное тепловое поле Земли считается стационарным;
- пласт расположен на глубине порядка 1 – 2 км, поэтому суточные и
сезонные колебания температуры не достигают пласта;
- адиабатическим эффектом, обусловленным гравитационным полем
пренебрегаем.
1.4. Математическая постановка задачи
Математическая постановка задачи включает температурную задачу,
гидродинамическую задачу, уравнение состояния и соотношение для поля
скорости конвективного переноса тепла. Ниже рассматриваются соответствующие
постановки задач.
1.4.1. Математическая постановка температурной задачи
Математическая постановка задачи для всех областей представляется
уравнением (I.2.1). Температурное поле в этом случае описывается уравнением
Чекалюка в пренебрежении теплопроводностью и адиабатическим эффектом и с
учетом закона фильтрации Дарси:
|[pic]. |(I.4.1.|
| |1) |
Будем рассматривать задачу при следующих условиях температуры:
начальном
|[pic], |(I.4.1.|
| |2) |
и граничном
|[pic]. |(I.4.1.|
| |3) |
1.4.2. Математическая постановка гидродинамической задачи
Математическая постановка гидродинамической задачи в полярной системе
координат примет следующий вид. Учитывая, что для осесимметричного течения
поле давления является функцией координаты r уравнение можно представить в
виде:
|[pic], |(1.4.2.1|
| |) |
Будем рассматривать задачу при следующих условиях. Пусть PC – давление на
границе контура питания. При значении радиуса, равном радиусу контура
питания
|[pic], |(1.4.2.2|
| |) |
давление поддерживается равным Рс:
|[pic], |(1.4.2.3|
| |) |
Pс – давление на контуре питания.
При значении радиуса, равном радиусу скважины
|[pic], |(1.4.1.3|
| |) |
давление поддерживается равным PW:
|[pic], |(1.4.1.4|
| |) |
где PW – давление в скважине.
1.4. Основные идеи метода характеристик[6]
В данном разделе рассмотрим метод характеристик. Любое линейное
дифференциальное уравнение второго порядка (при двух независимых
переменных) может быть записано в следующем виде:
|[pic] |(1.4.1)|
где а, b, с, d, e, f, g — заданные непрерывные функции от x и y (или в
частном случае, постоянные).
Попытаемся упростить это уравнение с помощью замены независимых
переменных:
|[pic] |(1.4.2)|
Здесь ( и ( — новые независимые переменные. Функции ( и (, связывающие
новые переменные со старыми, будут подобраны позднее; пока же мы будем
считать их дифференцируемыми нужное число раз. Кроме того, будем считать,
что система уравнений (1.4.2) может быть однозначно разрешена относительно
х и у; это надо понимать следующим образом: если функции ( и ( и отображают
некоторую область G плоскости Оху в область G* плоскости O((, то при этом
каждой точке (( ,() области G* соответствует только одна точка области G
(иначе говоря, отображение области G на G*, даваемое функциями ( и (,
является взаимно однозначным). Как известно, для этого достаточно, чтобы
якобиан преобразования (т. е. определитель [pic]) нигде в области G не
обращался в нуль.
Для того чтобы сделать требуемую замену переменных, выразим частные
производные от функции u по х и у через производные от и по ( и (:
|[pic] |(1.4.31) |
|[pic] |(1.4.32) |
Это записано на основании правила дифференцирования сложной функции от
двух переменных (здесь u зависит от ( и (, которые, в свою очередь, зависят
от x и у). Для того чтобы выразить [pic], через производные по ( и (, учтем
формулу (1.4.31) и применим снова правило дифференцирования сложной
функции:
|[pic] | |
Следовательно,
|[pic] |(1.4.41) |
Аналогично найдем:
|[pic] |(1.4.42) |
|[pic] |(1.4.43) |
Правые части равенств (1.4.31), (1.4.32), (1.4.41), (1.4.42), (1.4.43)
представляют собой линейные функции относительно частных производных
