[pic], [pic] [pic] [pic] [pic] Подставляя u'x, u'y, u'xx,... из этих формул
в уравнение (1), мы получим снова линейное уравнение второго порядка с
неизвестной функцией и и независимыми переменными( и (:
|[pic] |(1.4.5) |
где
|[pic] |(1.4.5’) |
a [pic] — функция, линейная относительно и’( , u’( , u .
Уравнение (1.4.5) становится особенно простым, если в нем коэффициенты
а и с окажутся равными нулю. Для того чтобы первоначально заданное
уравнение (1.4.1) можно было привести к такому простому виду, надо в нем
сделать замену переменных
|[pic] | |
подобрав функции ( и ( так, чтобы они являлись решениями уравнения:
|[pic] |(1.4.6) |
Это уравнение является нелинейным уравнением в частных производных
первого порядка. Следующая теорема покажет, как связаны его решения с общим
решением некоторого обыкновенного уравнения.
Теорема. Для того чтобы функция z = f(x, у) во всех точках области G
удовлетворяла уравнению (6), необходимо и достаточно, чтобы, семейство
|[pic] |(1.4.7) |
было общим интегралом уравнения
|[pic] |(1.4.8) |
в той же области G.
Доказательство. Необходимость. Пусть z = f(x, у)— решение уравнения
(1.4.6). Рассмотрим семейство кривых f(x, у) — k и докажем, что любая
кривая этого семейства удовлетворяет уравнению (1.4.7).
В любой точке, лежащей на кривой f(x, у) = k (где k — фиксировано),
выполняется следующее равенство:
|[pic] | |
действительно вдоль данной кривой функция f(x, у) постоянна, и поэтому
ее полный дифференциал равен нулю.
Следовательно, всюду на кривой имеет место равенство:
|[pic] | |
обозначим каждое из этих отношений через (; тогда
|[pic] | |
Подставляя эти выражения для dx и dy в левую часть уравнения (1.4.8),
получим:
|[pic] | |
Выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю, так как, по
условию, функция f(x, у) есть решение уравнения (1.4.6). Следовательно, во
всех точках нашей кривой имеет место равенство
|[pic] | |
откуда вытекает, что она является интегральной кривой уравнения
(1.4.8).
Итак, любая кривая вида f(x, у) = k является интегральной кривой
уравнения (1.4.8); с другой стороны, через каждую точку области G проходит
кривая такого вида; это вытекает из того, что функция f(x, у) определена
всюду в области G и поэтому, например, через точку (х0, у0) проходит кривая
f(x,y)=f(x0,y0).
Отсюда следует, что семейство f(x, у) = k является общим интегралом
уравнения (1.4.8).
Достаточность. Пусть семейство f(х, у)= k будет общим интегралом
уравнения (1.4.8). Возьмем произвольную точку (х0, у0) из G и выделим ту
кривую семейства, которая проходит через эту точку:
f(x, у) = k0.
Так же, как и при доказательстве необходимости, убеждаемся, что всюду
вдоль этой кривой выполняется равенство
|[pic] | |
откуда
|[pic] |(1.4.10) |
Так как кривая является интегральной кривой уравнения (1.4.8), то при
подстановке в это уравнение dx и dy из (1.4.10), получим тождество:
|[pic] | |
или, после сокращения на (2:
|[pic] | |
В частности, в точке (х0, у0) имеет место:
|[pic] | |
Но последнее равенство означает, что функция двух переменных f(x, у)
удовлетворяет в точке (х0, у0) уравнению (1.4.7). Так как точка (х0, y0)
была взята произвольно в области G, то функция f(x, у) удовлетворяет
уравнению (1.4.7) во всех точках этой области, т. е. эта функция является
одним из решений уравнения (1.4.7).
Таким образом, теорема доказана.
Рассмотренная теорема открывает путь для упрощения исходного уравнения
(1.4.1). Для этого сначала составляем вспомогательное уравнение (1.4.8);
оно называется характеристическим уравнением для данного уравнения (1.4.1).
Характеристическое уравнение есть обыкновенное дифференциальное уравнение
первого порядка, но второй степени. Разрешая его относительно y’x
(предварительно разделив все члены уравнения на dx2), получим два
уравнения:
|[pic] |(1.4.101|
| |) |
|[pic] |(1.4.102|
| |) |
(предполагается, что ас — b20 всюду в области G). Пусть
общий интеграл уравнения (1.4.101) имеет вид
|((х, у)= k , |(1.4.111|
| |) |
а общий интеграл уравнения (1.4.102)
|((х, у)= k. |(1.4.112|
| |) |
Интегральные кривые характеристического уравнения (т. е. все кривые,
входящие в семейства (1.4.111) и (1.4.112)) называются характеристиками
заданного дифференциального уравнения (1.4.1). В связи с этим
рассматриваемый метод упрощения уравнения (1.4.1) называется методом
характеристик.
Семейства (1.4.111) и (1.4.112) можно рассматривать, как общие
интегралы уравнения (1.4.8) (это уравнение распадается на два уравнения
(1.4.101) и (1.4.102)).
Следовательно, согласно доказанной теореме, функции
z=((х, у) и z=((х, у)
являются решениями уравнения в частных производных (1.4.6).
Функции ((х, у) и ((х, у) независимы друг от друга (можно доказать,
что их якобиан отличен от нуля, если ас- b20 из (3.2.2)-(3.2.3) следует известное решение для
несжимаемой жидкости[4]:
|[pic] |(3.2.4)|
Аналогично в стационарном случае из (2.2.14) получим:
|[pic] |(3.2.5)|
В пределе при ?>0 из (3.2.5) и (3.2.3) следует известное решение для
несжимаемой жидкости[4]:
|[pic] |(3.2.6)|
Выражения (3.2.2), (3.2.4) решают поставленную задачу о
баротермическом эффекте при фильтрации газа в прискважинной зоне реальных
газовых пластов. Такое решение поставленной задачи получено впервые.
Поэтому представляет значительный и практический интерес анализ результатов
расчетов на основе полученных решений, что и приведено в четвертой главе.
3.3. Выводы
В данной главе получено аналитическое решение задачи о баротермическом
эффекте с учетом барической сжимаемости, которая включает в себя решение
гидродинамической задачи для линеаризованного уравнения состояния и
температурную задачу в линеаризованном случае.
Глава 4. анализ результатов расчетов и Исследование температурных полей,
возникающих при фильтрации газа
В данной главе приведен анализ результатов расчетов баротермического
эффекта в прискважинной зоне газовых пластов применительно к реальным
месторождениям газа.
4.1. Анализ результатов расчетов температурных полей
На рис. 1. приведены результаты расчетов величины баротермического
эффекта от времени при различных барических сжимаемостях. В расчетах
принято: ?=-0.5?10-5[pic]; r=0.1[pic]; с=850[pic]; k=10-15[pic];
сPL=84000000[pic]; µ=10-5 [pic]; R=100[pic]; ?=150[pic]; ?=10-7[pic];
P=100?105[pic]; P0=150?105[pic]; PC=200?105[pic]; PW=150?105[pic].
Из рисунка видно, что изменение температуры подчиняется следующим
закономерностям. Линейное нарастание температурного эффекта при малых
временах сменяется логарифмической стабилизацией - при больших временах.
Время, при котором происходит смена линейного нарастания на логарифмическую
стабилизацию, зависит от барической сжимаемости; с увеличением сжимаемости
это время уменьшается.
Величина температурного эффекта также сильно зависит от сжимаемости. С
увеличением сжимаемости величина температурного эффекта возрастает.
Коэффициент барической сжимаемости приблизительно обратно пропорционален
давлению. Реальные значения этого коэффициента в условиях газовых пластов
лежат в пределах от 3 10-8 Па-1 до 10-5; поэтому величина эффекта лежит в
пределах до –10 ( –15 К.. Это хорошо согласуется с величиной измеряемых в
скважинных условиях температурных эффектов.
|[pic] |Рис.1. Зависимость величины |
| |баротермического эффекта от |
| |времени при различных |
| |барических сжимаемостях. |
| |Обозначения: 1 - ( = 3 10-4 |
| |Па-1, 2 – 10-5, 3 – 10-6, 4 – |
| |10-7, 5 – 5 10-8 |
Важно отметить, что согласно разработанной нами теории время
установления температурного эффекта при ( ( 10-8 Па-1, что часто
встречается на практике, составляет около суток. Этот факт чрезвычайно
важен при практическом использовании баротермического эффекта.
На рис. 2 показана зависимость баротермического эффекта от времени
при различных относительных вязкостях. Из рисунка видно, что величина
температурного эффекта возрастает со временем тем больше, чем меньше
относительная вязкость. В расчетах принято: ?=-0.5?10-5[pic]; r=0.1[pic];
с=850[pic]; k=10-15[pic]; сPL=84000000[pic]; µ=10-5 [pic]; R=100[pic];
?=150[pic]; ?=10-7[pic]; P=100?105[pic]; P0=150?105[pic]; PC=200?105[pic];
PW=150?105[pic].
|[pic] |Рис 2. Зависимость |
