(энергию Е и импульс р.) , а с другой стороны, волновые характеристики
(частоту ? и длину волны ?) . Взаимосвязь между характеристиками разного
типа осуществляются, по де Бройлю, через постоянную Планка h следующим
образом: E = h?, p = 2?h / ? (??орое из этих соотношений известно как
формула де Бройля) . Для фотонов эти соотношения выполняются автоматически,
если в формуле p = h? / c подставить ? = =2?c / ?. ??елость гипотезы де
Бройля состояла в том, что приведенные соотношения предполагались
выполняющимися для всех микрообъектов, в частности для таких, у которых
есть масса покоя и которые до этого ассоциировались с корпускулами.
Гипотеза де Бройля получила в 1927 г. подтверждение: была обнаружена
дифракция электронов. Исследуя прохождение электронов сквозь тонкие
пластинки, Дэвисон и Джермер (а также Тартаковский) обнаружили на экране
-детекторе характерные дифракционные кольца. Для “электронных” волн
кристаллическая решетка мишени сыграла роль дифракционной решетки.
Измерение расстояний между дифракционными кольцами для электронов заданной
энергии подтвердили формулу де Бройля.
В 1949 г. Фабрикант с сотрудниками поставили интересный опыт. Они
пропускали через дифракционное устройство крайне слабый электрический пучок
– промежуток времени между последовательными актами пропускания (между
двумя электронами) более чем в 10000 раз превышал время, необходимое для
прохождения электрона через устройство. Это давало уверенность, что на
поведение электрона не влияют другие электроны пучка. Опыт показал, что при
длительной экспозиции, позволяющей зарегистрировать на экране-детекторе
достаточно большое число электронов, возникала такая же дифракционная
картина, как и в случае обычных электронных пучков. Отсюда следовало, что
волновые свойства электронов нельзя объяснить как некий эффект коллектива
электронов; волновыми свойствами обладает каждый отдельно взятый электрон.
Роль постоянной Планка. Идея квантования вводит дискретность, а
дискретность требует определения меры. Роль такой меры играет постоянная
Планка. Можно сказать, что эта постоянная как бы определяет “границу” между
микроявлениями и макроявлениями. Используя постоянную Планка, а также массу
и заряд электрона, можно образовать следующую простейшую композицию,
обладающую размерностью длины: r1 = h2 / me2 = 0,53 . 10-8 см (заметим, что
r1 есть радиус первой орбиты в теории Бора) . В соответствии с этим
величина порядка 10-8 см может рассматриваться как пространственная
“граница” микроявлений. Именно таковы линейные размеры атомов.
Если бы при прочих равных условиях постоянная h была бы, например, в 100
раз больше, то “граница” микроявлений оказалась бы порядка 10-4 см. Это
означало бы, что микроявления были бы гораздо ближе к нам, к нашим
масштабам, атомы стали заметно крупнее. Иными словами, материя оказалась бы
более “крупнозернистой” и следовало бы при более крупных масштабах
пересматривать классические представления.
Как указывалось ранее, проекции момента микрообъекта отличаются друг от
друга на величины, кратные h. Следовательно, здесь постоянная Планка
является попросту шагом квантования. Если орбитальный момент много больше
h, то квантованием можно пренебречь; в этом случае переходим к
классическому моменту импульса. В отличие от орбитального спиновой момент
не может быть достаточно большим. Ясно, что здесь квантованием пренебречь
принципиально невозможно; именно поэтому спиновой момент и не имеет
классического аналога.
Постоянная Планка органически связана не только с идеей квантования, но
также и с идеей дуализма. Из формул E = h?, p = 2?h / ? ??дно, что эта
постоянная играет весьма важную роль – именно она осуществляет связь между
корпускулярными и волновыми характеристиками микрообъекта. Указанное
обстоятельство особенно хорошо видно, если переписать эти формулы в виде,
позволяющем учесть векторную природу импульса: E = h?, p = hk.
Здесь k – волновой вектор; его направление совпадает с направлением
распространения волны, а величина выражается через длину волны следующим
образом: k = 2? / ?. ? ?евые части равенств входят корпускулярные, а в
правые – волновые характеристики микрообъекта.
Итак, постоянная Планка играет в квантовой механике две основные роли –
служит мерой дискретности и связывает воедино корпускулярный и волновой
аспекты движения материи. Тот факт, что обе роли играет одна и та же
постоянная, косвенно указывает на внутреннее единство двух основополагающих
идей квантовой механики. Наличие в том или ином выражении постоянной Планка
является характерным признаком “квантомеханической природы” этого
выражения.
3. Соотношения неопределенностей.
Идея дуализма и соотношения неопределенностей. Рассмотрим совокупность
большого числа плоских волн (природа волн не существенна) ,
распространяющихся, например, вдоль оси x. Пусть частоты волн “разбросаны”
в некотором интервале ??, ? ?начения волнового вектора – в интервале ?kx.
Если наложить друг на друга все эти плоские волны, то в результате
получится волновое образование, ограниченное в пространстве, – так
называемый волновой пакет (рис. 2) . Размытие волнового пакета в
пространстве D x (?x) ? ?о времени (?t) определяется соотношениями: рис. 2
?? ?t > 1, ?kx ?x >1.
Эти соотношения хорошо известны в классической физике. Тот, кто знаком с
радиотехникой, знает, что для создания более локализованного сигнала надо
взять побольше плоских волн с разными частотами. Иначе говоря, чтобы
уменьшить ?x и ?t, надо увеличивать ?kx и ??.
Далее отвлечемся от волнового пакета и будем формально полагать, что
соотношения справедливы не только для классических волн, но также и для
волновых характеристик микрообъекта. Это предположение отнюдь не означает,
что в действительности мы моделируем микрообъект в виде некоего волнового
пакета. Если рассматривать величины kx и ? как волновые характеристики
микрообъекта, то нетрудно перейти к аналогичным выражениям для
корпускулярных характеристик микрообъекта (для его энергии и импульса) :
?E?t > h, ?px?x > h.
Эти соотношения были впервые введены Гейзенбергом в 1927 г. их принято
называть соотношениями неопределенностей.
Эти соотношения можно дополнить следующим соотношением неопределенностей:
?Mx??x > h, где ??x – неопределенность угловой координаты микрообъекта
(рассматривается поворот около оси х) , а ?Mx – неопределенность проекции
момента на ось х.
По аналогии могут быть записаны соотношения для других проекций импульса и
момента: ?py?y > h, ?pz?z > h, ?My??y > h, ?Mz??z > h.
Смысл соотношений неопределенностей. Обсудим соотношение ?px?x > h. Здесь
?x – неопределенность х-координаты микрообъекта, ?px – неопределенность х-
проекции его импульса. Чем меньше ?x, тем больше ?px, и наоборот. Если
микрообъект локализован в некоторой определенной точке х, то х-проекция его
импульса должна иметь сколь угодно большую неопределенность. Если,
напротив, микрообъект находится в состоянии с определенным значением px ,
то он должен быть делокализован по всей оси х.
Иногда соотношение неопределенностей трактуют так: нельзя измерить
координату и импульс микрообъекта с произвольно высокой точностью
одновременно; чем точнее измерена координата, тем менее точно должен быть
измерен импульс. Такая трактовка не очень удачна, так как из нее можно
вывести ложное заключение, что смысл соотношения сводится к ограничениям,
которые оно накладывает на процесс измерения. В этом случае можно
предположить, что микрообъект сам по себе имеет и какой-то импульс и какую-
то координату, но соотношение неопределенностей не позволяет нам измерить
их одновременно.
В действительности же здесь ситуация иная – просто сам микрообъект не может
иметь одновременно и определенную координату, и определенную
соответствующую проекцию импульса; если, например, он находится в состоянии
с определенным значением координаты, то в этом состоянии соответствующая
проекция его импульса оказывается менее определенной. Естественно, что
отсюда вытекает естественная невозможность совместного измерения координат
и импульсов микрообъектов. Это есть следствие специфики микрообъектов, а
отнюдь не какой-либо каприз природы, в силу которого будто бы не все
существующее познаваемо. Следовательно, смысл соотношений не в том, что оно
создает какие-то препятствия на пути познания микроявлений, а в том, что
оно отражает некоторые особенности объективных свойств микрообъектов.
Далее отдельно остановимся на соотношении ?E?t > h. ??ссмотрим несколько
отличающихся друг от друга, хотя и взаимно согласующихся толкования этого
соотношения. Предположим, что микрообъект нестабилен, пусть ?t – время его
жизни в рассматриваемом состоянии. Энергия микрообъекта в данном состоянии
должна иметь неопределенность ??, ??торая связана с временем жизни ?t
рассматриваемым соотношением. В частности, если состояние является
стационарным (?t сколь угодно велико) , то энергия микрообъекта будет точно
определенной (?Е = 0) .
Другое толкование соотношения связано с измерением, преследующем цель
выяснить, находится микрообъект на уровне Е1 или же на уровне Е2. Такое
измерение требует конечного времени Т, зависящего от расстояния между
уровнями (Е2-Е1) : (Е2-Е1) Т > h.
Нетрудно усмотреть связь между этими двумя трактовками. Чтобы разрешить
уровни Е1 и Е2, необходимо, очевидно, чтобы неопределенность энергии
микрообъекта ?Е не превышала расстояния между уровнями: ?Е < (Е2-Е1) . В то
же время длительность измерения Т не должна, очевидно, превышать время
жизни ?t микрообъекта на данном уровне: Т < ?t. Крайние условия, в которых
измерения еще возможны, следовательно, имеют вид ?E Е2-Е1, T ?t.
Соотношения неопределенностей показывают, каким образом следует
пользоваться понятиями энергии, импульса и момента импульса при переходе к
микрообъектам. Здесь обнаруживается весьма важная особенность физики
микрообъектов: энергия, импульс и момент микрообъекта имеют смысл, но с
ограничениями, налагаемыми соотношениями неопределенностей. Как писал
Гейзенберг, “мы не можем интерпретировать процессы в атомарной области так
же, как процессы большого масштаба. Если же мы пользуемся обычными
понятиями, то их применимость ограничивается так называемыми соотношениями
неопределенностей” .
Следует, однако, подчеркнуть, что соотношения неопределенностей отнюдь не
сводятся к указанному ограничению применимости классических понятий
координаты, импульса, энергии и т.д. было бы неправильно не замечать за
“негативным” содержанием соотношений неопределенностей значительного
“позитивного” содержания этих соотношений. Они являются рабочим
инструментом квантовой теории. Отражая специфику физики микрообъектов,
соотношения неопределенностей позволяют весьма простым путем получать
важные оценки.
От явления дифракции микрообъектов к соотношениям неопределенностей.
Рассмотренный путь получения соотношений неопределенностей может показаться
