слишком формальным и малоубедительным. Существует разные способы вывода
соотношений неопределенностей. Один из таких способов основан на
рассмотрении явления дифракции микрообъектов.
Предположим (рис. 3) , что на пути строго параллельного пучка микрообъектов
с импульсом р поставлен экран с узкой щелью, ширина которой в направлении
оси х равна d (ось х перпендикулярна исходному направлению пучка) . При
прохождении микрообъектов через щель
Х происходит дифракция. Пусть ? – угол между исходным направлением на
первый ? (основной) дифракционный максимум.
d Классическая волновая теория дает, как известно, следующее соотношение
для этого угла: sin ? = ? / d. ??лагая угол ? достаточно малым, перепишем
указанное соотношение в виде ? ? / d.
Если под величиной ? понимать теперь не ??x длину классической волны, а
волны де Бройля (т.е. волновую характеристику микрообъекта) Р то можно
переписать это соотношение на “корпускулярном” языке: рис. 3 ? h / pd.
Однако как понимать на “корпускулярном” языке сам факт существования угла
?? Очевидно, этот факт означает, что при прохождении через щель микрообъект
приобретает некий импульс ?px в направлении оси х. Легко сообразить, что
?px p?. ??дставляя сюда последнее соотношение, получаем ?px h / d.
Рассматривая затем величину d как неопределенность ?х х-координаты
микрообъекта, проходящего через щель, находим отсюда ?px?v h, ?.е.
фактически приходим к соотношению неопределенностей ?px?x > h. Таким
образом, попытка в какой-то мере фиксировать координату микрообъекта в
направлении, перпендикулярном направлении его движения, приводит к
возникновению неопределенности импульса микрообъекта в указанном
направлении, чем и объясняется наблюдаемое на опыте явления дифракции.
Соотношения неопределенностей и состояния микрообъектов; понятие о полном
наборе физических величин. Для задания состояния классического объекта
надо, как известно, задать определенную совокупность чисел – координаты и
составляющие скорости. При этом, в частности, будут определены и другие
величины: энергия, импульс, момент импульса объекта. соотношения
неопределенностей показывают, что для микрообъектов такой способ задания
состояния неприемлем. Так, например, наличие у микрообъекта определенной
проекции импульса на данное направление означает, что положение
микрообъекта на указанном направлении не может быть предсказано однозначно:
согласно формуле ?px?x > h, соответствующая пространственная координата
характеризуется бесконечно большой неопределенностью. Электрон в атоме
имеет определенную энергию; при этом его координаты характеризуются
неопределенностью порядка линейных размеров атома, что, согласно той же
формуле, приводит к неопределенности проекций импульса электрона, равной
отношению постоянной Планка к линейному размеру атома.
Можно указать следующие принципиальные для квантовой механики положения,
вытекающие из соотношений неопределенностей: а) различные динамические
переменные микрообъекта объединяются в наборы одновременно определенных
(одновременно измеримых) величин, так называемые полные наборы величин; б)
различные состояния микрообъекта объединяются в группы состояний,
отвечающим разным полным наборам величин; каждая такая группа определяет
состояния микрообъекта, в которых объединены величины соответствующего
полного набора (принято говорить, что каждому полному набору соответствует
свой способ задания состояний) .
Укажем примеры полных наборов, используемых для задания состояний,
например, электрона и фотона. Каждый из наборов включает четыре величины (в
связи с этим говорят, что микрообъект имеет четыре степени свободы) . Для
описания состояний электрона используют следующие наборы: x, y, z, ?, ?px,
?py, ?pz, ?, E, l, m, ? (??помним, что l, m, ? – ?оответственно
орбитальное, магнитное и спиновое квантовые числа) . Подчеркнем, что
координаты и составляющие импульса микрообъекта (в данном случае электрона)
попадают в разные полные наборы величин; указанные физические величины
одновременно неизмеримы. Именно поэтому классические соотношения E = p2/2m
+ U(r) , M = (r . p) не работают при переходе к микрообъектам; ведь в
каждое из этих соотношений входит и координата, и импульс.
Второй из перечисленных наборов используют, в частности, для описания
состояний, свободно движущегося электрона; при этом оказывается
определенной также и энергия электрона: E = (px2 + py2 + pz2) / 2m. Третий
набор используют обычно для описания состояний электрона в атоме.
Для описания состояний фотона используют чаще всего следующие наборы: kx,
ky, kz, ?, E, M2, Mz, P.
Здесь kx, ky, kz – проекции волнового вектора излучения; ? – поляризация
фотона; M2 и Mz – соотвественно квадрат момента и проекция момента фотона;
P – квантовое число, называемое пространственной четностью. Заметим, что
коль скоро определены проекции волнового вектора излучения, то определены и
проекции импульса фотона. Поляризация фотона принимает два значения – в
полном значении с двумя независимыми поляризациями классической волны (так,
например, можно говорить о фотонах, имеющих правую эллиптическую
поляризацию) . Пространственная четность – специфическая характеристика
микрообъекта; она может рассматриваться как интеграл движения, сохранение
которого есть следствие симметрии по отношению к операции отражения в
зеркале. Четность может принимать два значения: Р = 1, -1.
Набор kx, ky, kz, ? ??пользуют для описания состояний фотонов, отвечающим
плоским классическим волнам; при этом оказывается определенной также
энергия фотона (Е = h?) . О состояниях, описываемых этим набором, говорят,
как о k?-состояниях. Набор E, M2, Mz, P ? ??пользуют для описания состояний
фотонов, отвечающим сферическим классическим волнам. Заметим, что подобно
тому, как сферическая волна может быть представлена в виде суперпозиции
плоских волн, состояние фотона, определяемое этим набором, может быть
представлено в виде “суперпозиции” состояний, определяемых набором kx, ky,
kz, ?. ??рно также и противоположное заключение – о представлении плоской
волны в виде суперпозиции сферических волн. Здесь мы коснулись одного из
наиболее важных и тонких аспектов квантомеханического описания материи –
специфики “взаимоотношений” состояний микрообъекта, описываемых разными
полными наборами. Эта специфика отражается в наиболее конструктивном
принципе квантовой механики – принципе суперпозиции состояний.
Соотношения неопределенностей и квантовые переходы. Указанное ранее
основное противоречие квантовых переходов фактически снимается, если
воспользоваться идеей дуализма, а, точнее, соотношениями неопределенностей.
Предположим, что рассматривается переход электрона в атоме с уровня Е1 на
уровень Е2 при поглощении фотона с энергией h? = Е2-Е1. Напомним, что
противоречие перехода было связано с выяснением вопроса о том, что именно
происходит сначала: поглощение фотона или переход электрона. легко видеть,
что теперь этот вопрос попросту теряет смысл. Действительно, если до и
после взаимодействия с излучением мы имеем связанный электрон с энергией
соответственно Е1 и Е2, то во время взаимодействия с излучением получаем
единую квантомеханическую систему, включающее в себя и электрон, и
излучение. Эта система существует конечное время (пока происходит
взаимодействие с излучением) и, согласно соотношению ?E?t > h, ?? может
иметь какой-либо определенной энергии. Поэтому нет смысла выяснять, что
именно в подробностях происходит в такой системе. Во время взаимодействия
электронов с фотонами нет, строго говоря, ни электронов, ни фотонов, а есть
нечто единое целое, которое и следует рассматривать как единое целое – без
уточнения деталей. Этот пример показывает, что в квантовой механике нельзя
бесконечно детализировать во времени физический процесс. Вопрос: что
происходит после чего? – не всегда можно ставить в отношении микроявлений.
Соотношение неопределенностей “число фотонов – фаза” . Используемые в
квантовой теории соотношение неопределенностей отнюдь не исчерпываются
вышеприведенными соотношениями. В качестве еще одного такого соотношения
укажем соотношения неопределенностей для числа фотонов и фазы волны.
Пусть имеется монохроматическое излучение частотой ?. С одной стороны, оно
может рассматриваться как коллектив фотонов, каждый из которых имеет
энергию h?; с другой стороны – как классическая электромагнитная волна.
Пусть N – число фотонов в рассматриваемом объеме, Ф = ?t – фаза
классической волны. Корпускулярная характеристика излучения (число фотонов
N) и волновая характеристика (фаза Ф) не могут иметь одновременно
определенные значения; существует соотношения неопределенностей ?N?? > 1.
Чтобы прийти к этому соотношению, будем исходить из соотношения
неопределенности для энергии и времени. Напомним, что для измерения энергии
квантового объема ?? ??до затратить время ?t > h / ?E. ??ли в качестве
квантового объекта рассматривается коллектив фотонов, то в этом случае ?E =
h?N?, ??е ?N – неопределенность числа фотонов. В течение времени ?t,
необходимого для измерения энергии объекта с точностью до h?N?, ??за Ф
объекта изменится на величину ?Ф = ??t. ??дставляя сюда соотношение ?t > h
/ h??N, ??ходим ?Ф > 1 / ?N, что и требовалось показать.
В соотношении ?N?? > 1 ?тразилось противоречивое единство корпускулярных и
волновых свойств излучения. Неопределенность ?Ф мала, когда ярко выражены
волновые свойства излучения; в этом случае велика плотность фотонов (велико
N) , а следовательно, и неопределенность ?N. С другой стороны,
неопределенность ?N мала, когда в коллективе мало фотонов; в этом случае
ярко выражены корпускулярные свойства излучения, поэтому велика
неопределенность ?Ф.
4. Некоторые результаты, вытекающие из соотношений неопределенностей.
Оценка энергии основного состояния атома водорода. Позволяя довольно
простым путем получать важные оценки, соотношения неопределенностей
оказываются полезным рабочим инструментом квантовой теории.
В качестве первого примера рассмотрим атом водорода в основном состоянии.
Воспользуемся известным классическим выражением для энергии заряженной
частицы, движущейся в кулоновском поле Е = p2 / 2m - e2 / r, где m и е –
соответственно масса и заряд электрона. чтобы использовать это классическое
выражение в квантовой теории, будем рассматривать величины р и r, входящего
в него, как неопределенности соответственно импульса и координаты
электрона. Согласно соотношению ?px?x > h, эти величины связаны друг с
другом. Положим pr h, или проще pr = h. Используя это равенство, исключим r
из формулы. Получим E(p) = p2 / 2m - e2p / h.
Легко убедится, что функция E(p) имеет минимум при некотором значении р=р1;
обозначим его через Е1. Величину Е1 можно рассматривать как оценку энергии
основного состояния атома водорода, а величину r1 = h / p1 – как оценку
линейных размеров атома. (в теории Бора это есть радиус первой орбиты) .
Приравнивая к нулю производную, находим р1 = me2 / h. Отсюда немедленно
